27.1.3 圆周角-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“圆”中圆周角的定义、性质、定理及推论，通过回顾圆心角知识导入，设置“刷基础”“刷提升”分层练习，以例题解析和思路分析为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融入2025年多地期末期中真题，设微专题讲辅助线构造，通过证明PA+PB=PC等培养推理能力，借助几何直观分析图形关系。教师可系统分层教学，学生能提升解题能力和数学思维。

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第27章 圆 4 27.1 圆的认识 3.圆周角 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆周角的定义及性质 1.下列四个图中， 是圆周角的是( ) C A. B. C. D. 【解析】根据圆周角的定义可知,只有选项C符合要求. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.如图所示，在中，，以为直径作半圆，交于点，交 于 点.若 ，，则弧所对圆心角的度数是____， 的长为___. 2 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 【解析】连结， ，如图. ， ， ， ， 弧 所对圆心角的度数是为半圆的直径，， 是的中线，，.故答案为 ，2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 知识点2 圆周角定理 （第3题图） 3.【2025河北石家庄期末】如图，为的直径，，为 上两点（不与点，重合），连结，，， ，若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 技巧点拨 圆周角定理 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所 对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等 常见图形 ________________________________________________________________ 以上三个图中均有 【解析】为的直径， ， .又 同弧 所对的圆周角相等， ， ，故选 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （第4题图） 4.【2025吉林长春期中】如图，是的直径，是 的弦， 半径，连结，交于点.若 ，则 的 度数是( ) B A. B. C. D. 【解析】 半径，， ， ， ， ．故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 5.【2025安徽合肥二模】如图，圆中两条弦，相交于点，其中劣弧 ， 劣弧所对的圆心角的度数分别为 ， ，圆的半径为5，，则 的长为_________． （第5题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 【解析】如图，连结,,，， 劣弧,劣弧 所对的圆心角的度 数分别为 ， , , , , ， ， ，是等边三角形，．在 中， ,，， , ，．故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 思路分析 连结,,，,,可得 , ，则 , ，是等边三角形，可得 ， .再 根据含 角直角三角形的性质得，然后根据勾股定理求出, 的长即 可求得 的长. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 知识点3 圆周角定理的推论1 （第6题图） 6.【2025福建泉州期末】如图，在平面直角坐标系中， 经 过原点，并且与轴、轴分别相交于点，.已知 ， ，则 的半径为( ) D A.5 B.4 C.3 D.2.5 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 【解析】连结，如图所示. ，，为上两点，为 的直径.,，,.在 中，由勾股定理可知, ，，的半径为 ，故选D. （第6题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 （第7题图） 7.【2025浙江杭州期中】如图，在每个小正方形的边长均为1 的网格中，小正方形的顶点称为格点，一段圆弧经过格点 ， ，，格点，的连线交圆弧于点，则 的长为_ ___． （第7题图） 【解析】如图，连结，， .由题意可得 ， . ， 是圆弧所在圆的直径， ，，故答案为 ． 关键点拨 由 得到 是圆弧所在圆的直径是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 知识点4 圆周角定理的推论2 （第8题图） 8.如图，点,在以为直径的半圆上，且 ，点 是上任意一点，连结，，,则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】连结.由题意可知四边形为半圆 的内接四边形， ， 为直径， ， ， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （第9题图） 9.【2025四川南充质检】如图，四边形内接于 ，若四 边形是菱形，则____ 60 【解析】 四边形内接于， 四 边形是菱形，， .由圆 周角定理得， ，故答案为60． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 10.如图，四边形是的内接四边形， ，弦 ，则 的半径等于___. 2 【解析】连结，，如图. 四边形是 的内接四边形， ， ， ， 为等边三角形， ，即 的半径为2.故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 提升 （第1题图） 1.［中］如图，是的直径，点是外一点，连结 交 于点，连结并延长交于点.若 ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 【解析】连结,是 的直径， ， , 四边形 是圆内接四边形， ， ， ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 （第2题图） 2. 【2025河北秦皇岛期中，中】如图，的弦, 交于 点，连结,．若 ，则下列说法正确的是( ) A A. B. C. D.无法确定 【解析】， ， ， ， ．故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （第3题图） 3.【2025河北邯郸质检，中】如图，四边形 内接于半径为3 的，点为弧的中点.若 ，则 的长为( ) B A. B. C.5 D.6 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 （第3题图） 【解析】如图，连结，，，，过点作 于点 点为弧的中点，， 四边形 内接于， ， ， 是等边三 角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （第4题图） 4.【2025福建福州期中，中】如图，是的直径，弦 ， 交于点，且满足，，连结.