2.3 确定二次函数的表达式-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“确定二次函数的表达式”，涵盖一般式、顶点式、交点式三种方法。通过基础例题导入，从已知三点求表达式到结合顶点、交点等条件逐步深入，搭建从基础到提升的学习支架，衔接自然。 其亮点是分层设计（刷基础、刷提升）与情境化题目（如隧道截面问题）结合，以数学眼光观察现实，通过推理意识引导规范解题（如OC=2分类讨论求交点式），培养抽象能力。学生能分层巩固，教师可借助可编辑课件和超链接提升教学效率。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二章 二次函数 3 确定二次函数的表达式 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用“一般式”求二次函数表达式 1.已知抛物线经过，， 三点，则该抛物线的表达式为_____ _____________. 【解析】设二次函数的表达式为，则有 解得 即抛物线的表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2025甘肃平凉期中】已知二次函数中，函数与自变量 的部 分对应值如下表： … 0 1 2 4 … … 10 1 1 25 … （1）求这个二次函数的表达式； 【解】把，，代入,得 解得 所以抛物线的表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （2）写出这个二次函数图象的顶点坐标. 【解】 ，所 以抛物线的顶点坐标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点2 用“顶点式”求二次函数表达式 3.已知二次函数图象的顶点是，且经过点 ，则二次函数的表达式是 ___________________. 【解析】设二次函数的表达式为 其图象经过点 ，，解得, 二次函数的表达式是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 开放性试题 【2024湖北荆州质检】某抛物线满足：①开口向上；②顶点 为 .请写出一个满足题意的二次函数的表达式：________________________ _______________. （答案不唯一） 【解析】 抛物线满足：①开口向上，即，②顶点为 ，即 ， 满足题意的二次函数的表达式为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5.【2025新疆乌鲁木齐期中】如图，隧道的截面由部分抛物线 和长方形构成.长方形的长为，宽为 ，抛物线的最高点 与路面的距离为，过的中点 建立如图所示的平面 直角坐标系,则该抛物线的函数表达式为_______________. 【解析】由题意可得，点的坐标为，点的坐标为 ，设此抛物线的表 达式为，将代入,得，解得， 此 抛物线的表达式为，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 6.【2025浙江杭州质检】已知二次函数的图象经过点，且当 时，有最 大值 . （1）求该二次函数的表达式. 【解】由题意可知,图象顶点为，设，把 代入，得 ，解得, 该二次函数的表达式为 . （2）判断点 是否在该抛物线上，并说明理由. 【解】不在.理由如下：把 代入抛物线表达式,得 ， 点 不在该抛物线上. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点3 用“交点式”求二次函数表达式 7.【2025广东梅州质检】已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线 相同，且经过和 ，则这条抛物线的表达式为__________ ___________ . 【解析】 抛物线经过和， 设抛物线的表达式为 该抛物线的形状、开口方向均与抛物线 相 同，， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 关键点拨 根据题目给定的交点坐标，用“交点式”表示二次函数的表达式是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 8.【2025山东东营期中】二次函数的图象如图所示，与 轴交点坐 标为，与轴交点坐标为，对称轴为直线 ，则其 表达式为_________________. 【解析】 二次函数的图象与轴交点坐标为 ，对称轴为直 线， 与轴另一个交点坐标为 ，设二次函数的表达式 为，把代入得，，解得， ， 其表达式为 ，故答案 为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 9.已知二次函数的图象经过点，， . （1）求该二次函数的表达式和图象顶点 的坐标. 【解】 二次函数的图象经过点，， 设二次函数表达式为 .将代入,得，解得， 二次 函数表达式为，即， ， ， 点 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2）若，是该二次函数图象上不同的两点.当 时， ，求点到直线 的距离. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 【解】结合（1）得当时，点，关于直线对称,且 轴. 由，得的横坐标为 ， 的纵坐标为 ， 到直线的距离为 . 思路分析 条件 结论 M，两点关于直线对称，直线 轴 M，两点距对称轴的距离均为，，的横坐标分别为， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 1.【2025山东威海期末，中】某同学在用描点法画二次函数 的图 象时，列出了下面的表格： … 0 1 2 3 … … 5 … 由于粗心，他算错了其中一个 值，则这个错误的数值是( ) C A. B. C. D.5 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】由表格数据可知，和时，的值相同，都是， 抛物线的 对称轴为直线 直线与直线关于对称轴 对称， 与所对应的值是相等的，是错误的或是错误的， 抛物线经过，，， 解 得 二次函数表达式为.