24.2～24.3 综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(沪科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册圆的综合训练，涵盖圆周角定理、全等与相似三角形及抛物线与圆结合等知识点。通过“刷综合”模块的中考模拟题导入，以辅助线添加、角与线段关系推导为支架，衔接圆的基本性质与综合应用。 其特色在于以分层训练和真题模拟为核心，通过安徽蚌埠模拟题等实例，培养学生数学思维中的推理能力（如几何证明全等推理）和数学眼光中的几何直观（辅助线构建图形）。解析分步呈现思路，教师可直接用于教学，学生能提升综合解题能力与模型意识。

数 学 九年级下册 HK 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第24章 圆 24.2~24.3 综合训练 5 刷综合 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 综合 1.【2025安徽蚌埠模拟，中】如图，是半圆的直径，点， 在半 圆上，且，连接，交于点.若 ， 则半圆 的直径为( ) A A. B. C. D. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 （第1题图） 【解析】如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 是半圆的直径， ， .故选A. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （第2题图） 2.【2024安徽合肥期末，中】如图，为 的内接三角 形，，为边上的中线，将沿 所在直线翻折后刚 好经过点，连接，若已知的半径为，则 的长是 ( ) B A. B. C. D. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 （第2题图） 【解析】如图，过点作交于，过点作 于 ，过点作于，连接，，，为 边上 的中线，，， ， 将沿 所在直线翻 折后刚好经过点，交于， 点为点关于直线 的对称点， 四边形是 的内接四边形， ， ， ，， , 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 , ， 四边形是正方形， ， ， ， ．故选B． 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 关键点拨 根据圆内接四边形的性质及折叠的性质得出 是解题关键． 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 （第3题图） 3.［中］如图，已知抛物线与 轴交于，两点，对称轴与轴交于点，点 为抛物线 的顶点，以点为圆心的半径为2，点为 上一 动点，点为的中点，则 的最大值与最小值的和为 ( ) D A. B. C. D.5 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 【解析】如图，连接为中点，为中点， 是 的中位线，则， 当最大时， 最大；当 最小时，最小.由圆的性质可知，当，， 三点共线时， 取得最值.连接，.由抛物线表达式易得，，， , ,，的最大值为， 的最小值为 ，的最大值为，的最小值为， 的最大值与最小值的和为5. 故选D. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 思路分析 为中点，为中点，所以是的中位线，则，所以当 最大时，最大；当最小时，最小，而当，，三点共线时， 取得最 值，再求出 的长即可解决问题. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 4.【2025安徽六安校级质检，较难】如图，在锐角 中， 是最短边.以为直径的，交于点，过点 作 ，交于点，连接，， . （1）若 ， ，则 的度数是____. 【解析】如图，延长交于点 ， ， ， ， ， 故答案为 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 （2）若，，则 的长为_____. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 【解析】是中点，.，.是 的直 径，， , ,，， ， ，故答案为 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 5.［中］某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 图（1） 【问题探究】 如图（1），，为的两条弦 ， 点为的中点，过作，垂足为.求证： . 图（2） 小明同学的思路：如图（2），在上截取，连接 ， ，， .请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 【解】证明：在上截取，连接，，， 点为 的中 点，，.又， ， .又，， . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 【结论运用】 如图（3），是的内接等边三角形，点是 上一点， ，连接，过点作，垂足为.若，求 的 周长. 图（3） 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 【解】如图（1），连接，在上截取，连接 . 同【问题探究】的方法可得， ， ， ， ， . 为等边三角形，.在 中， ，， 的周长为 . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 【变式探究】 如图（4），若将【问题探究】中“点为的中点”改为“点 为 优弧的中点”，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系，并加 以证明. 图（4） 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解】.证明：在线段上截取，连接， ，，，如图（2）. 点为优弧的中点， ， ， . 在和中， ， . ，.又， ， . 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 添加辅助线 要证明，和三条线段之间的和差关系，容易联想到截长补短模型，在 上 截取，连接，，，，证明 ，根据全等三角形的 性质得到，再根据等腰三角形三线合一得到 ，即可证明结论. 刷综合 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 $