2.2课时3 二次函数y=a(x-h)^2与y=a(x-h)^2_k的图象与性质-【初中必刷题】2025-2026学年九下数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦二次函数顶点式（\(y = a(x - h)^2\)与\(y = a(x - h)^2 + k\)）的图象与性质，通过回顾\(y = ax^2\)的基础形式导入，搭建从顶点坐标、对称轴到平移规律、最值问题的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用分层设计（刷基础、刷提升、刷素养），结合各地质检真题情境，如通过点坐标比较函数值培养几何直观，分类讨论最值求参发展推理能力，用顶点式表达平移规律强化模型意识。学生能逐步提升解题能力，教师可借助同步练习与思路分析优化教学效率。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第二章 二次函数 4 2 二次函数的图象与性质 课时3 二次函数与 的图 象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图象与性质 1.对于二次函数 的图象，下列说法正确的是( ) B A.开口向上 B.对称轴是直线 C.当时，随的增大而减小 D.顶点坐标为 【解析】由得抛物线开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当时,随的增大而增大，当时，随 的增大而减小.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2025河北沧州质检】已知点，， 在抛物线 上，则，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 【解析】当时，;当 时， ;当时， ， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.【2024河南信阳质检】下面是三位同学对某个二次函数图象的描述.甲：该二次 函数图象的形状、开口方向与的图象相同；乙：图象的顶点在 轴上； 丙：图象的对称轴是直线 .请你写出这个二次函数的表达式：____________ ___. 【解析】根据题意设二次函数的表达式为 .根据题意得， ,， 这个二次函数的表达式是 ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 4.【2025陕西商洛期末】已知二次函数（为常数），当 时，随的增大而减小，则 的取值范围是______. 【解析】 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 当 时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小， ，故答 案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 5.【2025山东烟台质检】已知二次函数，当分别取， 时，函数值相等，则当取 时，函数值为_____. 675 【解析】对于二次函数 ，该函数图象开口向上，对称轴为直线 当分别取，时，函数值相等， ， ， 当时,函数值为 .故 答案为675. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 知识点2 二次函数 的图象与性质 6.【2025云南楚雄州二模】若二次函数 的图象 如图所示，则点 所在的象限是( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】二次函数图象的顶点为 .由题图得图象顶点在第 三象限，，,，, 点 在第四象限.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.【2025浙江宁波期末】已知， 两点均在函数 的图象上.若，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 【解析】 函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ,,， 点到对称轴的距离小于点 到对称轴的距 离， 当时,恒成立;当时,，解得 ， ,故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 8.已知二次函数（为常数），在自变量的值满足 的 情况下，的最大值为，则 的值为( ) D A. B.或1 C.或5 D. 或7 【解析】 二次函数（为常数）， 该函数图象的对称轴是直 线，图象开口向下. 当时，的最大值为， 当 时， ，解得，（舍去）；当时， 的最 大值是5，与题意不符；当时，，解得 （舍去），.综上可得，的值是 或7.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 9.【2025河南濮阳质检】如图是二次函数 图象的一部分，该图象在 轴右侧与 轴交点的坐标是______. 【解析】由二次函数 可知图象对称轴 为直线.由题图得图象在对称轴左侧与 轴交点 为，根据对称性，可得图象在对称轴右侧与 轴 交点的坐标是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 知识点3 二次函数 的图象的平移 10.在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( ) B A. B. C. D. 【解析】将二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1 个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 ，即 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 刷有所得 二次函数 的图象的平移规律:左加右减，上加下减. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 11.【2025辽宁葫芦岛调研】将抛物线 先向左平移2个单位长度， 再向上平移3个单位长度，得到二次函数 的图象. （1）____，___， _____ ； 2 . 【解析】 抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单 位长度，得到二次函数的图象，，， ， 解得，.故答案为，2， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 （2）写出二次函数 图象的开口方向，对称轴及顶点坐标. 【解】由（1）得二次函数的表达式为， 函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 提升 1.