专题01 圆与其他知识的5种综合 （高效培优专项训练）数学沪科版九年级下册

专题01 圆与其他知识的综合 题型一：圆与三角形的综合 题型二：圆与四边形的综合 题型三：圆与尺规作图的综合 题型四：圆与平面直角坐标系的综合 题型五：圆与函数的综合 题型一：圆与三角形的综合 1．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图，内接于，已知是直径，，，点D在直径上方的半圆上运动，连接交于点E，则的长度为 ，的最大值为 ． 3．（2024·安徽芜湖·一模）如图，在中，，，，点D为上一点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，． （1）当点D是的中点时，的最小值为 ； （2）当，且点Q在直线上时，的长为 ．    4．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，，以为直径的交于点D，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求AB的长． 5．（23-24九年级下·安徽蚌埠·月考）如图，是的外接圆，是的直径，C是延长线上一点，在上，连接，若． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 6．（23-24九年级下·安徽六安·月考）如图，是的外接圆，是的直径，是的切线，切点为F，，连接交于E，连接． (1)证明：平分； (2)若的平分线交于点D，，，求的值． 7．（2024·安徽马鞍山·一模）如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、，于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，当时，若，，求的长． 8．（2024·安徽合肥·一模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 9．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，点在边上，以点为圆心的与边相切于点，与边相切于点，交于点，延长，交于点，过点作于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 10．（2023·安徽合肥·二模）是的直径，是的切线，连接交于点，连接． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，作的角平分线交于点，交于点，若，，求的值． 11．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在的边上取一点，以为半径作，与交于，两点，过点作，与交于点，与交于点，延长交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)连接，为上一点，且满足，求证：． 13．【问题提出】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 (1)若，平面内一点C满足，若点C所在圆的圆心为O，则__________，劣弧的长为__________． (2)如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②连接，若正方形的边长为4，求的最小值． 14．（23-24九年级上·安徽淮北·开学考试）如图，是的直径，点为上一点，，垂足为，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求的长． 15．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知是的外接圆． (1)如图1，过点B作于点E，交于点D，连接，若平分． ①求证：． ②若，的半径为2，求的长； (2)如图2，过点O作于点F，交于点D，点E在上，且，若，，求的值． 题型二：圆与四边形的综合 16．如图是两个同心圆，大圆的直径AC固定不动，小圆的直径BD绕着圆心0旋转，BD与AC不在同一条直线上，在BD旋转过程中，下面说法正确的是（ ） A．∠ADC的大小始终不变 B．四边形ABCD存在是矩形的情形 C．四边形ABCD的最大面积等于AC·BD． D．AD的最大值等于（AC+BD） 17．已知，矩形中，，，为上动点，为上动点（含端点），且，则（1）的最大值为 ；（2）若长为整数，则点的位置有 个． 18.在矩形ABCD中，P是矩形边上一点，满足∠APB＝30°， （1）若AB＝1，，满足条件的P点有 个； （2）设AD：AB＝x，若满足条件的P点有4个，则x的取值满足 ． 19．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则： （1）当四边形是正方形时， ； （2）当的一边与相切时，的长为 ． 20.如图，四边形ABCD为平行四边形，边AD是的直径，交AB于F点，DE为的切线交BC于E，且，BD和交于G点． (1)求证：四边形ABCD为菱形． (2)若半径，，求BF长． 21．（2023·安徽合肥·三模）已知，如图，四边形内接于，直线与相切，切点为，连接．    (1)求证：； (2)若，点是劣弧的中点，，求． 22.如图，四边形内接于⊙O，点为弧中点，过点作⊙O切线交的延长线于点． （1）如图1，求证：∥； （2）如图2，若为⊙O的直径，，求的长． 23.如图1，在矩形中，，，E，F分别是对角线上的点（点不与点重合，点可以与点重合），已知点A，F关于点对称，是的中点，以为圆心，长为半径在的下方作半圆，设． (1)若，求半圆的半径． (2)如图2，当点与点重合时，设半圆与交于另一点，求的长． (3)当半圆与矩形的边相切时，求的值．（参考数据：，，） 24．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．    (1)求证：是的切线． (2)若，，，求的长． 25．（2025·安徽·模拟预测）如图，长方形中，，E为边上一点，连接，过点E作交边于点F，连接交于点． (1)当时，求证：； (2)在（1）的条件下，求的长； (3)若，求的值． 题型三：圆与尺规作图的综合 26．