（四）一次函数-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)
2025-12-14
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦一次函数核心内容，涵盖平面直角坐标系与函数图象、一次函数性质、与方程不等式关系及应用等考点。通过中考真题（如注水问题、点的规律题）导入，关联函数基础，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架，衔接前后知识脉络。
其亮点是精选2024-2025年各地中考真题分考点集训，解析注重分类讨论与规律探究，如第1题通过注水过程分析函数图象培养数学眼光，第13题利润问题建立函数模型体现数学语言。助力学生提升解题思维，为教师提供系统真题资源和教学思路。
内容正文：
数 学
九年级下册 HS
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第二部分 中考真题分类集训
4
（四）一次函数
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考点
考点1 平面直角坐标系与函数图象
1.【2024湖北武汉中考】如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实
心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度与注水时间 的
函数关系的是( )
D
A. B. C. D.
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【解析】注水时，下层实心圆柱体底面半径大，水面上升快，上层实心圆柱体底
面半径小，水面上升慢，当水没过上层实心圆柱体的上底面时，水面上升更慢，
所以对应图象的第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓.故选D.
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2.【2024黑龙江绥化中考】如图，已知，， ，
，，，，, ，依此规律，则点
的坐标为_____________．
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【解析】由题知，点的坐标为，点的坐标为，点 的坐标为
，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点 的
坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点 的坐标
为，点的坐标为，点的坐标为，点 的坐标为
，点的坐标为， ，由此可见，每七个点为一个循环，每增加
一个循环，循环中对应位置的点的横坐标增加10，且点的纵坐标按， ，
0，0，，，0循环出现.又因为，所以点 的横坐
标为，纵坐标为，则点的坐标为 ．故
答案为
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关键点拨
找到规律：每七个点为一个循环，每增加一个循环，循环中对应位置的点的横坐
标增加10，且点的纵坐标按，，0，0，， ，0循环出现是解题的
关键．
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考点2 一次函数的图象与性质
3. 【2025江西中考】在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己
身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度
与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是( )
A
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】如图，用表示跳跃高度，用表示身高，根据题意设 ，
.根据正比例函数的意义可知，越大，直线越陡， 观察图
象可得，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 获胜的同学
是甲，故选A.
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4.【2025江苏扬州中考】已知 ，则一次函数
的图象不经过( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】，且 ，
，， 一次函数 的图象经过第一、二、
三象限，不经过第四象限，故选D.
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5.【2024四川南充中考】当时，一次函数 有最大
值6，则实数 的值为( )
A
A.或0 B.0或1 C.或 D. 或1
【解析】当，即时，随的增大而增大， 当 时，一次函
数有最大值6，，解得 或
（舍去）.当，即时，随的增大而减小， 当 时，
一次函数有最大值6， ，解得
或（舍去）.综上，当 时，一次函数
有最大值6，则实数的值为0或 ，故选A.
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6.【2024江苏苏州中考】直线与轴交于点，将直线绕点 逆时针
旋转 ，得到直线，则直线 对应的函数表达式是______________.
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【解析】依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象 ，
如图所示.设与轴的交点为点，与轴的交点为点 .
在中，令，得；令，得 ，
，，， ，
直线绕点逆时针旋转 ，得到直线 ，
， ，则点
.设直线的表达式为，则 解得
直线的表达式为 ，故答案为
.
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7.【浙江杭州中考】在“探索一次函数的系数， 与图象的关系”活
动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，， ．同学们画出
了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式
，，．分别计算， ，
的值，其中最大的值等于___．
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【解析】令直线的表达式为，将点， 代入，得
解得.令直线的表达式为 ，
将点，代入，得 解得 .令直线
的表达式为，将点，代入，得 解得
， 其中最大的值等于5．
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一题多解
如图，作直线，，，作直线.令直线 的表达式
为，直线的表达式为，直线 的
表达式为.由图象可知，直线与直线 的交
点最高，即当时，，， 的值中，最大
的值为，将点，代入 ,得
解得， ，
， 的值中，最大的值等于5．故答案为5．
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8.【2025四川德阳中考】如图，在平面直角坐
标系中，，，点 在直线
上，且，连结， ，
将绕点顺时针旋转到，点 的
对应点落在直线上，再将绕点
2 004
顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上.如此下去， ，则
的纵坐标是_______.
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【解析】如图，设直线与轴交于点 ，分别
过点，作轴， 轴，垂足分
别为点， .
在直线中，当 时，
，,， .
，，， ，
，
，
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， ， .由勾股定理得
， .由旋转性质可知
，， ，
，即的纵坐标为6，同理 的纵坐标为
， 点在直线上， 的纵坐标为
，故答案为2 004.
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9.【2025辽宁中考】如图，在平面直角坐标系 中，直线
与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段 上
（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点 ，
点关于直线的对称点为，连结 .
（1）求证： ；
【证明】由条件易知，， .
， .
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（2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点 ，求四
边形 面积的最大值.
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【解】 点的坐标为，， .
由条件可知， ，
.
， ， .
，， ，
四边形是直角梯形， ，
.
，, 当时，四边形面积取得最大值，最大值为 .
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考点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系
10.【2024江苏扬州中考】如图，已知一次函数的图象分别与 ,
轴交于,两点，若,,则关于的方程 的解为________.
【解析】 一次函数的图象与轴交于点，且 ，
， 关于的方程的解为，故答案为 .
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11.【2025北京中考】在平面直角坐标系中，函数 的图象经
过点和 .
（1）求， 的值；
【解】 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点 和
，解得
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（2）当时，对于的每一个值，函数 的值既小于函数
的值，也小于函数的值，直接写出 的取值范围.
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【解】 .
由（1）可得函数的表达式为，函数 的表达
式为 .
当时，有 ，
当时，有 .
当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数
的值，也小于函数的值，，且， .
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①当，时，和恒成立，故 符合题意.
②当时，则且 ，
当,即时，有 ,
解得，符合题意, .
当,即时，有 ，
解得 ，此时不符合题意.
综上所述， .
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思路分析
由（1）可得出函数和的表达式，根据题意得 ,
再分情况讨论：①当时；②当时，最后综合得出 的取值范围.
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考点4 一次函数的应用
12.【湖北武汉中考】我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行
一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之.问几何步及
之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间
的函数图象，则两图象交点 的纵坐标是_____．
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【解析】由题意可知善行者行走的路程关于善行者的行走时间 的表达式为
，不善行者行走的路程关于善行者的行走时间 的表达式为
.联立得解得 两图象交点 的纵坐标是
250.故答案是250.
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13.【2024云南中考】A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，
深受大家喜欢.某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
A型号 35
B型号 42
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；
购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元.
（1）求， 的值；
【解】根据题意，得解得的值是40， 的值是50.
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（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号
吉祥物的数量（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的 ，又不超过B种型号吉
祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求 的最大值.
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物
的成本的差.
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【解】购买B种型号吉祥物的数量为个.根据题意，得 解得
.
.
，随 的增大而减小.
且 为整数，
当时，的值最大，， 的最大值是564.
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