大招专题3 二次函数中的最值问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数中的最值问题，涵盖几何定理法、代数法、铅垂法等核心知识点。通过母题引入搭建学习支架，从二次函数表达式求解过渡到线段和差、面积等最值问题，前后知识点以“母题学大招—子题练变式”衔接，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于直击考点且题型分类全面，以“大招解读”提炼方法，如用“两点之间线段最短”解决△ACD周长最小问题，体现几何直观；通过代数法设动点坐标构造二次函数求PD长最小值，培养推理意识；铅垂法推导△PBC面积表达式，强化模型观念。学生能掌握解题策略，教师可利用课件便捷编辑和超链接跳转提升教学效率。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二章 二次函数 大招专题3 二次函数中的最值问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招8 几何定理法求线段之和（差）最值 1.［中］如图，已知抛物线过点，，其对称轴为直线 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求该抛物线的表达式. 【解】 抛物线过点，，且它的对称轴为直线， 抛物线与 轴的另一个交点的坐标为.设抛物线表达式为.把 代入， 得，解得， 此抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限. ①当的面积为15时，求点 的坐标； 【解】如图（1），点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限， 设 ，直线的表达式为，则，解得， 直线 的表达式为.设直线与抛物线对称轴交于点，则 ， ，，解得或 （舍去）， 点的坐标为 . 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 ②在①的条件下，是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点 的坐标. 【解】设直线的表达式为.把，代入得 解得 直线的表达式为 . 如图（2），当的值最大时，点，， 在同一条直线上. 是抛物线上的动点， 联立得 解得（舍去）， . 关键点拨当,,共线时, 的值最大. 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 大招解读 几何定理法求线段之和（差）最值 （1）线段之差最大问题：当两定点和动点共线时，线段之差最大，所以动点在两 定点所在的直线上，求解时可过两定点作直线. （2）线段之和（周长）最小问题：这类问题一般是将军饮马中“两定点，定线上 一动点”，求解时作对称点，将求和的两条线段转化到一条线段上. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 子题练变式 两点之间线段最短 2.【2024山东济宁期中，中】如图，抛物线与 轴 交于，两点，与轴交于点，，，连接和 . （1）求抛物线的表达式. 【解】，，，.将 ， 代入，得解得 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 （2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标. 【解】由可知，抛物线对称轴为直线 .由抛 物线的对称性可知，点与点关于对称轴对称.如图，设 交对 称轴于点,连接,则 .由两点之间线段最短可知，此 时最小，而的长度是定值，故此时 的周长取得 最小值.由可知，点的坐标为.设直线 的 表达式为，将点代入，得， 直线 的表达式为 ，当时，， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 思路分析 设交对称轴于点，由抛物线的对称性可知 ,由两点之间线段最短可知， 此时有最小值，而的长度是定值，故此时 的周长取得最小值， 求出直线 的表达式，即可得到答案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 母题学大招9 代数法求线段最值 3.【2024山西晋中期中，中】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧），与 轴 交于点，且点的坐标为 . （1）求点 的坐标； 【解】 点在抛物线上，， ， 令，得，解得或， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线 距离的最大值. 【解】由（1）知，.过作于点，作 轴于点 ,交于点，如图.，，， 是等腰直角三角形， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当取最大值时，取最大值.设直线 的表达式 为，将代入得，， 直线 的表达式为 .设，则 ， .， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 当时，取得最大值,为，， 点 到 直线距离的最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 子题练变式 4.【2025安徽淮南质检，中】如图，抛物线（，为常数）与 轴交于， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 （1）求抛物线的表达式； 【解】 抛物线（，为常数）与轴交于，， 把，代入，得 解得 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 （2）点在抛物线上，且点的横坐标为，直线与抛物线的对称轴交于点 ， 抛物线的顶点为，求 的面积； 【解】， 抛物线对称轴为直线，顶点 的坐标为.当时，， .设直 线的表达式为.将代入，得，解得， 直线 的表达式为，令，则，.， ， 的面积为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （3）在（2）的条件下，点是抛物线上一动点，求线段 长的最小值. 【解】设 ， ， 的最小值 为，长的最小值为 . 大招解读 代数法求线段最值 解决二次函数图象中求平行于坐标轴的线段最值问题时，常用代数法：设出动点 坐标，利用坐标表示出线段长度，构造二次函数，利用二次函数的性质求最值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 母题学大招10 铅垂法巧求面积最值 5.【2024河南洛阳期中，中】如图，抛物线 ,,为常数，经过点，， . （1）求抛物线的表达式. 【解】设.把代入，得 ， 解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 （2）如图，连接,点在直线下方的抛物线上,求出的面积最大时点 的坐标. 【解】如图，连接,,过点作轴于点，交于点 .由 ,,易得直线的表达式为 .设 ，则 ， ，， 当 时，最大，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 大招解读 铅垂法巧求面积最值 铅垂法是一种求三角形面积的特殊方法，主要解 决的是斜三角形面积问题.具体公式为三角形面 积等于水平宽和铅垂高乘积的一半.三角形的水 平宽指的是两个顶点之间的水平距离，而铅垂高 是指从一个顶点到对边的铅垂高度. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 结论证明 证明:如图, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 子题练变式 6.【2024湖北荆门期中，较难】如图，已知抛物线 与轴交于点，与轴交于, 两点 （点在点 左边）. （1）请直接写出,, 三点的坐标. 【解】,,.当时，，.当 时， ，解得，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （2）若点是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点 的坐标. 【解】如图，过点作轴于点，交于点 ，则 ， ， 设直线的表达式为 ，把 ，代入，得解得 直线 的 表达式为.设，则 ， ， 当 时，取最大值，即的面积最大， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 关键点拨 先求出直线的表达式，易知取最大值时,面积最大,利用坐标将 的 长表示出来，根据二次函数的性质就可以求出点 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 $