（九）四边形-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)
2025-12-14
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦四边形核心知识点，涵盖多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等考点。通过中考真题导入，从基础概念延伸到动点、折叠等综合应用，以分考点、副考点搭配解析和思路分析构建学习支架。
其亮点在于中考真题分类集训，结合几何直观与推理意识，如平行四边形动点问题分步解析、折叠问题对称性质应用。采用真题驱动分层突破，“刷有所得”总结规律，助力学生提升运算能力与模型意识，也为教师提供系统教学资源节省备课时间。
内容正文：
数 学
九年级下册 HS
1
2
3
第二部分 中考真题分类集训
4
（九）四边形
5
刷考点
目 录
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考点
考点1 多边形与平行四边形
（第1题图）
1.【2025湖北中考】如图，平行四边形 的对角线交点在
原点.若，则点 的坐标是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 四边形 是平行四边形，且对角线交点在原
点， 点，关于原点对称.， ，故选C.
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（第2题图）
2.【2025四川眉山中考】如图，直线与正五边形的边 ,
分别交于点,，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ，
，
， .故选C.
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关键点拨
掌握多边形内角和公式是解题关键.
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（第3题图）
3.【2025安徽中考】在如图所示的中，， 分别为边
，的中点，点，分别在边， 上移动（不与端点重
合），且满足 ，则下列为定值的是( )
C
A.四边形的周长 B. 的大小
C.四边形的面积 D.线段 的长
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【解析】如图所示，连结 四边形 为平行四边形，
，，,分别为边, 的中点,
.又， ，
，同理可证， 四边形为平行四边形. ，
且， 四边形 为平行四边形，
， ，故四边形
的面积为定值，故选C.
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（第4题图）
4.【2024四川自贡中考】如图，在中， ，
，.点从点出发，以 的速度沿
运动，同时点从点出发，以 的速度沿
往复运动，当点到达端点时，点 随之停
止运动.在此运动过程中，线段 出现的次数是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
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【解析】由已知可得，从到需要，从到或从到需要.设，
的运动时间为 .
①当时，点在点右侧时，过作于，过作于 ，
如图（1）.
由题易得四边形为矩形，，, .
，， 四边形 是等腰梯形，
， .
，， .
，，解得 .
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图（1）
图（2）
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点在点左侧时，四边形 是平行四边形，如图（2）.
此时，，解得， 运动时间为或 时，
.
②当时，点在点左侧时，四边形 是平行四边形，如图（3）.
此时，.，， ，
，解得 .
图（3）
图（4）
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点在点右侧时，由①知，此时四边形是以， 为腰的等腰梯形，
这种情况在时不存在， 运动时间为时， .
③当时，点在点左侧时，四边形 是平行四边形，如图（4）.
此时，，，解得 同②可知
点在点右侧时的情况在时不存在, 运动时间为时， .
综上所述，运动时间为或或或时， .故选B.
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（第5题图）
5.【2024山东威海中考】如图，在正六边形 中，
，，垂足为点.若 ，则 ____.
【解析】 六边形 是正六边形，
，
，
， ，
，故答案为 .
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刷有所得
正且为整数边形的内角和为 ,正 边形的每个内角的度数
为，每个外角的度数为 .
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（第6题图）
6.【2025甘肃白银中考】如图，把平行四边形纸片 沿对角
线折叠，点落在点处，与相交于点，此时
恰为等边三角形.若，则____ .
12
【解析】由折叠的性质可知， 四边形 是
平行四边形，,， ，
为等边三角形，
，
， ，
.故答案为12.
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7.【2025山东中考】如图，在中， ,
,.点为边上异于的一点，以, 为邻边作
,则线段 的最小值是_ __.
【解析】在中， ,, ，
.设交于点 四边形 是平行四边
形，,， 当取最小值时， 取最小
值.如图，当时，取最小值，此时，即 ，解
得， 线段的最小值为.故答案为 .
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8.【江苏扬州中考】如图，点,,,分别是各边的中点，连结，
相交于点，连结，相交于点 .
