27.1.2课时2 _垂径定理-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册第27章“圆”的垂径定理及推论，从圆的对称性切入，通过“刷基础”“刷提升”“刷易错”分层例题（如弦长与半径计算）搭建学习支架，衔接圆的认识与对称性知识，帮助学生逐步掌握定理应用。 其亮点在于结合中考真题（如2024四川眉山期末题）和实际情境（拱形门、铣轴问题），通过几何直观（辅助线构造）和推理能力（分类讨论、证明推导）培养数学思维，易错点警示强化严谨性。学生能提升解题能力，教师可高效覆盖考点与核心素养培养。

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第27章 圆 27.1 圆的认识 4 2 圆的对称性 课时2 垂径定理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 垂径定理 （第1题图） 1.【2024四川眉山期末】如图，弦垂直于的直径 ，垂足 为，且，，则 的长是( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】如图，连结是的直径， ， ， 在 中， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 思路分析 连结,根据垂径定理求得 的长，再根据勾股定理即可求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （第2题图） 2.【2025浙江杭州期中】如图，为的直径，弦 于 点，于点.若的半径为5，，则 的长为 ( ) D A.1 B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 【解析】如图，连结 . （第2题图） 由题意得, 在 中， ， 在 中， ， ， 在中， ，故选D． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第3题图） 3.【2025陕西西安期中】如图,的半径为5,弦,是弦 上的一个动点（不与,重合）, 的值可能是( ) B A.3.1 B.4.2 C.5.3 D.6.4 【解析】过点作于,连结 ,如图, （第3题图） 则.在中, ,所以 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 关键点拨 当与重合时取得最小值4,从运动到或的过程中,的值越来越大,若 与点重合,则,进而得出 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 4.【2025河北沧州期中】如图，是的直径，是 的一条弦，且 于，连结，．若，，求 的半径． 【解】是的直径，，， ， . 设的半径为， 在中， ， 解得， 的半径为5． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点2 垂径定理的推论 5.【2025湖南长沙质检】下列说法正确的是( ) D A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 【解析】A选项，两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项的说法错误，不符 合题意；B选项，平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项的说法错误， 不符合题意；C选项，弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项的说 法错误，不符合题意；D选项，平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，故本选项 的说法正确，符合题意．故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （第6题图） 6.如图，的弦和直径交于点，且平分 ，已知 ，，那么 的半径是___. 5 【解析】连结的弦和直径交于点，且平分 ， ，.设的半径为 ,则 ，.在 中，由勾股定理，得 ，即，解得 ，故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 7.【2024陕西榆林质检】如图，这是一扇拱形门的示意图， 为门框底， ，，门框顶部是一段圆心角为 的圆弧， 是的中点，则点到门框底的距离是_________ . （第7题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 【解析】如图，设圆心角为 的圆弧所在圆的圆心为 ， 连结,,,,设交于点，则 ，且， 是等腰直角三角形，且是的中点， ， , , ，， 点到门框底 的距离是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 8.如图所示，，分别是，的中点，交于,交于 ．求证： ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 【证明】如图所示，连结，是的中点，是 的中点， ， . ，， ， ， ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 刷易错 易错点 忽略分类讨论而漏解 9.已知的半径为，弦，且，，则弦 和之间的距离为_______ . 14或2 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 【解析】作于点,于点,连结，,,, 三点共线.①当弦和弦 在圆心同侧时，如图（1）.∵EF=16 cm, ，，.， ， ， . 图（1） 图（2） ②当弦和弦在圆心异侧时，如图（2）.， , ，.，， ， . 综上，弦和之间的距离为或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 易错警示 求两条平行的弦之间的距离有两种情况，需分类讨论：①弦位于圆心的同侧;②弦 位于圆心的异侧.常常因只考虑其中的一种情况而漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 提升 1.［中］如图，在半径为1的扇形中， ，点是 上 任意一点（不与点，重合），，，垂足分别为 ， ，则 的长为( ) B A. B. C. D.1 【解析】如图，连结 ， ， .， ， ，，是的中位线， ， 故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 关键点拨 由垂径定理可知，是的中点，是的中点，所以是 的中位线，所 以求出的长即可求出 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （第2题图） 2.【2025江苏南京质检，中】如图，在半径为5的中，弦 与相交于点, .若，则 的长为 ( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （第2题图） 【解析】如图，过点作于点，作于点 ，连结 ,, ， 的半径为5， ，， ， ， ， ，，.又 ， ，平分， .在 中， ， ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 3.【2025重庆巴南区期末，中】如图，点，，，在上， ，半径 与交于点,连结,.若是的中点，且， ，则 ___． （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 【解析】连结并延长交于点，连结 ，如图. （第3题图） 设的半径为，则，是的中点， ， .在中，由勾股定理得 ,即 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 ，解得，即的半径为， ， ，.在中，，①在 中， ，即， 得 ，解得， ， ．故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 4.［中］如图，在中，半径与弦垂直于点，为的中点，为 上 的点，且.若，，则 的半径长为___. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解析】连结，，延长交于，过作于 ，如图. 设的半径为，，， , ， 四边形是矩形， ， .在中，，① 在 中， ，得，解得，即 的 半径长为.故答案为 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 5.[中]如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是 ，点 ，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形，则点 的坐标为 ______. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解析】 四边形是平行四边形， ， ，.如图，过点作于点 ,过 点作于点，则,易得四边形 是 矩形，， ， ， .连结，则， 在 中，由勾股定理得，, 点 的坐标为 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 关键点拨 过点作于点，由垂径定理求得 是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 6.【2025湖北武汉武昌区期中，中】已知吃刀深度为 时，能 在直径是的轴上铣出宽 的一块平面（如图）. （1）求 的值. 【解】如图，设圆心为，过点作于点， 的延长线 交于点，连结 . . . . . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 ， ， . 设 . ，.在中，根据勾股定理得 ， 即，解得 ， ，即 的值为202. 切入点.（构造模型） 关键点.（数学建模） . . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 （2）若吃刀深度增加到 ，求轴上铣出平面的宽度. 【解】当时， . ，.在中，根据勾股定理得 ，即 ，解得，， 轴上铣出平面的宽度为 . 卡壳点.（吃刀深度） . . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合 【2025四川成都质检，较难】如图，在中， 是直 径，为上一点，过点作弦， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 （1）若，，求 的长； 【解】如图，作于，连结，， ， ，.在中， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 易得.在中，， ， .， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （2）若，，求 的长； 【解】作于，连结，则， ， ，，.在中， ， .在中，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 42 （3）当在上运动时（ 不变）， 的值是否发生变化？若 不变，请求出其值；若变化，请求出其范围. 【解】的值不发生变化，为定值.作于，连结 ，则 .设圆的半径为.在中， ，在 中， ，，.又，,的值不发生变化，为定值 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 43 $