1大招专题2 锐角三角函数应用的常见模型-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“直角三角形的边角关系”，以锐角三角函数应用的“背靠背型”“子母型”等常见模型为核心，通过“母题学大招”引入实际问题，结合“大招解读”提炼模型特征，再以“子题练变式”巩固，构建“问题—模型—应用”的学习支架，衔接三角函数定义与现实应用。 其亮点在于融入几何直观、推理意识与模型意识，如“背靠背型”母题通过作高构造直角三角形，利用公共边建立方程，培养学生用数学眼光观察现实问题的能力。“大招解读”明确图形模型与解题步骤，助力学生形成结构化思维，既提升学生解决实际问题的能力，也为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第一章 直角三角形的边角关系 大招专题2 锐角三角函数应用的常见模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招4 背靠背型 1.【2024山东济南莱芜区期中，中】某地修建了一座半径 为的圆形纪念园.如图，纪念园中心位于 村西南 方向和村南偏东 方向上.村在 村的正东方向且两 村相距.有关部门计划在， 两村之间修一条笔直 的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明. （参考数据：，，， ） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解】该公路不会穿过纪念园.理由：如图，过点 作 ，垂足为点.由题意得 ， ，， ， .设.在 中， .在中， . ，，解得 ， ， 该公路不会穿过纪念园. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 大招解读 背靠背型 通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，高为两个直角三角形的公共 边.图形模型如下： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 子题练变式 2.【2025吉林松原质检，中】如图，某学校的小学部教学楼 对面是初中部教学楼，某学生在小学部教学楼的窗口 处测 得初中部教学楼顶部的仰角为 ，初中部教学楼底部 的俯角为 ，，，，，， 在同一 平面内，量得小学部教学楼与初中部教学楼之间的距离米.求教学楼 的 高度.（结果精确到0.1米，参考数据：， ， ，，， ） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 【解】如图，过点作，垂足为点.由题意，得 ， ，米.在中， ， （米）.在中， ， （米）， （米）. 答：教学楼 的高度约为11.1米. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 关键点拨 过点作，垂足为点 ，根据锐角三角函数的定义即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 母题学大招5 子母型 3.［中］某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升 空的高度.如图，在平面内，点，，在同一直线上， ， 垂足为点， ， ，，求 的高度. （结果精确到 .参考数据：， ， ， ） 【解】设.在中，， ， .在中，，， . ，，解得，的高度约为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 大招解读 子母型 通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，高为两个直角三角形的公共 边.图形模型如下： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 子题练变式 4.［中］某数学兴趣小组去测量一座小山 的高度，在山顶上有一高度为20米的 发射塔，如图所示.在山脚平地上的处测得塔底的仰角为 ，向小山前进 80米到达点处，测得塔顶的仰角为 ，小山 的高度为_______________. 米 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 【解析】设为米，则米.由题意知 ， 米.在中，，则 米, 米.在中， ,解得 .经检验， 为原方程的解，且符合题意，故答案为 米. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 5.【2025湖南邵阳质检，中】全国“十三五”规划重大水利工 程——邵阳资水犬木塘水库，施工测绘中，饮水干渠需经过一 座险峻的石山，如图所示，， 表示需铺设的干渠引水管道， 经测量，，，所处位置的海拔，， 分别为 ，，.若管道与水平线的夹角为 ，管道与水平线 的夹角为 ，与交于点，求管道和 的总长度（结果保留根号）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 【解】根据题意知，四边形和四边形 均为矩形， ， ， ， .在中， ， ， ，.在 中，， ， ， ，，即管道和 的 总长度为 . 思路分析 先根据题意得到，的长，在中，由锐角三角函数可得 的长，在 中，由锐角三角函数可得 的长，再相加即可得到答案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 母题学大招6 拥抱型 6.【2025河南信阳期中，中】某兴趣小组开展了测量电线塔高度的 实践活动.如图所示，斜坡的坡度，，在 处 测得电线塔顶部的仰角为 ，在处测得电线塔顶部 的 仰角为 . （1）求点到水平地面的高度 . 【解】 斜坡的坡度，， ， ， . 答：点到水平地面的高度为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 （2）求电线塔 的高度（结果保留根号）. 【解】如图，过点作于，则 ， 四边形 是矩形， ，.设，则 . ，.在中， , ，.在 中， . ，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 答：电线塔的高度为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 大招解读 拥抱型 如图，分别解两个直角三角形，在和中， 为公共边.图形模型 如下： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 母题学大招7 斜截型 7.【2024河南南阳期中，中】某商场为缓解“停车难” 问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道 入口的设计示意图，其中，， ， ，在上，， . 根据规定，地下停车库坡道 入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该将 的长作为限制的高度.小明和小亮 谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度.（结果精确到 ，参考数据： ，， ） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 【解】小亮说得对. 在中， ， ，， ， ， . ， . ， ， , 正确的限制高度约为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 大招解读 斜截型 斜截型常与方位角结合考查，多呈现为拦截问题、安全问题.此类型的特点是小的 直角三角形在大的直角三角形内部，有公共的锐角，小的直角三角形的斜边与大 的直角三角形的直角边在同一直线上，小的直角三角形的直角边与大的直角三角 形的斜边在同一直线上，如图. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 子题练变式 8.［中］如图（1），太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能 的效果最佳.图（2）为其示意图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平 线的夹角 确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直）.已知， ，，于，若 ，求的长 参考数据： ，， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 【解】如图，延长交的延长线于点，延长 , ， . 在中，，， 在 中， 答：的长约为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 关键点拨 延长交的延长线于点，延长，则 ，再利用锐角三角函数即可 求出答案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 $