（二）方程（组）-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(沪科版)
2025-12-14
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦方程（组）中考分类集训，涵盖一次方程（组）、一元二次方程、分式方程等核心知识点。课堂导入从真题切入，如浙江衢州中考题，通过解析回顾解法，结合关键点拨过渡到综合应用，如购买方案设计，构建基础到应用的学习支架。
其亮点在于精选中考真题，解析含易错警示与关键点拨，融入传统文化（如《九章算术》田出租问题）和实际应用（如健身器材购买）。以数学眼光观察现实问题，用数学思维分析分类讨论（如分式方程无解），培养模型意识。帮助学生提升解题与应用能力，为教师提供优质教学资源。
内容正文：
数 学
九年级下册 HK
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第二部分 中考真题分类集训
4
（二）
方程（组）
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考点
考点1 一次方程（组）
1.【浙江衢州中考】下列各组数满足方程 的是( )
A
A. B. C. D.
【解析】当，时， ，故选项A符合题意；当
，时， ，故选项B不符合题意；当
，时， ，故选项C不符合题意；当
，时， ，故选项D不符合题意．故选A．
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2. 传统文化 【2024广西中考】《九章算术》是我国古代重要的数学著作，
其中记载了一个问题，大致意思为现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，
第三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出租的田有多少亩?设出租的田有 亩，可列方
程为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】根据题意得，即 .故选B.
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3.【四川眉山中考】已知关于,的二元一次方程组 的解满足
，则 的值为( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】得， .
由，可得，解得 ，故选B．
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关键点拨
解题的关键是把方程组的两个方程相减得到 ．
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4.【2025黑龙江龙东地区中考改编】为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划
用1 200元购买足球和篮球用于课外活动（两种球都买），其中足球80元/个，篮
球120元/个，共有多少种购买方案( )
C
A.6 B.7 C.4 D.5
【解析】设购买足球个，篮球个.根据题意得 ，即
，则.,都是正整数，或或 或
共有4种购买方案，故选C.
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5.【2025河北中考】甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为, .如图,将甲纸条
的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ____.
99
【解析】 甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，，则设 ，
重叠后的总长度为81，， ，
，，， ，
，故答案为99.
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6.【2024广西中考】解方程组：
【解】
，得，解得 .
，得，解得 ,
方程组的解为
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7.【2025北京中考】北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕
风筝，小明准备了五根直竹条（如图（1））：一根门条、两根等长的膀条和两根
等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架
（如图（2）），其头部高、胸腹高与尾部高的比是 .已知单根膀条长是胸腹
高的5倍，门条比单根膀条短，图（1）中的长是门条长的，， 的
长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
图（1）
图（2）
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【解】设胸腹高为，则门条的长为， ，头部高
为，尾部高为，所以题图（1）中 ，这只风筝的骨
架的总高为 .
题图（1）中，由，可得 ，解得
,所以 .
答：这只风筝的骨架的总高为 .
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8.【2024安徽中考】乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分
返乡青年承包了一些田地.采用新技术种植A,B两种农作物.种植这两种农作物每公
顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元.
问A,B这两种农作物的种植面积各多少公顷?
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【解】设A种农作物的种植面积是公顷，B种农作物的种植面积是 公顷.
根据题意得解得
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷.
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考点2 一元二次方程
9.【2025湖北中考】一元二次方程的两个实数根为， ，下列
结论正确的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】，是一元二次方程的两个实数根， ，
，故选D.
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10.【2024四川凉山州中考】若关于的一元二次方程
的一个根是，则 的值为( )
A
A.2 B. C.2或 D.
【解析】 关于的一元二次方程的一个根是 ，
且， ，故选A．
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易错警示
不要忽略一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件.
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11.【2024黑龙江绥化中考】小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，
小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过
程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和 ．则原来的方程是
( )
B
A. B. C. D.
【解析】设原来的方程为.由题知， ，
，所以，，所以方程为 .