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（1）求证：四边形 是平行四边形；
【证明】 点，，，分别是各边的中点，， ，
,,， 四边形是平行四边形， .同
理可得，四边形是平行四边形，， 四边形 是平行四边形.
思路分析
依据四边形是平行四边形，可得，依据四边形 是平行四边形，
可得，进而得出四边形 是平行四边形；
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（2）若的面积为4，求 的面积.
【解】如图所示，连结，分别是，的中点，
点是的重心，， .又
是的中线，,
又是和的对角线， ，
，.又的面积为4， 的
面积为12.
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思路分析
连结，依据三角形重心的性质，即可得到，再根据是
的中线，即可得出，进而得到 ，
依据 的面积为4，即可得出结论．
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考点2 矩形
9.【2024四川泸州中考】已知四边形 是平行四边形，下列条件中，不能判定
为矩形的是( )
D
A. B. C. D.
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【解析】 四边形是平行四边形， 当 时，平行四边形 是
矩形， 选项A可以判定为矩形，故选项A不符合题意. 四边形 是
平行四边形，， .当时， ，
此时为矩形， 选项B可以判定为矩形，故选项B不符合题意.
四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是矩形，
选项C可以判定为矩形，故选项C不符合题意. 四边形是平行
四边形， 当时，平行四边形是菱形，
选项D不能判定为矩形， 选项D符合题意．故选D．
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（第10题图）
10.【2024甘肃武威中考】如图，在矩形中，对角线 ，
相交于点， ，，则 的长为( )
C
A.6 B.5 C.4 D.3
【解析】 四边形为矩形，对角线，相交于点 ，
， 为等边三角
形，，， ，故选C.
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（第11题图）
11.【2024河北中考】在平面直角坐标系中，我们把一个点的
纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形
位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩
形四个顶点中“特征值”最小的是( )
B
A.点 B.点 C.点 D.点
【解析】设，， 四边形为矩形， ，
，，， ，
且， 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点 .故选B.
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（第12题图）
12.【2024江苏苏州中考】如图，矩形 中，
，，动点，分别从点， 同时出发，以
每秒1个单位长度的速度沿，向终点， 运动，过点
，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则 的最
大值为( )
D
A. B. C.2 D.1
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【解析】连结交于点，取中点，连结 ，如图所
示. 四边形是矩形， ，， 在
中， ，
，.在与 中，
，，是
的中点， 在 中，， 点的轨迹为以为圆心，为半
径长，即 为直径的圆弧，的最大值为的长，即 的最大值为1.故选D.
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思路分析
连结交于点，取中点，连结.由勾股定理可求的长，由“A. .”
可证，可得，再由，是的中点可得点
的运动轨迹，进而求解.
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（第13题图）
13. 传统文化 【四川内江中考】出入相补原理是
我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学
家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，
几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的
面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形
中，，，对角线与交于点，点为 边上的一个动
点，，，垂足分别为点，，则 ___.
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【解析】连结 四边形是矩形， ， ，
，， ，
，， ，
，故答案为 .
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14.【2025黑龙江龙东地区中考】如图，在矩形中，， ，
点是边的中点，点是对角线上一动点，作点关于直线的对称点 ，若
，则 的长为______.
3或9
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【解析】①当点在上方时，如图（1），交直线于点，延长交 于
点.在矩形中，， ， ，
，. 点是边 的中点，
. 点与点关于直线对称， ，
， ， ，
，
，
， ，, 是等腰三
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角形，.在中，， ，
，
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图（1）
图（2）
②当点在下方时，如图（2）.设与的交点为 ，
.同①可知， ，， ，
.由对称的性质得， 是等边
三角形， ，， ，
， ，
.
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综上， 的长为3或9.故答案为3或9.
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易错警示
注意分点在上方和点在 下方两种情况讨论，不要漏解.
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15.【2025北京中考】如图，在中，，分别为，
的中点，，垂足为，点在的延长线上， .
（1）求证：四边形 是矩形；
【证明】，分别为， 的中点，
是的中位线， .
