2.4课时1 图形面积问题及抛物线形问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数的应用，核心知识点包括利用二次函数解决几何图形面积最值问题及抛物线形问题。课堂通过矩形框架面积、拱桥形状等现实情境导入，衔接二次函数概念与实际应用，以分层例题（刷基础、刷提升）和详细解析步骤（设变量、列函数、求最值）为学习支架。 其亮点在于结合不锈钢框架、喷水设施等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过建立函数模型和推理计算发展数学思维，借助函数表达式和数据描述问题提升数学语言能力。采用分层练习与情境教学，助力学生提升应用意识，为教师提供系统的分层教学资源。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第二章 二次函数 4 4 二次函数的应用 课时1 图形面积问题及抛物线形问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利用二次函数解决几何图形的面积最值问题 （第1题图） 1.【2025辽宁沈阳质检】用总长度为 的不锈钢材料制作成如 图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与， 平 行，则矩形框架 的最大面积为( ) A A. B. C. D. 【解析】设,矩形框架的面积为，则 ， ， 当时， 取得最 大值,为4, 矩形框架的最大面积为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （第2题图） 2.【2025广东广州期中】如图，在中， ， ，.动点从点出发，沿边向点 以 的速度运动（不与点重合），同时动点从点 出发，沿 边向点以的速度运动（不与点重合）.当四边形 的面积最小时，运动的时间为( ) B A. B. C. D. 【解析】设运动时间为，四边形的面积为，则 ， ，， ， 即， 当 时， 有最小值,为12， 当四边形的面积最小时,运动的时间为 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 3.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形 花圃，设花圃的宽为米，面积为 平方米. （1）求与之间的函数关系式及自变量 的取值范围； 【解】由花圃的宽为米，可得 米.根据题意,得 .由题意，得解得 . 答：与之间的函数关系式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 （2）若墙的最大可用长度为9米，则当 为多少米时，矩形花圃的面积最大?最 大面积是多少？ 【解】 . 墙的最大可用长度为9米，，， 当 时， . 答：当 为5米时，矩形花圃的面积最大，最大面积是45平方米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 知识点2 利用二次函数解决抛物线形问题 （第4题图） 4.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数表达式为 ，当 水面离桥顶的高度为 时，水面的宽度为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，由题意得，.令 ，解得 ， 点的坐标为，，点的坐标为，， 这 时水面的宽度为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 （第5题图） 5.某市民休闲广场中有一喷水设施，如图是喷水设施的一个喷 头喷出的水柱路线，它是一条经过,,三点的抛物线.点 离地面1.4米，点 是路线的最高点，离地面3.2米，离喷头的 水平距离为6米，点是水柱落地点，那么水柱落地点 距喷头 底部的水平距离为______. 14米 【解析】由题意知，点为抛物线的顶点，其坐标为 ，故可设抛物线的表 达式为.将点代入表达式，得 ， 解得, 抛物线的表达式为.令 ，得 ，解得（舍去），, 水柱落地点 距喷头 底部的水平距离为14米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 6.【2024山东青岛期末】如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是 ，宽是.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 表 示，且抛物线上的点到墙面的距离为，到地面的距离为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 （1）求该抛物线的函数表达式，并计算出拱顶到地面 的距离. 【解】根据题意得，，.把，，代入 得解得 所以该抛物线的函数表达式为 ，所以 ，所以拱顶到地面的距离为 . 思路分析 根据题意可得,, ,利用待定系数法可得抛物线的表达式，将一般式化 为顶点式即可得点的坐标，进而得到拱顶到地面 的距离. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为 ，如果隧道内设双向行 车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【解】因为,所以抛物线的对称轴为直线 .由题意得货运 汽车最外侧与地面的交点为或.当时，；当 时， .所以这辆货车能安全通过. （3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地 面的高度不超过 ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【解】令，则，解得， ，则 ，所以两排灯的水平距离最小是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 提升 1.【2025天津西青区质检，中】如图，某劳动小组借助一个直角 墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和 足够长，用 总长的篱笆围成另外两边和.有下列结论：①当 的长 D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 是时，劳动基地的面积是； 的长有两个不同的值满足劳动 基地的面积为；③点 处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙 的距离是，到墙的距离是 ，如果这棵树需在劳动基地内部 （包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是 .