24.5 三角形的内切圆-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(沪科版)

该初中数学课件聚焦“三角形的内切圆”核心知识点，通过作图实践（如作三角形内切圆）导入，衔接角平分线性质、切线长定理，构建从基础作图到性质应用的学习支架，帮助学生掌握内心定义、性质及相关计算。 其亮点是采用分层练习（刷基础、刷提升），结合中考真题（如安徽合肥校级期中题）和规律探究题（AO/AE与cosB关系），培养几何直观（图形分析内心性质）、推理能力（证明DI=DB）和运算能力（内切圆半径计算）。通过思路分析和关键点拨总结方法，学生能提升解题技巧，教师可直接用于同步教学，提高备课效率。

数 学 九年级下册 HK 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第24章 圆 24.5 三角形的内切圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 三角形的内切圆 1.如图，有一块三角形材料，请你画出一个圆，使其与 的各边都相切. 【解】如图所示， 即为所求作的圆. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 思路分析 通过作角平分线和垂线来确定 的内切圆. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识点2 三角形内心的性质 2.如图，是的内切圆，则点是 的( ) B A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 【解析】是的内切圆， 点到 三边的距离 相等， 点是 的三条角平分线的交点． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 （第3题图） 3.【2025安徽合肥校级期中】如图，点是 的内心，过 点作，与，分别交于点， ，则( ) C A. B. C. D. 【解析】连接，，如图.是的内心，， 分别是，的平分线， ， ， ， ，， ， ，， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 （第4题图） 4.如图，是一张三角形纸片，是它的内切圆， 分别与，相切于点，.已知 ，小明准备用 剪刀沿着与相切的一条直线剪下一个三角形 ， 则剪下的 的周长是( ) B A. B. C. D. 【解析】如图所示,设是直线与的切点. 是一张三角形 纸片，是它的内切圆，分别与，相切于点， ， ，，，，的周长为 ．故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （第5题图） 5.【2025安徽合肥瑶海区校级质检】如图，在 中， ，是的内切圆，，， 是切点，连 接，，分别交于点，，点是 上的一点，连 接，，则 的度数是______. 【解析】是的内切圆，，是 的角 平分线，，， ， ， ， . 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 6.【2024安徽亳州校级期末】如图，已知是的内切圆，切点分别为 ， ， . （第6题图） （1）若 ， ，，则 的半径为_______； 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 图（1） 【解析】如图（1），连接，.在中, ， ，，， 为的内切圆，切点分别为，，， ， ，.设，则 ， ， ， .易得四边形 为正方形， ,的半径为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 （2）若的半径为3，的面积为45，且，则 ___. 6 图（2） 【解析】如图（2），连接，，，，， 是 的内切圆，切点分别为，，，， ， ，，， 的面积为45， 的半径为3，， ， .故答案为6. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 7.如图，在中，点是 的内心（三角形三条角平分线的交 点），连接并延长与的外接圆交于点，连接， . （1）求证： ； 【证明】连接，如图所示. 点是的内心，平分， 平分 ，， ， ，，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 （2）若 ，，求 的长. 【解】过点作于，如图所示.由（1）得 ， ，， . ， ， ， ， ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 关键点拨 掌握三角形内心的性质是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 提升 1.【2025安徽宣城宣州区校级质检，中】如图，在中，， ， ，为的内心，连接并延长交于点，连接，.记 的 面积为，的面积为，则 ( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 【解析】是的内心， 点到三边的距离相等，设该距离为 .设 点到直线的距离为,,，同理可得 , .， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 （第2题图） 2.【2024安徽合肥庐阳区校级期末，较难】如图，在 中， 且，点为 的内心， 点为边中点，将绕点顺时针旋转 得到线段 ， 连接，，，则 长的最小值为( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 【解析】如图，在的下方作等腰直角三角形 ，使得 ，，连接，，过点作 交 的延长线于点 点是的内心， ， ， ， ， ， 点在以为圆心， 为半径的圆弧上运动. ，， ， ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 ， ， ，， 的最小值为 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 思路分析 在的下方作等腰直角三角形，使得 ，．连接 ， ，过点作交的延长线于点，判断出点的运动轨迹，求出 ， 的长，即可得出结论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （第3题图） 3.【2025湖北武汉质检，中】如图，在 中， ，为中线，若，，设 与的内切圆半径分别为，，则 的值为___ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 【解析】设的内切圆为，分别与，， 相切于点，，，如图. ， ， ， ， 为中线， ，.连接， ， ，，，，则 ， 且，，， ，解得 ，同理可得，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 4.【2025安徽淮北校级期末，较难】如图，在 中， ，是的内切圆，连接交于点，延长 交于点，则为与 的切点. 当时，；当时，；当 时， （1）根据上述规律可得，当时， __. 【解】根据所给的的余弦值的规律可得，当时， ，故答案 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （2）当是大于1的自然数时，请用含的代数式表示 ，并给出证明 过程. 【解】.证明：如图，设与相切于点 ，连接 与相切于点，， .设 ，， ， ， ，. ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 思路分析 （1）根据题中的规律，直接写出 的值； （2）设与相切于点，连接.根据是的内切圆分别求出 ， ，再根据 和余弦的定义求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 刷素养 走向重高 5.核心素养 运算能力 【2024安徽六安金安区校级质检，较难】我们知道，三角 形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点为 的内心. 图（1） （1）如图（1），连接并延长交于点，若 ， 求 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 图（1） 【解】如图（1），过作于.设 . ，平分，， . 在中， . ， ， ， ，，， . 在中，，， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 （2）如图（2），过点作直线交于点，交于点，连接 . 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 ①若，求证： . 图（2） 【证明】如图（2），连接， . 是的内心， ， . 在和中， ，，， . 设 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 ， ， ， ，， . ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ②如图（3），延长交于点，若 ，，求 的值. 图（3） 【解】如图（3）,过点作交的延长线于为 的内心， ， . , ， ， ，，易得 ，,， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 35 $