， 四边形 是平行四边形.
又， ，
平行四边形 是矩形.
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（2）若 ，，，求和 的长.
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【解】， .
，是等腰直角三角形， ，
.由（1）可知，是的中位线，四边形
是矩形，
，， ，
，
.
为的中点， .
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16.【2024湖北中考】在矩形中，点，分别在边，上，将矩形
沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点 .
图（1）
图（2）
图（3）
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（1）如图（1），求证： ；
【证明】如图（1），
图（1）
四边形 是矩形，
，
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.
由折叠得 ， ，
.
又 ，
.
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（2）如图（2），当为的中点，，时，求 的长；
图（2）
【解】如图（2）， 四边形是矩形， ，
，为 中点，
.设， .
在中，，即 ，解得
，， .由（1）得
，，，解得 .
， .
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（3）如图（3），连结，当，分别为，的中点时，探究与 的数
量关系，并说明理由．
图（3）
【解】.理由：如图（3），延长，交于点 ，连
结.由折叠得, ,
，，， 是等
腰三角形.为中点， 设 ，
为 中点，
， ，
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,
.
在中， ，
， ，
在中， .
由折叠易得， 直线 ,
, ，
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， .
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刷有所得
遇中点，常倍长中点所在的线段，构造全等三角形.
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考点3 菱形
17.【2024山西中考】在四边形中，点，，，分别是边， ，
，的中点，，交于点.若四边形的对角线相等，则线段 与
一定满足的关系为( )
A
A.互相垂直平分 B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等 D.互相垂直平分且相等
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【解析】如图，连结，，，，，， 分别
是，的中点，是的中位线， ，
.同理，，， ，
，， 四边形 是平行四边形.
， ，
四边形 是菱形，
与 互相垂直平分.故选A.
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18.【2024四川达州中考】如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的
边长均为2， ，其中点，，都在格点上，则 的值为
( )
B
A.2 B. C. D.3
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【解析】如图，延长交格点于，连结.由题意可得,， ，
， ，故选B．
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19.【2024甘肃武威中考】如图（1），动点从菱形的点 出发，沿边
匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为,的长为，与
的函数图象如图（2）所示，当点运动到中点时， 的长为( )
C
图（1）
图（2）
A.2 B.3 C. D.
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【解析】结合图象，可得当时，，当点运动到点 时，
.在菱形中，， ，
.当点运动到中点时，的长为 ，
故选C.
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20.【2025内蒙古中考】如图，在菱形中，，对角线 的长为
16，是的中点，是上一点，连结.若，则 的长为_____.
（第20题图）
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【解析】连结交于点，过点作于点，如图.
四边形是菱形，， ，
，， ，
，.是的中点， ，
，， ，
.故答案为 .
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思路分析
连结交于点，过点作于点 ，利用菱形的性质得出
，，，进而得出 ，
，即可证明，即可计算出， ，即可求得
，再利用勾股定理即可求解.
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（第21题图）
21. 【2025江苏连云港中考】如图，在菱形 中，
，，为线段上的动点，四边形 为平行
四边形，则 的最小值为_____.
【解析】如图，过点作的平行线，作点关于的对称点 ，
连结,.由对称性得， ，
点，，共线时，取得最小值，为的长.设与
的交点为，交于点，延长交的延长线于点.在菱形 中，
，，，，
，， ，
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， 四边形 是矩形，
四边形为平行四边形，， ，
， ， 四边形 是矩形，
，， ，
， ，即
的最小值为，故答案为 .
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关键点拨
过点作的平行线，作点关于的对称点，连结,,得到,,
三点共线时， 取得最小值是解题关键.
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22.【2025四川遂宁中考】如图，在四边形中， ，
点，在对角线上，，且 ，
.
（1）求证： ；
【证明】，， ，
，，即 .
在和中，
.
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（2）连结，，若 ，请判断四边形 的形状，并说明理由.
【解】四边形是菱形.理由如下：如图. ，
，， ，
.在中， ， ，
，同理.由（1）知， ，
， 四边形 是菱形.