若 的半 径长为3，，则 的长为_________． （第4题图） 【解析】如图，连结，， ， ，， ， ， 的半径长为3， ，是 的直径， 在中，， 在 中， ，，故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 思路分析 连结，，.先证明，推出 ，再推出 ，最后在和 中利用勾股定理计算即可求解． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 5.［中］如图，的三个顶点在上，为 的直径， ，，连结，弦分别交，于点， ，其 中点是的中点，则 的长为_____. 1.4 【解析】是的中点，是半径，, ， 是直径，, ， .又，, ，即 , ， .故答案 为1.4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 6.［中］如图，以的边为直径作，交边于点，过点作 交于点，连结，， . （1）求证： ； 【证明】， ， ，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 （2）若，，求和 的长. 【解】是的直径， .， 设 ，则 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 ，.在 中， ，， 已舍去 ，，，.在 中， .连结 ，如图. 是 的直径， ，，， . ，， , 在中，， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 7.［较难］如图，的半径为1，，，是 上的三个点，点 在劣弧上， ，平分，连结,, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （1）求证： . 【证明】在上截取，连结 ，如图（1）. 图（1） ，平分, ， 是等边三角形， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 在和中， ..， . 又， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 在上截取，连结,可得 是等边三角形，再根据题目条件证明 ,得出 ,进而可得结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 （2）当点位于什么位置时， 的面积最大？求出最大面积. 【解】如图（2），取的中点，易知,,三点共线，设交于点 . 图（2） 四边形内接于， ，平分, ， ，，是等边三角形. 点是的中点， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 的半径为1，， 易得， ， ，.故当点位于的中点时， 的面积 最大，最大面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 刷素养 走向重高 8.核心素养 推理能力【2025江苏南京期中，较难】 （1）证明定理：圆内接四边形的对角互补. 已知：如图（1），四边形内接于 . 求证： . 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 38 【证明】如图（1），连结， . 图（1） ，，且 ， . 同理 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 39 图（2） （2）逆命题证明：若四边形的一组对角 ，则这个四 边形的4个顶点共圆. 可以用反证法证明如下： 在图（2）中，经过点，，画 . 假设点落在外，交于点，连结 . 四边形内接于 ， ____________ . ， ____，与 矛盾. 同理点也不会落在 内， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 40 ，，， 四点共圆. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 41 （3）结论运用：如图（3）, ，线段，点，分别在射线 和线段上运动，以为边在内部作等边，则 的最小值为_ ___. 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 42 【解析】连结 ,如图（2）. 图（2） 是等边三角形， ， ，,,,四点共圆， , 在 内部作 ，则点始终在射线上运动.过点作于 . 由垂线段最短可知，当，即点位于点处时，最小.在 中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 43 ， ， ，故的最小值为,故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 连结.由是等边三角形得出 ，结合 可得出,,, 四点共圆.由同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等得到 .在内部作 ，可知点始终在射线 上 运动.过点作于.由垂线段最短可知，当，即点位于点 处 时， 最小，最后利用勾股定理即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 45 微专题3 与圆心角或圆周角有关的辅助线 （第1题图） 1.构造同弧的圆周角 【2025山西晋城质检，中】如图，是 的直径，点，，在上.若 ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 46 【解析】如图,连结是的直径， ， ， .故选C. （第1题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 47 （第2题图） 2.连半径，构造圆心角 【2025江苏淮安期中，中】如图， 为 的直径，点在上，且，过点的弦与线段 相交于点，连结.若 ，则 ____度. 20 （第2题图） 【解析】连结，如图. ， ， ， ， ， ， ，故 答案为20. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 48 3.构造圆内接四边形 【2025黑龙江大庆期末，较难】如图，点，，在 上， 四边形是平行四边形.若对角线，则 的半径为___. 2 （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 49 【解析】如图，连结,交于点,作圆周角 ， 则 四边形是平行四边形， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 四边形 是 平行四边形，.又， , ，，，解得 （负值已舍去），,即 的半径为2. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 50 4.构造直角三角形 【2025河北石家庄期末，较难】如图，在 中，半径为4， 将三角板的 ， 角顶点，放在圆上，，两边分别与交于点 ， ，且，则 的面积为______. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 51 【解析】如图,连结 ，为 的直径， ， ， ， ， ， . .故答案为 . 为的直径， ，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 52 $