2.5 二次函数与一元二次方程-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“二次函数与一元二次方程”核心知识点，涵盖二者关系、近似根求解、函数图象变换等内容。通过“刷基础-刷提升-刷素养”分层设计，以典型例题为导入，前联二次函数图象与性质，后接方程根的判别、范围确定等延伸应用，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于深度融合新课标核心素养，通过“关键点拨”培养抽象能力与几何直观，如利用函数对称性求方程根体现数学眼光。以分层题目设计发展推理意识，如翻折图象与直线交点问题引导逻辑分析。解析注重模型意识渗透，如表格数据判断近似根培养数据观念。助力学生分层提升解题能力，为教师提供系统教学资源与素养导向的教学思路。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二章 二次函数 5 二次函数与一元二次方程 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 1.【2024吉林松原期中】二次函数 的部分图 象如图所示，对称轴为直线，图象与 轴相交于点 ，则方程 的根为( ) A A.， B.， C.， D.， 【解析】 该函数图象与轴的一个交点坐标为 ，该函数图象的对称轴为直 线， 该函数图象与轴的另一个交点坐标为， 方程 的根为， ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 关键点拨 根据函数图象与 轴的一个交点坐标和二次函数图象具有对称性，可以写出该函数 图象与轴的另一个交点坐标，从而可以写出方程 的根. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 2.【2025陕西西安一模】已知抛物线上的部分点的横坐标 与纵 坐标 的对应值如表： … 0 … … 1 0 … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③关于 的 方程的根为和；④当时，的取值范围是 或 .其中正确的结论有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】由表格可知，抛物线的对称轴是直线 ，故②正确.设抛物 线表达式为，将代入得 ,解得 ， 抛物线 的开口向下，故①错误.由抛物线关 于直线对称知，当时，或，故关于 的方程 的根为和，故③正确.当时，的取值范围是 或 ，故④正确.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 3.【2024山西太原质检】将二次函数 的图象向上平移，得到的函 数图象与 轴只有一个公共点，则平移的距离为___个单位长度. 3 【解析】设平移后得到的抛物线的表达式为 平移后的图象 与轴只有一个公共点， 对于方程， ， 解得，即将二次函数 的图象向上平移3个单位长度时，得到 的函数图象与 轴只有一个公共点.故答案为3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 4.【2024江苏南通质检】二次函数 的图象如图所示， 若关于的一元二次方程的两个实数根异号，则 的取值范围是_______. 【解析】由得 .令 一元二次方程 的两个实数根异 号， 抛物线与直线 交点的横坐标异 号.如图，由图可得 抛物线与直线的交点在 轴上方时，交点的横坐标异号， ，解得.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 5.抛物线经过，两点，则关于 的一元二次方程 的解是________________. ， 【解析】关于的一元二次方程 可变形为 ，把抛物线沿 轴向右平移一个单位 长度得到抛物线 抛物线 经过点 ，， 抛物线与 轴的两交点坐标为 ，， 一元二次方程的解为 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 另解 对给出的等式变形后，可以将 当作整体和题目中的二次函数表达式进行对比， 所以只需让分别等于 和4即可求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 6.已知函数（ 为常数）. （1）求证：不论为何值，该函数的图象与 轴总有两个公共点； 【证明】对于方程 ， ，所以方程有两个 不相等的实数根，所以不论为何值，该函数的图象与 轴总有两个公共点. （2）不论 为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求该定点的坐标. 【解】.因为不论 为何值， 该函数的图象都会经过一个定点，所以，解得.当时， ， 所以该函数图象始终过定点 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 知识点2 用二次函数求一元二次方程的近似根 7.下表是二次函数 的几组对应值： 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程 的一个根的范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】由题中表格可以看出，对应的 值在6.18与6.19之间，即方程 的一个根的取值范围为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 8.【2025北京西城区调研】已知二次函数 . （1）填表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； … 0 1 … … … 【解】当时，;当 时， ;当时， ; 当时，;当时， .填 表如下: … 0 1 … … 2 3 0 … 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 如图所示. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （2）结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到 ）. 【解】， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 提升 1.