观察选项可知，原来的方程为 ．故选B．
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12.【黑龙江龙东地区中考】如图，在长为，宽为
的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部
种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是( )
A
A. B. C.或 D.
【解析】设小路的宽是，则余下的部分可拼成长为 ，宽为
的矩形.根据题意得 ，整理得
，解得，（不符合题意，舍去）， 小路的宽
是 ．故选A.
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13.【2025四川成都中考】从，1，2这三个数中任取两个数分别作为， 的值，
则关于的一元二次方程 有实数根的概率为__.
【解析】 方程有实数根， .画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能使该一元二次方程有实数根的结果有3种， 关于
的一元二次方程有实数根的概率为，故答案为 .
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14.【2025山东威海中考】把一张矩形纸片按照如图（1）所示的方式剪成四个全
等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图（2）或图（3）所示的正方形.若矩
形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形 面积的2倍，则
_ ____.
图（1）
图（2）
图（3）
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【解析】根据题意得直角三角形的两直角边长分别为,, 四边形 的面积
为，四边形的面积为. 四边
形的面积等于四边形面积的2倍， ，整理
得，.设， ，
解得或（舍去），，故答案为 .
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15.【2025黑龙江齐齐哈尔中考】解方程： .
【解】，，， 或
，， .
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16.【2024山东淄博中考】“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的
关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到
2023年的50万人.
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
【解】设该市参加健身运动人数的年均增长率为.由题意得 ，解
得, （不符合题意，舍去）.
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为 .
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（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司
规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价
每套可降低40元,但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万
元，求购买的这种健身器材的套数.
【解】 ，
购买的这种健身器材的套数大于100套.设购买的这种健身器材的套数为 套.由
题意得，整理得 ，解
得,.当 时，售价为
，不符合题意，舍去.
答：购买的这种健身器材的套数为200套.
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考点3 分式方程
17.【2024四川德阳中考】分式方程 的解是( )
D
A.3 B.2 C. D.
【解析】去分母，得，移项、合并同类项，得，解得 ，
经检验， 是分式方程的解，故选D．
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18.【2024内蒙古呼伦贝尔中考】A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机
器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机
器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原
料？( )
D
A.60，30 B.90，120 C.60，90 D.90，60
【解析】设B型机器人每小时搬运 千克化工原料，则A型机器人每小时搬运
千克化工原料.根据题意，得，解得，经检验， 是
原方程的解且符合题意， .故选D．
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19.【2024黑龙江龙东地区中考】已知关于的分式方程无解，则 的
值为( )
A
A.或 B. C.或 D.
【解析】去分母并整理得.①当 时,整式方程
无解,即原分式方程无解,此时.②当时，解得. 关于 的分
式方程无解，，解得，则，解得 ，经
检验,是方程的解.综上,或 .故选A.
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刷有所得
分式方程无解：
将分式方程化为整式方程后，①当整式方程无解时，分式方程无解；②当整式方
程有解，但所有解都是分式方程的增根时，分式方程也无解.
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20.【2025广东中考】在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步： ，
第二步： ，
第三步： ，
第四步： .
第五步：检验：当时， .
第六步： 原分式方程的解为 .
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否
正确.若不正确，请写出你的解答过程.
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【解】小李的解法中，第一步是去分母.
去分母的依据：等式的基本性质.
小李的解答过程不正确.
正确的解答过程： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ．
检验：当时， ．
原分式方程无解．
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21.【2025上海中考】解方程： .
【解】方程两边同时乘，得 ，去括号，
得，移项，合并同类项，得 ，
，或，解得或 .检验：当
时，，是原分式方程的增根；当 时，
，是原分式方程的解， 原分式方程的解为 .
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22.【2024重庆中考B卷】某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙
粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测
算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15 000元，已知A种外墙
漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
（1）求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
【解】设A种外墙漆每千克的价格是元，B种外墙漆每千克的价格是 元.根据题意
得 解得
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元.
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（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的 ，乙完成粉刷任务
所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少
平方米？
【解】设甲每小时粉刷外墙的面积是平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是
平方米.
根据题意得 ，
解得，经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.
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