（十）锐角三角函数-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)
2025-12-14
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦锐角三角函数及解直角三角形，通过中考真题导入，从三角函数定义到解直角三角形再到实际应用，构建知识支架，帮助学生衔接前后知识点。
其亮点是结合中考真题分类集训，融入传统文化如赵爽弦图和实际情境如登山测量，以数学思维中的运算能力和推理意识为核心，通过解析中的勾股定理应用和角度推导，提升学生解题能力，为教师提供系统资源，助力教学效率提升。
内容正文：
数 学
九年级下册 HS
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第二部分 中考真题分类集训
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（十）锐角三角函数
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考点
考点1 锐角三角函数
1.【2025天津中考】 的值等于( )
A
A.0 B.1 C. D.
【解析】 ，故选A.
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（第2题图）
2.【2025云南中考】如图，在中， .若 ,
，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】在中， ，， ，则
，故选D.
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考点2 解直角三角形
（第3题图）
3. 传统文化 【内蒙古包头中考】如图源于我国汉代数学家
赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一
个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角
形中较小的锐角为 ,则 的值为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 小正方形的边长为1，
大正方形的边长为5.设直角三角形较短的直角边长为 ，则较长的直角边长为
，其中.由勾股定理得，解得,
（舍去），， ，故选D．
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（第4题图）
4.【湖南益阳中考】如图，在平面直角坐标系 中，有三点
，，，则 ( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图，过作交延长线于 ，
，，，， ，
， ，故选C．
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（第5题图）
5.【2025广东中考】如图，在矩形中，，是 边上的三等
分点，连结，相交于点，连结.若， ，则
的值是( )
B
A. B. C. D.
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【解析】过点作于点，如图.，是 的三等分点，
， ，
四边形是矩形， ,
，是等腰直角三角形， . 同理可得，
是等腰直角三角形， ， ，
,， ，
.在中，． 故选B．
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6.【2025吉林中考】如图，在平面直角坐标系中，过原点 的直
线与反比例函数的图象交于，两点，分别以点，点 为
圆心，画半径为1的和.当，分别与 轴相切时，
切点分别为点和点，连结， ，则阴影部分图形的面积和
为__.结果保留
【解析】，分别与轴相切于点和点，半径为1， 轴，
轴，，点的纵坐标为1.把代入，得 ，
，，， ， 第一象限中
阴影部分图形（扇形）的面积为 .同理，第三象限中阴影部分图形
（扇形）的面积为，.故答案为 .
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关键点拨
求得 是解题的关键.
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7.【2025山东威海中考】问题提出
已知 ， 都是锐角，，，求 的度数.
问题解决
（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和 ，请你按照这
个思路求 的度数.（点，，， 都在格点上）
备用图
备用图
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【解】如图（1），连结.由题意，得 ,
,,. ，
，， 是等腰直角三角形，且
， ， .
图（1）
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策略迁移
（2）已知 ， 都是锐角，，，则____ .
90
图（2）
【解析】如图（2），在边长为1的正方形网格中画出 和
（点,,,都在格点上），连结 .由题意，得
，, ,
，
，, 是等腰直
角三角形，且 ， ，故答
案为90.
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（3）已知 ， ， 都是锐角，，， ，求
的值.
（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）
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图（3）
【解】如图（3），在边长为1的正方形网格中画出
和（点,,,都在格点上）,连结 .由
题意，得 ，
， ,
，，， 是直
角三角形，且
是直角， .
， ，
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考点3 解直角三角形的应用
8.【2025吉林长春中考】如图，已知某山峰的海拔高度为 米，一位登山者到达
海拔高度为米的点处.测得山峰顶端的仰角为 .则， 两点之间的距离为
( )
B
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
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【解析】由题意得，四边形是矩形， ，
.由题意得， , ， ，
，即,两点之间的距离为 米.故选B.
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思路分析
由题意得出四边形是矩形，得到的长，再解直角三角形求出 的长即可.
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9.【2025黑龙江绥化中考】如图，某水库堤坝横断面迎水坡 的斜面坡度
（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度 的比），堤坝高
，则迎水坡面 的长度是_________.
【解析】 迎水坡的斜面坡度，. ，
.在 中，由勾股定理得
，故答案为 .
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10.【2025江苏扬州中考】如图（1），棱长为 的密封透明正方体容器水平放
置在桌面上，其中水面高度.将此正方体放在坡角为 的斜坡上，此时
水面恰好与点齐平，其主视图如图（2）所示，则 __.
图（1）
图（2）
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【解析】如图，延长交的延长线于点 .由题意得
， ，， .
设，则 密封透明
正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为 的斜坡上，容
器里水的体积不变,且放在坡角为 的斜坡上时，水的体积等于长为 、宽为
、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为 的长方体
的体积的一半之和，，解得 ，即
.，， ，
，故答案为 .
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思路分析
延长交的延长线于点，设,则 ,先根
据水的体积不变建立方程，解方程可得 的值，再根据平行线的性质可得
，然后根据正切的定义计算即可.
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11.【2025湖南长沙中考】如图，某景区内两条互相垂直的
道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路 上.
为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路 上又开发了
风景优美的景点.经测得景点位于景点的北偏东 方
向上，位于景点的北偏东 方向上，景点位于景点 的
南偏西 方向上.已知 .
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（1）求 的度数；
【解】如图，由题意可得 ， ， ，
， ,
.
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（2）求景点与景点 之间的距离.（结果保留根号）
【解】如图. ， .由（1）
得 ，，， .在
中，， ,
，
,
.
， , , ,
, 景点与景点 之间的距离为
.
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