24.2课时2 垂径分弦-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(沪科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“圆的基本性质（垂径分弦）”，通过“刷基础-刷提升-刷易错”分层练习构建学习支架，衔接圆的对称性前置知识，以指纹锁设计、烧瓶截面等实际问题导入，为后续圆与几何综合应用铺垫。 其亮点在于突出几何直观与推理能力，通过分类讨论（如弦AB、CD的位置关系）、跨学科实例（物理烧瓶问题）及易错警示（强调“平分弦不是直径”条件）深化理解。采用问题驱动教学，助力学生提升空间观念与解题能力，为教师提供分层资源与素养培养路径。

数 学 九年级下册 HK 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第24章 圆 4 24.2 圆的基本性质 课时2 垂径分弦 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆的对称性 1.下列说法中，不正确的是( ) C A.圆是轴对称图形 B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 【解析】因为对称轴是直线，直径是线段，所以不能说“直径是圆的对称轴”． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 知识点2 垂径定理及其推论 2.【2025安徽马鞍山花山区校级质检】如图，为 的直径， 弦于点，于点，若，，则 的 长度是( ) A A. B. C. D.10 【解析】， ， ，， ， ，，， ，即 ，.，是直径， .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3.已知的直径，是的弦，，且，垂足为 ， 则 的长为( ) C A. B. C.或 D.或 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 【解析】如图，连接.由题意得 ， , 在 中， .如图（1）， ， 在中， ；如图（2）， ，在 中， ．综上，的长为或 ，故选C. 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 （第4题图） 4.如图，的半径为5，弦，是弦 上的一个动点 （不与，重合），下列可以是 的值的是( ) B A.3.1 B.4.2 C.5.3 D.6.4 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】过点作于，连接 ，如图，则 .在 中， ，所以 .故选 B. 关键点拨 当与重合时取得最小值4，从运动到或的过程中， 的值越来越大， 若与点重合，则，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 （第5题图） 5.【2025安徽淮南校级期末】如图，等边三角形的顶点， 在 上，在内，于点，，，则 的半径为( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 【解析】如图，过点作于，于 ，连 接，，， 是等边三角 形， ， ， ， ， ， ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 ，，平分 ， ，. 是等边三角形， ，，， 三点共线， ， . ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.【2024安徽黄山期末】在中，为其内部一点，过点的最长的弦为 ， 最短的弦为，则 ________. 【解析】如图.根据题意，得于点，， ， , .根据勾股定理，得 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 知识点3 垂径定理的实际应用 7.【2025安徽淮南校级质检】如图为一个指纹锁的部分设计 图，尺寸如图所示，则 所在圆的半径为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，设所在圆的圆心为，半径为，作 交于点，交于点，则， 是半径， .在中， ， ，，所在圆的半径为 . 故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 8. 跨学科综合 【2025安徽亳州蒙城期末】如图，一个底部呈球形的烧瓶， 其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦 的长 为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得， ， 在中， ， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 刷易错 易错点1 对定理理解不透，造成误判 9.分析下列说法：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于弦；③平分 弦所对的一条弧的直径不一定平分另一条弧；④平分任意一条弦所对的两条弧的 弦一定是直径.其中正确的是______.（填序号） ①④ 【解析】垂径定理是“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条 弧”，故①正确；垂径定理的推论是“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条弧”,要注意：任意两条直径都互相平分，但未必互相垂直， 只有平分不是直径的弦的直径才一定垂直于弦，故②错误；平分弦所对的一条弧 的直径一定平分另一条弧，这里的“弦”可以是直径，故③错误；④正确． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 易错警示 在“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中，括号 内的“不是直径”这个限制条件切勿忽视 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 易错点2 未分类讨论导致错误 10.已知的半径为10，弦,,,则和 的距离为 _______. 14或2 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 【解析】分两种情况：①如图（1），当,在圆心的两侧时，过点 作 于点，延长交于点，连接,， , ，，， ， ．由勾股定理,得 ， ， . 图（1） 图（2） ②如图（2），当,在圆心的同侧时，同理可得, , ．综上所述，和 的距离为14或2． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 易错警示 本题容易只考虑和 在直径的同侧或者在异侧的其中一种情况，导致漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 提升 1.【2024安徽合肥瑶海区质检，中】如图，点，是 上两 点，，点是上的动点（与， 不重合），连接 ，，过点分别作于点，于点，则 的值为( ) C A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 2.【2024安徽黄山期末，中】紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作 过程中需要用到一种名为“带刻度嘴巴架”的工具，当制壶艺人把“带刻度嘴巴 架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口 中心在一条直线上（图（1）是正确使用该工具时的示意图）.如图（2）， 为 某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点 ，交 于点.若，，设这个紫砂壶的壶口半径为.则 的值为( ) A 图（1） 图（2） A.30 B. C. D.40 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【解析】如图，连接 直线过点，且， ， .在中， ， .， ，解 得 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （第3题图） 3.［中］如图，在中，弦，点在上移动，连接 ， 过点作交于点，则 的最大值为__. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【解析】如图，连接.设的半径为 ， ， , 当 的值最小 时，的值最大.当时， 的值最小，此时 ， 的最大值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4.［难］如图，已知的半径为2，弦的长度为2，点是 上一动点，若 为等腰三角形，则 的值为_________________________. 或或12或4 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 【解析】当为等腰三角形时，分以下两种情况：①如图（1），以 为底 边时，，,连接，，交于，则过圆心 ， 且，， ， ，， ， .如图（2），以 为腰时， ，连接，，，交于 ，则 ， 是等边三角形，四边形 为菱形， ，，, ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 ，，.综上， 或 或12或4.故答案为或 或12或4. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （第5题图） 5.［难］如图，在中，是直径，为上一点，过点 作 弦， . （1）若，，则 的长为______； 【解析】过点作于，连接，则， ， ，，.在中， ， .在中，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）当在上运动时（ 不变）， __. 【解析】过点作于，连接，则.设的半径为 .在 中，.在中， ， ,， , ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 方法技巧 利用垂径定理解题时，常用的作辅助线的方法是连接圆心和弦的端点或过圆心作 弦的垂线，构造直角三角形，然后利用勾股定理进行解题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力【2025安徽安庆期末，难】 图（1） 【初始问题】 如图（1），已知两个同心圆，直线 分别交大 于点，，交小于点， . 与 相等吗？请证明你的结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 【解】.证明：如图（1），过点作于， ， ，，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 图（2） 【类比研究】 如图（2），若两个等边三角形和 的中心（点）相同，且满足， ， ，可知与，与，与 之间的距 离相等. 直线分别交三角形的边于点，，，，与 所成夹角 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 （1）求的值（用含 的式子表示）； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 【解】如图（2），过点作于，过点 作 于，则， .在 等边三角形中， ， . ， . ， ， 在和中， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）若，求 的度数. 【解】， , ， .故 时， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 40 $