2.2课时4 二次函数y=ax^2_bx_c的图象与性质-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦二次函数核心内容，涵盖y=ax²+bx+c的图象性质、平移规律及最值求解，通过教材同步分层练搭建学习支架，从基础知识点到综合提升题型，帮助学生逐步构建知识脉络。 其亮点在于分层设计与微专题结合，通过刷易错强调自变量取值范围，用对称法、距离法等培养推理能力和抽象能力，如平移问题借助顶点坐标变化分析，助力学生分层提升，教师可高效开展教学。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第二章 二次函数 4 2 二次函数的图象与性质 课时4 二次函数 的图象与性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数与 之间的关系 1.【2025云南昆明期中】已知抛物线 经过平移后得到抛物线 .若抛物线上点的坐标是，则点平移后的对应点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 【解析】，， 抛 物线向下平移2个单位后得到抛物线 ， 点平移后的对应点的坐标是 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 归纳总结 解决抛物线平移问题的常用方法：（1）看顶点坐标的变化，根据平移后的顶点坐 标写出新的表达式；（2）根据平移规律“左加右减、上加下减”求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2025陕西西安模拟】在同一平面直角坐标系中，若抛物线 向右平移2个单位后得到抛物线 ，则符合条件的， 的值为( ) D A.， B.， C.， D.， 【解析】 抛物线， 平移后 得到的抛物线的表达式为， 解得 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点2 二次函数 的图象与性质 3.【2024浙江宁波慈溪期中】对二次函数 的图象有下列描述：① 开口向上；②与轴交于点；③对称轴是直线；④当 时，函数 有最小值 .其中错误的是( ) C A.① B.② C.③ D.④ 【解析】因为二次函数中 ，所以二次函数的图象开口 向上，故①正确，不符合题意；因为当时，，所以函数图象与 轴交 于点，故②正确，不符合题意；函数图象的对称轴为直线 ， 故③错误，符合题意；因为二次函数 的图象开口向上，对称轴是 直线，所以当时，函数有最小值 ，故④正确，不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.在同一坐标系中，一次函数和二次函数 是常数， 且 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 【解析】A选项，由一次函数的图象可得，则 ，此时二次 函数 的图象应该开口向上，故A选项错误；B选项，由一次函数 的图象可得，则，此时二次函数 的图象 应该开口向上，对称轴在 轴的左侧，故B选项错误；C选项，由一次函数 的图象可得，则，此时二次函数 的图象 应该开口向下，故C选项错误；D选项，由一次函数的图象可得 ， 则，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴在 轴 的左侧，故D选项正确.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 易错警示 注意二次函数的二次项系数是，图象开口向下时 ,对称 轴在轴右侧；图象开口向上时,对称轴在 轴左侧. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 5.【2025陕西西安期中】在平面直角坐标系中，二次函数 （为常数） 的图象经过点， ，且 ，则 的值是( ) C A.1 或 3 B.或 3 C.3 D. 【解析】由题意将点代入二次函数 ，得 ，即，解得或.当 时， （3），满足条件;当 时，，不满足条件 . 综上所述， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 6.已知，，，， 是抛物线 上的点，则，， 的大小关系是_____________. （用“ ”连接） 【解析】，是抛物线上的点， 抛物线开 口向下，对称轴是直线， 当时，随 的增大而增大， 关于直线的对称点是， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 7.【2024浙江杭州西湖区期中】已知二次函数 的图象经过点 ， . （1）求， 的值及这个图象的顶点坐标. 【解】把，代入中，得 解得 的值为2，的值为3， 二次函数的表达式为 ， ，， 图象的顶点坐标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 （2）若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于2，求 的取值范围. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 【解】 由（1）得二次函数的表达式为， 把 代入表达 式，得，把 代入表达式，得 点在该二次函数图象上，且到 轴的距离小于 2，.又 二次函数图象顶点坐标为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 知识点3 二次函数 的图象与系数的关系 8.【2025贵州铜仁模拟】已知二次函数 的图象如图，下列4个结论： ，， ， .其中正确的结论有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】 抛物线开口向下，与轴交于正半轴，， 对称轴为直线 ，，，故①正确.， ， 故②正确. 当时，，对称轴为直线， 当时， ， ，故③错误. 当时，， ， ，故④错误.正确的结论有 ,共2个.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 刷易错 易错点 求二次函数最值时忽略自变量的取值范围 9.已知二次函数，当 时，它的最小值为____. 19 【解析】因为，所以当时，随 的增大而增大. 又因为，所以当时，取得最小值，为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 易错警示 在讨论函数的最值时，一定要注意函数自变量的取值范围以及函数在这个取值范 围内的增减性. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 提升 1.