3.4课时1 圆周角定理及其推论1-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“圆周角和圆心角的关系”，涵盖圆周角定义、定理及推论1，通过定义辨析题导入，衔接圆心角知识，构建“定义-定理-推论-应用”的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其特色在于分层设计“刷基础、刷提升、刷易错”练习，融入中考真题与情境题，注重几何直观与推理意识培养，如通过辅助线构造、等弧对等角推理。助力学生分层提升，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第三章 圆 4 4 圆周角和圆心角的关系 课时1 圆周角定理及其推论1 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆周角 1.下列图形中的角是圆周角的是( ) A A. B. C. D. 【解析】根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2025河北廊坊期中】如图，这5个角中， 所对的圆周角是 ( ) C A. B.和 C.和 D.和 【解析】和是所对的圆周角，和是 所对的圆周角， 不是圆周角.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 知识点2 圆周角定理 （第3题图） 3.如图，在中，， ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 识图解题 思路分析 构造 转化 倍分 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 【解析】连接 在中，， ， ， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第4题图） 4.如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧 上.若 ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】连接 ， 半 径，互相垂直， ， ， ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 关键点拨 连接.根据圆周角定理可得 ，进而求得 的度数， 再利用圆周角定理即可求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （第5题图） 5.【2025四川南充期末】如图，是的直径，点，， 在上， ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 【解析】如图,连接， ， ， ， ， ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.如图，在中，半径为4，为直径，于 ， ，求 的长. 【解】 ， . ，， . 在中，， . 技巧点拨 在运用圆周角定理时，关键是找到圆周角或圆心角所对的弧，通过弧确定圆心角 或圆周角，然后得到倍数关系. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点3 圆周角定理的推论1：圆周角与弧的关系 7.如图，在边长为1的小正方形构成的网格中， 半径为1的的圆心 在格点（网格线的交 点）上，则 的正切值为__. 【解析】在中，， ， . ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 8.【2024甘肃定西期末】已知的两条弦，相交于点，且 . （1）如图（1），连接.求证： . 【证明】，，即， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 （2）如图（2），若，在上取一点，使，交于点 ， 连接，.判断与 是否相等，并说明理由. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解】与 相等.理由如下： 如图，连接，， 易得 ， . ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 刷易错 易错点 因对问题考虑不周全而导致漏解 9.已知 中，一条弦长等于半径，则该弦所对的圆周角为____. 青青同学给出她的答案是 ，你认为正确吗？如果不正确,请给出正确的答案. 【解】青青的答案不正确，正确的答案为 或 . 如图， 弦的长等于半径，即， 是等边三 角形， ， ．又 劣弧 所对的圆心角为 ， 优弧所对的圆心角为 ， , 弦 所对的圆周角为 或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 易错警示 本题容易因考虑不周而漏解．一条直径所对的圆周角有无数个，每个角都相 等．一条非直径的弦所对的圆周角也有无数个，这些圆周角有锐角和钝角两类， 同一类型的圆周角相等，不同类型的两个圆周角互补. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 提升 （第1题图） 1.［中］如图所示的阴影部分是暗礁区，两灯塔， 之间的距离 恰好等于的半径的倍，为了使航船不进入暗礁区， 对 两灯塔，的视角 必须( ) D A.大于 B.小于 C.大于 D.小于 【解析】如图，连接，，， ， 为等腰直角三角形，且 .与 所 对的弧都为， .为 的一个 外角，，即 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （第2题图） 2.［中］如图，四边形内接于，， .若 ，，则的度数与 的长分别为( ) C A.，1 B.， C.，1 D.， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 【解析】如图，连接，， .又 ,， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， .过点作 于 点，则.由勾股定理得 ， ，， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 3.【2024天津河东区质检，中】如图，在平面直角坐标系中，的圆心在 轴上， 且经过点和点，点 是第一象限圆上的任意一点，且 ，则 的圆心的坐标是______. （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】如图，连接，，过作轴于，过作 轴于.，，， ， ， ， 关键点拨 作辅助线构造全等三角形，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得 ，再证明，根据 ，列式可得结论. ，， ， .设，，，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 4.【2025湖北武汉质检，中】如图，以为直径的半圆沿弦折叠后， 与 相交于点.若，则 ____. （第4题图） 【解析】连接,., ， ， , .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 5.【2024江苏常州期末，较难】如图，是的直径，，点在 上， ，是的中点，是直径上的一动点，若 ，则 周长的最小值为___. 5 （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】如图，作点关于的对称点，连接， ， ，，则与的交点即为最小时 点的位置， 的最小值为的长. ， 是 的中点， .由对称性得 ， .又, 是等 边三角形，， 周长的最小值为 ，故答案为5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 6.【2025安徽芜湖质检，中】如图（1），为的直径，弦于点 ， 且为的中点，交于点，若， . 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （1）求 的长； 【解】如图（1），连接为的直径，弦于点， ， 为的中点，，， ， 即，， . 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 （2）如图（2），连接，，求证： . 【证明】如图（2），连接.由（1）得， ， .在和中，，， ， ，， . 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 7.［较难］如图，的半径为1，，，是 上的三 个点，点在劣弧上， ，平分 . （1）求证： ； 【证明】在上截取，连接平分 ， 且 ， . ， 为等边三角形， , , 为等边三角 形，， ，, ， , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （2）当点位于什么位置时， 的面积最大？求出最大面积. 【解】当点位于劣弧的中点时，的面积最大.由（1）可知 ， 当为劣弧的中点时，，,为的直径.设与 交 于点.连接，易得 .又的半径为1，, , ，,的最大面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 $