当 时， ，当时， ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 2.［中］已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若 ,则这 条抛物线的表达式是_______________________________. 或 【解析】设抛物线的表达式为，点坐标为 或.把代入,得，解得 ，此时抛物 线的表达式为，即；把 代入 ，得，解得 ，此时抛物线的表达式为 ，即.综上，抛物线的表达式为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 关键点拨 已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，再由 得 到点坐标为或，然后把和分别代入 可求出对应的 的值，从而可得抛物线表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （第3题图） 3.【2025北京丰台区质检，中】如图，一条抛物线与 轴相交 于，两点（点在点的左侧），其顶点在线段 上移动， 点，的坐标分别为，，点 的横坐标的最大 值为4，则点 的横坐标的最小值为____. 【解析】由题意可知，当图象顶点在点处时，点 的 横坐标的最大值为4， 可设此时抛物线的表达式为.把点 的坐 标代入得，解得.当图象顶点在点处时，点 的 横坐标最小，此时抛物线的表达式为,令 ，则 ,解得或1, 点的横坐标的最小值为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 关键点拨 解题关键是由题意得到当图象顶点在点处时，点的横坐标最大；当图象顶点 在点处时，点 的横坐标最小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 4.【2024广东二模,中】如图，已知抛物线过， 两 点，与轴的正半轴交于点，顶点为，连接,.当 时， ____. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解析】过点作轴于点，作轴于点 ，如图. 抛物线过， 两点， 解得 , ， ， , 轴，轴, , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 , , ,解得. 抛物线开口向下, . 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5.［中］设二次函数（，是常数）的图象与轴交于， 两点． （1）若，两点的坐标分别为，，求函数 的表达式及其图象的对称轴． 【解】 抛物线过点,， ， 即函数表达式为 , 该抛物线的对称轴为直线 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （2）若函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求 的最小值． 【解】把化成一般式，得 , ，,．把 的值看 做是关于的二次函数，则该二次函数图象开口向上，函数有最小值， 当 时，的最小值是 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （3）设一次函数（是常数），若函数 的表达式还可以写成 的形式，当函数的图象经过点 时，求 的值． 【解】由题意得 函 数的图象经过点， 或 ，故或 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 6.【2024辽宁模拟，较难】如图，在平面直角坐标系中，正 方形四个顶点的坐标分别为， ， ，，其中.我们把正方形 的边 上及其内部的点称为“ 阶方点”. （1）请写出反比例函数 的图象上一个“4阶方点”的坐标：_______ _______________； （答案不唯一） 【解析】由题意，得正方形四个顶点的坐标分别为， ， ,， 反比例函数 的图象上一个“4阶方点”可以 是,.故答案为 （答案不唯一）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）若直线上有且只有一个“2阶方点”，求 的值； 【解】，当时，， 直线 恒过点 直线 上有且只有一个“2阶方 点”， 直线过点或过点.当过 时， ，则；当过时，，则 .综 上，的值为 或3. 思路分析 找到直线恒过的定点，根据“ 阶方点”的定义找到符合题意的点， 建立方程即可求解； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （3）抛物线 上有且只有2个“3阶方点”，求符合题意 的抛物线的表达式； 【解】 抛物线上有且只有2个“3阶方点”， 若 ，则抛物线过,两点，对称轴为轴,若，则抛物线过, 两点，对称 轴为轴，，，，.当 时， 将代入，得，解得，；当 时，将 代入，得，解得， .综上，抛物线的表 达式为或 . 思路分析 分, 两种情况分别求解； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 （4）若（3）中所得抛物线均取轴上及 轴上方的所有点组成一个新函数的图象， 记为图象，点，在图象上，记，之间图象（包括点 ，点 ）上最高点与最低点的纵坐标之差为，求 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 【解】令，解得 ， .令，解得 ， ， 图象与轴的交点为 , .当时，, 图象 与轴的交点为 ,如图所示. 将代入中，得， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 当时，图象最高点为，最低点为， ，解得 ，（舍）；当时，最高点为，最低点为 ， ，解得，（舍）；当 时， 最高点为，最低点为图象与轴交点，，解得 ， ，都不符合；当时，最高点为，最低点为图象与 轴交点， ，解得，，都不符合.综上所述， 的 值为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 先画出图象，再分类讨论，得出符合题意的 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 $