（2025·安徽亳州·三模）如图，内接于． (1)按照下列作法作出图形：①以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接并延长交于点；④连接交于点； (2)若，，求的直径． 27．（24-25九年级下·安徽阜阳·开学考试） 将尺规作图与圆相结合 如图，已知，点O为射线上一点，以为半径画圆． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）中所作图形的条件下，点E为射线上一点，连接，若与相切于点，求证：． 28．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是弦，是直径，且经过的中点，连接． (1)用尺规作图作出弦的垂直平分线，并标出与的交点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的半径为，，求的长． 29.综合与实践 定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现： （1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆， （2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆． 如图1，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆． (1)实践与操作：如图2．在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与计算：如图3，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径． 30．（2025·安徽滁州·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为． (1)利用格点画出的外接圆，并写出圆心P的坐标为________； (2)画出绕点A按顺时针方向旋转后的； (3)在（1）（2）的条件下，连接，请仅用无刻度直尺画出的中点E．（保留作图痕迹，不需要说明） 31．（22-23九年级下·安徽宣城·自主招生）矩形中，为边上的动点，为边上的动点． (1)如图1，若，且与相似，求的长，并在图1中作出点的位置，要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹； (2)如图2，若，且，求的长； (3)如图3，当点与点重合，是的中点，是上的动点，且，求的最小值．【直接写出结果，不写解题过程】 32.现有五个边长都为4cm的小正方形硬纸板，若将这五个小正方形硬纸板按如图方法不重叠地放在桌面上，再用一个圆形硬纸板将其盖住． (1)如图4，能盖住图1中五个小正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm； (2)如图5，能盖住图2中五个小正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm； (3)在图3中，请用直尺、圆规作出能盖住这五个小正方形的最小圆（不写作法，保留作图痕迹），并求出圆的直径． 33．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，，经过点A，B的圆的圆心在边上． (1)线段的长等于__________； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D，使其满足的度数小于的度数，并说明理由． (3)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________． 题型四：圆与平面直角坐标系的综合 34．（2023·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（　　） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，经过四点，，，则圆心点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，点在以为圆心，2为半径的上运动，且始终满足，则的取值范围是 ． 38．（2025·安徽池州·二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)将绕原点按逆时针方向旋转得，请画出，并写出点的坐标； (2)的面积为________； (3)点在（1）中经过的路径长为________． 题型五：圆与函数的综合 39．如图，半圆O的直径长为4，C是弧的中点，连接、、，点P从A出发沿运动至C停止，过点P作于E，于F．设点P运动的路程为x，则四边形的面积y随x变化的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 40．（2023·安徽·二模）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图象经过点C，则k的值为（　　）    A． B．8 C．16 D．32 41．（2025·安徽·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线．点在轴下方抛物线上，轴，交外接圆于点，的长度为（   ） A． B． C．1 D． 42.如图所示，直线与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动 秒时，直线恰好与相切． 43．（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为2，，，点Q是上的动点，点C是的中点，则的最小值是 ． 44．（24-25九年级上·安徽铜陵·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接． （1）当点M为的中点时，的长为 ． （2）当点M在上移动时，的最小值为 ． 45．（2024·安徽合肥·二模）已知三个顶点的坐标为，点P为边上一动点，点Q为平面内一点，连接，我们把线段的最小值称为“点Q到的距离”，记为． （1）若Q在原点O时， ； （2）若点Q是以点为圆心，以1为半径的上一动点，且，则t的取值范围是 ． 