【2025福建龙岩模拟，中】已知二次函数 ，将其图象向右平移 个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随 的增 大而增大；当时，随的增大而减小,则实数 的取值可以是( ) B A.4.5 B.5.5 C.6.5 D.7.5 【解析】由题知， ，则将其图象向右平移 个单位后，所得的函数表达式为 ，所以新抛物线 的对称轴为直线.因为当时，随 的增大而增大；当 时，随的增大而减小，所以，解得 ，显然只 有B选项符合题意.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 （第2题图） 2.【2025安徽池州期末，中】如图是二次函数 ，，，为常数 图象的一部分， 与轴的交点在点和之间，对称轴是直线 . 对于下列说法：；; ； （为实数）；⑤当 时， ，其中正确的有( ) B A.①②③ B.①②④ C.①②③⑤ D.①④⑤ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】由图象可知，抛物线开口向下，交轴于正半轴，对称轴在 轴的右侧， ，，,,则，故①正确. ， ,，故②正确，当时,, 当 时，，， ，故③错误.根据 图象知，当时，有最大值,为, 当 为实数时，有 ，所以为实数 ,即 为实数,故④正确.函数图象与轴的交点分别在 和之间， 当时， 不一定成立，故⑤错误.正确的有 ①②④，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第3题图） 3.［难］将二次函数 配成顶点式后， 发现其顶点的纵坐标比横坐标大1，如图，在矩形 中，点 ，点，则二次函数 的 图象与矩形有交点时， 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】将配成顶点式为， 二次函数图象的顶点坐标是， 二次函数的图象开口向上， 开口大小一定. 顶点坐标为, 此二次函数图象的顶点在直线 上.将抛物线沿直线 从左至右移动，如图（1），当二次函数的 图象与矩形第一次相交时，二次函数的图象经过点，此时 取最小值.将 代入得 ，解得 ，（舍去），则的最小值是 .如图（2），当二次函 数的图象与矩形最后一次相交时，二次函数的图象的顶点在边与 轴的交点 处，此时取最大值.将代入 得 ，解得，（舍去）， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 二次函数图象与几何图形的交点问题 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （第4题图） 4.［中］如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴正半轴于点，交轴于点 ，将抛 物线向下平移3个单位长度，若抛物线上， 两点间的部分在平 移过程中扫过的面积为9，则 的值为____. 【解析】如图，抛物线上， 两点间的部分在平移过程中扫过的面 积等于的面积. 平移过程中扫过的面积为9， ,，解得， 点的坐标为 ，代 入,得，解得 .故答案 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （第5题图） 5.【2025江苏无锡质检，中】如图，在平面直角坐标系中，, 两点的坐标分别为，，二次函数 （，是常数）的图象的顶点在线段上，则 的最小值为 __ . 【解析】 二次函数表达式为 ，是常数， 顶点坐 标为.又，， 直线 的函数表达式 为 二次函数图象的顶点在线段上， ，且 ，则， 当时，有最小值,为 .故答案 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 6.［较难］定义：在平面直角坐标系中，若点 满足横、纵坐标都为整数，则把点 叫做“整点”．如：, 都是“整点”．当抛物线 与其关于 轴对称的抛物线围成的封闭区域内 （包括边界）共有9个整点时， 的取值范围是__________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解析】若抛物线与其关于 轴对称 的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，则 轴上有3个整点，且 轴上方、下方各有3个整点. ， 抛物线的开口向上,对称轴为 直线,抛物线必过点.如图，若过点 ，则 ，解得，此时刚好有9个整点；若过点 ，则 ，解得，此时有11个整点， ．故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 思路分析 先通过抛物线的表达式得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，且过点 ， 再通过封闭区域内（包括边界）有9个整点，找到的临界值，求出 的取值范围． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合 【2025江苏苏州质检，难】如图，在平面直角 坐标系中，抛物线的顶点为.直线 过点 ，且平行于轴，与抛物线交于， 两点 （在的右侧）.将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交 轴于点，顶点为 . （1）当时，求点 的坐标； 【解】，， 点和点 关于 直线对称， 点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （2）连接，，，若为直角三角形，求此时 所对应的函数表达式. 图（1） 【解】 点与点关于直线 对称， ， 抛物线 .当 时，,.①当 时，如图 （1），过作轴于 ， ， , ， . ， . 直线 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 轴， ， ， ， ， 点在 的 图象上，，或 当 时， ,,，，此时，点和点 重合，舍去;当 时，, ,,,符合题意.将 代入 得, 此时 所对应的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 图（2） ②当 时，如图（2），过作轴于,过 作交的延长线于.同理， ， ， ， ， 点在 的图象上， ，解得 或 ，，此时， ,符 合题意.将代入得, 此时 所对 应的函数表达式为.易知 的情况不存在.综上所述， 所对应的函数表达式为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 微专题2 二次函数函数值大小比较的方法 1.代数法 【2025浙江杭州期中，中】已知三点，， 在抛物线 上，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D.