【2025陕西西安校级三模，中】二次函数的图象过点 ，若 关于的一元二次方程（为实数）在 的范围内有实数 根，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】将代入二次函数，得,, 二次函数的表达式为 方程 在 的范围内有实数根， 二次函数与函数 的图 象在时有交点.在二次函数中,当时， ；当 时，；当时，，, .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 2.［中］对于抛物线与直线为常数，针对 的 不同取值，三人的说法如下： 甲：无论为何值，与 轴总有两个交点； 乙：无论为何值，与 不会有交点； 丙：无论为何值，与 总有两个交点. 下列判断正确的是( ) B A.只有甲错 B.只有丙对 C.甲、乙、丙都对 D.甲、乙、丙都错 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】，令 ，则 ， 当 时， ，此时抛物 线与轴只有一个交点， 甲的说法不正确；令，则，， 无论为何值，与 总有两个交 点， 乙的说法不正确，丙的说法正确.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 关键点拨 利用一元二次方程根的判别式进行判断是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 3.［中］小颖用计算器探索方程 的根，作出如图所示的图象，并 求得一个近似根为，则方程的另一个近似根（精确到 ）为________. 【解析】 抛物线与轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 方程的另一个近似根为 .故 答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 4.【2025河南漯河期末，中】抛物线的顶点坐标为 .若抛物 线向下平移个单位后，在范围内与 轴只有 一个交点，则___， 的取值范围是 ___________ . 1 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】抛物线 的对称轴是直线 . 抛物线 的顶点坐标为 ， 抛物线的对称轴是直线 , ,, 抛物线的表达式为 ，平移 后抛物线表达式为 ，如图，由题意得,直 线与平移后的抛物线交点在轴上方，直线与平移后的抛物线交点在 轴上或 轴下方,即 解得.故答案为1, 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 5.【2024广东广州期末，较难】已知抛物线 的对称轴为直 线，与轴的一个交点为，若关于 的一元二次方程 有整数根，则 的值有___个. 3 【解析】 抛物线的对称轴为直线 ， ，.又 抛物线与 轴的一个交点为 .把代入，得， , ，则函数的最大值为, 抛物线的 顶点坐标为.令，即，解得 或 ， 当时，抛物线始终与轴交于, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 如图所示，当 有实数根时， ，，其中为整数时，，， ， 0，1， 一元二次方程 的整数根有5个. 由抛物线的对称性可知与时的函数值相等， 与时的函数值相等，当时，直线 恰好过抛物线 顶点, 的值有3个.故答案为3. 思路分析 根据抛物线的对称轴为直线，与 轴的一个交点为 可得,,故抛物线的顶点坐标为,与 轴的另一个交点 为,然后将所求问题转化为抛物线与直线在 轴上方的交点中，横坐标 为整数时，求纵坐标的值的个数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 6.［较难］已知抛物线的图象如图（1）所示，现将抛物线在 轴 下方的部分沿 轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图（2），当直线 与新图象恰有三个公共点时， 的值为______. 1或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】 抛物线的表达式为， 抛物线的顶 点坐标为.令，则 ，解得 ，，， .根据翻折变换，点 关于轴的对称点为， 曲线 所对应的函数表 达式为.当直线 与新图 象恰有三个公共点时，如图所示. ①当直线过点时，，解得；②当直线 与抛物 线只有一个公共点时， ，即 ，，解得 .综上所 述，的值为1或.故答案为1或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 刷素养 走向重高 7.思想方法 数形结合 ［较难］小爱同学学习二次函数 后，对函数 进行了探究.在经历列表、描 点、连线步骤后，得到如下的函数图象.请根据函数图象， 回答下列问题： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （1）观察探究： ①写出该函数的一条性质： ______________________________________________ _______________________________________________________________________ _____________________________________________ ； ②方程 的解为_________________________； ③若方程有四个实数根，则 的取值范围是_____________. ，，. . 图象关于轴对称；当或时， 取最大 值，最大值为0；当或时，随的增大而增大；当 或 时，随 的增大而减小等.（写出一条即可） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （2）延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象?写出平移过程，并直接写出当时，自变量 的取值范围. 【解】将函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单 位长度（或先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度）得到函数 的图象. 当时，自变量的取值范围为且 . 关键点拨 根据“上加下减”的平移规律，得到函数 的图 象，即可得到结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 $