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23.【2024山东威海中考】如图，在菱形中，， ，
为对角线上一动点，以为一边作 ，交射线于点 ，连结
，.点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点 处停止.设
的面积为，点的运动时间为 秒.
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（1）求证： ；
【证明】设与相交于点 .
四边形为菱形，，， ，
.在和 中，
， ，
， ，
，， .
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（2）求与的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
【解】过点作于，如图,则 .
， 四边形为菱形， ，
， ，即
，
，
， ，
，
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， ，
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（3）求为何值时，线段 的长度最短.
【解】，， .
，为等边三角形，，， 线
段的长度最短，即的长度最短，当时，最短. 四边形 是
菱形， ，为等边三角形， .
，， ，
当时，线段 的长度最短.
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关键点拨
证明是等边三角形，得出，由（1）知，推得 ，
从而得出当最短时，最短，即时，线段 的长度最短.
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考点4 正方形
（第24题图）
24.【2024重庆中考B卷】如图，在边长为4的正方形 中，点
是上一点，点是延长线上一点，连结，， 平分
交于点.若，则 的长度为( )
D
A.2 B. C. D.
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【解析】 四边形是正方形，， .在
和中， ，
平分，.在和 中，
， 四边形 是边
长为4的正方形，， ， .
设，则， .在
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中，根据勾股定理，得，即 ，
解得 .故选D.
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（第25题图）
25.【2025重庆中考】如图，正方形的边长为2，点是
边的中点，连结，将沿直线翻折到正方形 所在
的平面内，得，延长交于点和 的平分
线，相交于点，连结，则 的面积为( )
A
A. B. C. D.
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【解析】如图，连结 四边形 是边长为2的正方形，
，
点是边的中点， 将沿直线 翻折得
， ， ，
，，
，.设，则，.在 中,
根据勾股定理可得，即，解得 ，
，.和的平分线，相交于点， 点到 ，
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， 的距离相等，
，故选A.
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刷有所得
折叠前后，对应边长度不变，对应角相等.
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（第26题图）
26.【2024四川泸州中考】如图，在边长为6的正方形 中，
点，分别是边，上的动点，且满足，与
交于点，点是的中点，是边上的点， ，则
的最小值是( )
B
A.4 B.5 C.8 D.10
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【解析】 四边形是正方形， ，
.又，
，，
，
是直角三角形. 点是的中点，如图所示，在 延长
线上截取，连结， ， ，
，， ，
， 当，，三点共线时，
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有最小值，即此时有最小值，最小值即为 的长的一半.
，，，.在 中，由勾股定理
得， 的最小值为5.故选B．
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27.【2024福建中考】如图，正方形的面积为4，点，，， 分别为边
，，，的中点，则四边形 的面积为 ___．
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（第27题图）
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【解析】如图，连结，交于点 四边形 是正方形，且
面积为4，，,分别为边, 的中
点， 易得，.同理可得 ，
，， 四边形 的面积是
．故答案为2．
归纳总结
对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.
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28.【2025北京中考】如图，在正方形中，点在边上， ，垂足
为.若， ，则 的面积为__.
（第28题图）
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【解析】如图,过点作，，垂足分别为， ，
连结，则 四边形 为正方形，
，， ，
， ，
，， ， ,
， ， ，
，，故答案为 .
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思路分析
过点作,，垂足分别为，，连结，则易得 ,再根
据平行线间的距离处处相等得出，继而得出 ，通过解直
角三角形得出 ，即可求解.
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（第29题图）
29.【2024天津中考】如图，正方形的边长为 ,对角
线,相交于点,点在的延长线上，,连结 .
（1）线段 的长为___;
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【解析】 四边形是正方形， ，
.在 中，
，
， .故答案为2.
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（2）若为的中点，则线段 的长为_ ___.
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【解析】延长到点，使，连结，过 点向
作垂线，垂足为 ,如图所示.
为的中点，为的中点，为 的中位线.
在中， ， .
， ，
.在 中，
，. 为
的中位线，.故答案为 .
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