其中， 正确结论有( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 16 【解析】①当的长是时，的长是， 劳动基地 的面积是，故①正确.②设，则 .根 据题意得，整理得，解得或 ， 的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为 ，故②正确.③设 ，劳动基地的面积为，则 .根据题意得 解得 .由题意得， ，， 当 时，有最大值，最大值为196，当时， 有最小值，最小值为160，故 ③正确.故正确的结论有3个.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 2.［较难］如图（1），中，，点为边上不与 重合的一个动 点，过点作于点，作的中线.当点从点 出发匀速运动到 点时，设的面积为，，与的函数图象如图（2）所示，当 时，取最大值，则 的面积为( ) A A. B. C.19 D.18 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 【解析】，.设， ，则 ，，，.为 的中线， 当时， 取最大值， ，.由题意得，当时，点和点重合， ， 边上的高，的面积为 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 19 关键点拨 解题的关键是结合题图（2）中和的关系分别得出的长和 边上的高. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 3.【2025浙江台州期末，中】图（1）是一座三拱悬索桥，图（2）是其抛物线形 桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，（, 位于同一 水平线）处.从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点 出发走到 桥尾点 过程中的微信步数（步长视为定值）统计如下表： 计数位置 点 点 点 点 点 点 步数/步 0 140 180 360 400 540 根据上述数据信息得小张的步长为_____米，中间两桥墩的距离 _____米. 0.5 108 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 【解析】根据题意得小张的步长为（米）.以点为原点， 所在直线为 轴，步长为单位长度建立平面直角坐标系，如图所示，则， ， .设段抛物线的表达式为.将 代入得 ，， 段抛物线的表达式为 三条抛物线的形状相同，的中点坐标为, 设 段抛物线的表达式为.将 代入得 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 ，， 段抛物线的表达式为 .令 ，解得 ，即点的横坐标为162，由对称性知点 的横坐标为378， （步），（米）.故答案为 ，108. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 刷有所得 先确定抛物线经过的点，再根据点的坐标求得抛物线表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 刷素养 走向重高 4.核心素养 应用意识 【2025湖南益阳质检，较难】某农场有一个花卉大棚，其 横截面顶部为抛物线形，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体 上 （墙体足够长），， 均为支架，相关数据如图（1）所示（单位：米），其 中支架米， 米，两种支架各用了200根. 为增加棚内空间，农场决定将图（1）中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架 的长度变化情况如图（2）所示，调整后与上升相同的高度，即 ,其横 截面顶部仍为抛物线形，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算 为40 000元.以为原点，和所在的直线分别为轴和 轴建立平面直角坐标系. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 图（1） 图（2） 为增加棚内空间，农场决定将图（1）中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架 的长度变化情况如图（2）所示，调整后与上升相同的高度，即 ,其横 截面顶部仍为抛物线形，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算 为40 000元.以为原点，和所在的直线分别为轴和 轴建立平面直角坐标系. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 （1）求出改造前的抛物线的函数表达式； 【解】如图（1）. 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 由题意可知，， .设改造前的抛物线的函数表达式为 ，解得 改造前的抛物线的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 （2）求出改造前大棚的最大高度； 【解】， 当时， 取得最大值 ， 改造前大棚的最大高度为 米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 29 （3）在经费预算内，求出 的最大值. 图（2） 【解】 改造前的抛物线的函数表达式为 ， 当 时， ，. ， ，， 改造后抛物线对称轴为直线 ， 设改造后抛物线表达式为 ,把 代入得,, .如图（2）， 当时，，当 时， ，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 30 ， ，解得 . ， 当时， 取最大值，最大 值为， 的最大值为2米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 思路分析 根据已知条件设改造后抛物线表达式为,进而表示出， 的坐 标,得到关于的不等式，进而得到 的最大值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 32 $