46．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在平面直角坐标系中，A，B为抛物线 上的两个动点，且，连接，过点O作于点C． （1）若点A的横坐标为，则点 B的坐标为 ； （2）在直线的运动过程中，点C到y轴的距离的最大值为 ． 47．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，内接于，过点作于点，延长交于点，连接、与交于点． (1)若． ①求的度数． ②若的半径为6，求的长． (2)设，求关于的函数表达式． 48.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与直线交于轴上的点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴向左平移个长度单位得到直线，点是直线上一点，连接、，若直线上存在使最大的点，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 49.已知是关于的二次函数，其函数图象与直线交于A、B两点，在A、B两点之间作轴，与上述抛物线和直线的交点分别为点C、D． (1)当时，抛物线与轴交于两点E、F（点E在点F的左边）．则 ①点E的坐标为 ，点F的坐标为 ； ②过两点E、F且与轴相切的圆的圆心坐标为 ； (2)设线段的长为d，说明d的最大值与a的取值无关，并求出这个最大值． 50．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，二次函数的图象与x轴分别交于点，直线l是对称轴．点P在函数图象上，且P在直线的右侧，连接，过点P作，垂足为Q，以点Q为圆心，作半径为r的圆，与相切，切点为R． (1)求二次函数的解析式； (2)若的面积等于的切线长，求的半径r； (3)在（2）的条件下，若在点的上侧，求的取值范围． 51．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 52．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）【知识背景】 当且时，∵， 从而（当时取等号） 设函数由上述结论易得： 当时，该函数有最小值， 【应用举例】 已知函数与函数，则当时，函数有最小值． 【解决问题】 (1)当时，函数有最_____值为_____，此时_____． (2)已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长． (3)如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点． ①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标； ②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01圆与其他知识的综合 题型归纳 题型一：圆与三角形的综合 题型二：圆与四边形的综合 题型三：圆与尺规作图的综合 题型四：圆与平面直角坐标系的综合 题型五：圆与函数的综合 题型专练 题型一：圆与三角形的综合 1.(23-24九年级下·安徽池州开学考试)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内 切圆，连接AD,BD,则∠ADB的度数为() A.120° B.135° C.145° D.150° 【答案】B 【详解】解：⊙O是外接圆，AB是直径， ∠C=90°， 在△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°， ⊙D是内切圆， DA,DB是∠CAB,∠CBA的角平分线， ∠D1B+∠DB1=<CMB+∠CB=2x90=45, 在AABD中，∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA=180°-45°=135°， 故选：B 2.(2024安徽模拟预测)如图，△ABC内接于⊙0，已知AB是⊙O直径，AB=2,∠ABC=30°，点D DE 在直径AB上方的半圆上运动，连接CD交AB于点E,则BC的长度为一：CE的最大值为一· 1/83 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 0 【答案】 2W5 5 3 【详解】解：：AB是⊙O直径， ∠ACB=90°， AB=2,∠ABC=30°， .BC=A4B.cos30°=V3, 分别过点C,D作CF⊥AB于点F,DG⊥AB于点G, D E 则DG∥CF ∴.△DGE∽△CFE EDDG CE CF ∠ABC=30°， ∴CF=BC=5 ED_DG-23 DG CE3 3 2 ED 所以当DG取最大值时， E的值最大， 当点D位于AB的中点时，DG取最大值为1， 所以巴 的最大值为 3 2/83 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为： 2V3 5'3 3.(2024安徽芜湖一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D为AB上一点， 点P在AC上，且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q,连接AQ,DQ. (1)当点D是AB的中点时，DQ的最小值为一； (2)当CD L AB,且点Q在直线CD上时，A犯的长为一· P 【答案】 3 V130 2 5或370 【详解】(I)解：当点D是AB的中点时，如图所示，以C为圆心，以CP长为半径作圆C,交CD于点 2,则DQ为最小值， ∠ACB=90°，AC=3,BC=4, ..AB=AC2+BC2=32+42=5, 又，D是AB的中点， .CD=1 2 又.C0=CP=1, .DO=CD-CO= 13 5 2 故答案为：2 D B 3/83 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图： D CD⊥AB, SACD -24C-BC-1AB-CD CD=4CBC-3×412 AB 5 5 ..AD=AC2-CD2= ∴点CD卫在同一条直线上，由旋转得： CO=CP=CO'=1, 分两种情况： 当点Q在CD上， D0中，D0=Gm-c0-号1-号 在 ∴.AQ=VAD2+DQ2 当点0在pc的延长线上在RADg中，Dg-CD+cg-号+1- 5 综上所述：当∠D0=90时，A0的长为V 或 V370 5 5 故答案为： V130 或 V370 5 5 4.