无法比较 【解析】 点，，都在抛物线 上， ，，， . 故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 38 2.对称法 【2025吉林长春校级期中，中】已知点，， 均在二次函数的图象上，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 【解析】 二次函数图象的对称轴为直线， 点 关于直线对称的点为， 抛物线开口向下， 当时， 随的增大而增大.， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 39 关键点拨 本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性、图象的对称 性是解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 40 3.距离法 【2025福建漳州期末，较难】已知点，， 都在二 次函数的图象上，若， ， ，则下列关于，， 三者的大小关系判断一定正确的是( ) B A.可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C.可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 【解析】， 图象对称轴为直线 ，， ， , 点离对称轴最远，点 离对称轴最 近.当时，抛物线开口向上，；当 时，抛物线开口向 下，.综上，和均可能最大，也可能最小, 不可能最大，也不 可能最小.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 41 4.中点法 【2025北京东城区调研，中】在平面直角坐标系中， ， 是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 . （1）若对于,，有，求 的值； 【解】 对于,，有， 抛物线的对称轴为直线 . 抛物线的对称轴为直线， . （2）若对于,，都有，求 的取值范围. 【解】,，，.又， ， 点离对称轴更近，则点与 连线的中点在对称轴的右侧， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 42 微专题3 二次函数取值范围问题 1.定轴定范围 【2025陕西西安质检，中】在下列区间内求二次函数 的最值. 【解】，抛物线对称轴为直线.当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. （1）全体实数. 【解】在全体实数范围内，当时，函数有最小值 ,没有最大值. （2） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值;当 时， 函数有最大值5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 43 （3） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值;当 时，函 数有最大值0. （4） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值0;当 时，函数有最 大值12. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 44 2.定轴动范围 （1）【2025浙江台州期末，中】当 时，二次函数 的最小值是，则 _ ________. 1或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 45 【解析】图象的对称轴为直线，抛物线开口向上， 当 时,随的增大而增大；当时，随的增大而减小.①当 ，即 时，则当时，，，解得 ，不 符合题意，舍去.②当，即时，则当时， ， ，解得.③当，即时，则当 时，，, ，解得 ,（舍去）.综上所述，或.故答案为1或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 46 关键点拨 依据题意，可得抛物线的对称轴为直线 ，进而结合二次函数的性质分 ，和 三种情形进行讨论即可得解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 47 （2）【2025河南郑州期中，中】已知二次函数 ，当 时，有最小值和最大值1，则 的取值范围是______________. 【解析】二次函数, 该函数图象 开口向上，对称轴是直线，当时，该函数取得最小值 当 时，有最小值和最大值1，且当时， ，根据对称性， 当时，，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 48 3.动轴定范围 【2025江苏苏州期末，中】当时，二次函数 的最大值是，最小值是，若，则 的值是_________. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 49 【解析】， 函数图象对称轴为直线 ，抛物 线开口向上. ①若，即时，当时，，当 时， ，，解得 （舍去）.②若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.③ 若，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.④若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得（舍去）.综上可知， 的 值是或，故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 50 4.轴动范围【2025安徽芜湖期中，中】已知抛物线 （为常数），当时，与其对应的函数值 的最小值为9，求此时 的二次函数表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 51 【解】， 函数图象的对称轴是直线 ，抛物线开口向上. ①当，即时，当时，， ， （负值已舍去），此时的二次函数表达式为 . ②当，即时，当时，， ， 解得 （都不符合题意，舍去）. ③当，即时，当时， ， ，解得（舍去）或 ，此时的二次 函数表达式为.综上，二次函数表达式为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 52 关键点拨 分三种情况：①当，即时，②当 ，即 时，③当，即 时，根据二次函数的最值列方程 可求得 的值，从而得出结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 53 $