【2024安徽合肥调研，中】二次函数与一次函数 在 同一坐标系中的图象大致是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】A选项， 一次函数的图象与轴交于负半轴， 二次 函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误选项， 一 次函数的图象经过第一、二、四象限，， 二次函数 的图象开口向上，顶点在第四象限，， ,一致， 故B正确选项， 二次函数的图象的对称轴为直线，在 轴右侧，故C错误选项， 一次函数 的图象经过第一、二、三象限， 抛物线的顶点在第四象限， ，相矛盾， 故D错误.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 2.［中］已知二次函数，当时， 的最小值为 ，则 的值为( ) D A.或4 B.或 C.或4 D. 或4 【解析】抛物线的对称轴为直线.①当 时，当 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当 时，取得最小值，，；②当 时，当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. ， 当时， 取得最小值， ，.综上，的值为 或4.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 思路分析 根据二次函数的最值求参 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 3.【2025河北衡水调研，中】已知，，为三个常数 ，且二 次函数的图象经过， 两点.对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判 断正确的是( ) 结论Ⅰ： 的值可能为5； 结论Ⅱ：点在二次函数图象上，若，则满足条件的点 有两个. C A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】 二次函数， 抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线开口向下.如图, 图象经过, 两点， ， 对称轴在与之间（不包含和 ），故结论Ⅰ 不正确. 图象经过,两点，，对称轴为直线， 点 不是抛物线的顶点，函数的最大值大于8， 满足条件的点 有两个，故结 论Ⅱ正确.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 4.【2025浙江台州期末，中】如图，平行于 轴的直线与两条抛物线 和相交于点，，， .若 ，，，则 的值为___. 6 【解析】分别作出两抛物线的对称轴交于,，令直线交 轴于 ，如图. 平行于轴的直线与两条抛物线 和 相交于点，，，, 抛物线 的对称轴为直线，即， ， ，， . ，，， 抛物线 的对称轴为直线，即 ，故答案为6. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 关键点拨 掌握抛物线上关于对称轴对称的两点到对称轴的距离相等是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 5.【2025广东珠海模拟，中】抛物线过， 两 点，将抛物线向左或向右平移后得到抛物线，设抛物线的顶点为.若 是以为斜边的直角三角形，则点 的坐标为________________ . 或 【解析】由抛物线的表达式可知抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，由条件可得，， ， 抛物线向左或向右平移后得到抛物线， 设抛物线 的顶点， ， 是以 为斜边的直角三角 形，，整理得 ，解得 ，， 点的坐标为或.故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 6.［中］如图，直线与轴、轴分别交于点, ，抛 物线经过,两点，并与轴交于另一点 ，其顶 点为 . （1）求， 的值. 【解】在中，令，可得，令，可得 ， ， 抛物线经过, 两点， 解得 思路分析 由条件可先求得,的坐标，代入抛物线表达式可求得, 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使 的周长最小？若存在，求出 的周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【解】存在.由（1）可知抛物线表达式为， 抛物 线的对称轴为直线.令，可得或， .连 接交抛物线对称轴于点，连接，如图., 两点关于对称 轴对称，，此时的值最小，即 的周长 最小.，， 可设直线的表达式为.把 代入可求得， 直线的表达式为.当时，可得 ， ， 存在满足条件的 点，此时 . ， 的周长的最小值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 思路分析 由（1）可确定抛物线表达式，连接交抛物线对称轴于点，则 即为所求.由 ,的坐标可求得直线的表达式，从而求得点的坐标，即可求出 周长 的最小值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力 ［较难］如图，顶点为的抛物线与 轴相 交于点，（点在点的右侧），与轴相交于点 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （1）判断 是否为直角三角形，并说明理由. 【解】是直角三角形.理由如下：将代入 中，得 ，解得，，，.易得顶点 的坐标 为,点的坐标为.在 中，由勾股定理得 ， ，， 是直角三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）在该抛物线上是否存在点（点与点不重合），使得以点，，， 为 顶点的四边形的面积与四边形的面积相等?若存在，求出点 的坐标；若不 存在,请说明理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 【解】存在.由（2）可知，是直角三角形， ， , , . 设点的坐标为 . ①当点位于轴的下方时，点只能位于直线的下方.如图，过点作 轴 交于点，连接，.易求直线的表达式为, ， , .由题意得 ， ,解得，（舍去）, 点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 ②当点位于轴的上方时，过点作轴于点 ，连接 ， ， 则 . 由题意得， ，解得 , 点的坐标为，或， . 综上所述，共存在3个满足条件的点 ，它们的坐标分别为 ，，,， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 $