(23-24九年级下·安徽池州开学考试)如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的⊙0交BC于点 D,交BA的延长线于点E,连接AD,CE,DE, 4/83 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：∠BAD=∠CED: 21若CD=20am∠CDE=4,求B的长 【详解】(1)证明：：AC为⊙0的直径， ∠ADC=90°， AD⊥BC, ..AB=AC, .∠BAD=∠CAD,BD=CD, :'∠CAD=∠CED, ,∠BAD=∠CED: (2)解：∠CDE=∠CAE, 24 ÷tan∠CDE=tan∠CAE=7, :AC为⊙0的直径， ∠AEC=90°， ÷tan<CAE=CE_24 AE-7, 设AE=7x,则CE=24x, ..AC=AE2+CE2 =25x, .AB=AC=25x, ..BE=AB+AE=32x, ..BD=CD,CD=20. .BC=2CD=40, 在Rt△BEC中，BE2+CE2=BC2, .(32x2+24x=402, x=1(负值已舍)， .AB=25x=25×1=25. 5/83 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(23-24九年级下安徽蚌埠月考)如图，⊙0是△ABD的外接圆，AB是⊙0的直径，C是AB延长线 上一点，△EDB在OO上，连接DC,若∠DEB=∠CDB. D E B (1)求证：CD为⊙O的切线： (2)若AB=20,BD=DE=4V5,求BE的长 【详解】(1)解：证明：如图1，连接OD D B 图1 AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠A+∠OBD=90°」 OD=OB, ∴.∠ODB=∠OBD :∠A=∠DEB,∠DEB=∠CDB, .∴.∠A=∠CDB. .∠ODB+∠BDC=90°， ∴.OD⊥CD .CD为⊙O的切线 (2)解：如图2，设OD交BE于点H. 6/83 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D H 0 B C 图2 :BD=DE, .BD=DE, OD⊥BE' BH=EH=-BE. 2 .AB=20 ∴.OB=OD=10 设OH=x,则DH=10-x .BH2=BD2-DH2,BH2=OB2-OH2, :BD2-DH2=OB2-OH2, .(4V5)2-(10-x)2=102-x2, 解得x=6, .0H=6, .BH=OB2-OH2=8, ∴.BE=2BH=16」 6.(23-24九年级下·安徽六安月考)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FH是⊙0的切 线，切点为F,FH∥BC,连接AF交BC于E,连接BF, A E H (1)证明：AF平分∠BAC: (2)若∠ABC的平分线BD交AF于点D,EF=4,DE=6,求tan∠EBF的值. 【详解】(1)解：连接OF,如图所示： 7/83 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A H FH是⊙O的切线， .OF⊥FH, FH∥BC, .OF⊥BC, :BF=CF, ∠BAF=∠CAF, .AF平分∠BAC: (2)解：如图作出∠ABC的平分线BD交AF于点D, :∠ABD=∠CBD,∠BAF=∠CAF=∠CBF,且∠FBD=∠CBD+∠CBF,∠BDF=∠ABD+∠BAF, ∴.∠FBD=∠BDF, ..BF=DF=EF+DE=4+6=10. :AB是⊙O的直径， .∠AFB=90°， .tan∠EBF= EF 42 BF105 B H 7.(2024安徽马鞍山一模)如图1，等腰△ABC中，AB=AC,以AC为直径的⊙0与AB所在直线、 BC分别交于点D、E,EF⊥AB于点F. 8/83 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D E 图1 图2 (1)求证：EF为⊙O的切线： (2)如图2，当∠BAC>90°时，若AF=2,EF=4,求AD的长 【详解】(1)解：证明：连接OE, A D B E :△ABC是等腰三角形，AB=AC, ∠B=LC, ..OE =OC, ∴.∠OEC=∠C, L0EC=∠B, OE∥AB ,EF⊥AB, .∠BFE=90°， OE∥AB, ,∠OEF=∠BFE=90°， .EF⊥OE, ,OE是⊙0的半径， ∴EF是⊙O的切线： (2)解：·AC为⊙0的直径， .AE⊥CB,∠AEC=90°， .AB=AC, BE=CE, 如图所示，连接CD,OE, 9/83 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF=2,EF=4,∠AFE=90° 由勾股定理可得：AE=√AF2+EF2=V22+42=25, .OC=OE, ∴.∠OCE=∠OEC, ∠AEF+∠AEO=90°，∠OEC+∠AEO=90°， .∠AEF=∠OEC, ,∠OCE=∠AEF, :∠AEC=∠AFE=90°， .△AEF∽△ACE, AE AF 2W52 AC AE 即 AC 25 解得AC=10, :AC为⊙0的直径， .∠D=90°， ∴.∠BFE=∠D=90°， :EF∥CD, ∴△BEF~△BCD, .CE-BE-1BC, EFBE1 CD CB 2' .CD=2EF=8, AD=VAC2-BD2=V102-82=6. 8.(2024安徽合肥一模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连 接CD,CF,且CF是⊙O的切线. 10/83