1.5 三角函数的应用-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“三角函数的应用”，涵盖方位角、仰角俯角、坡角等核心知识点，通过测量船导航、喷泉设施测量等实际情境导入，衔接直角三角形边角关系，以“刷基础-刷提升”分层练习为支架，构建知识脉络。 其亮点在于结合2025年各地模拟题创设真实问题情境，如火箭高度计算、斜坡改造等，培养学生用数学眼光观察现实世界。解析过程注重辅助线构造和思路分析，如方位角问题中构造等腰三角形，渗透推理意识和几何直观，帮助学生形成数学思维。采用归纳总结法，学生能提升知识应用能力，教师可借助分层设计提高教学针对性。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第一章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 方位角问题 1.如图，一艘测量船在处测得灯塔在它的南偏东 方向，测量船继续向正东 航行30海里后到达处，这时测得灯塔在它的南偏西 方向，则灯塔 离观测点 的距离是( ) B A.海里 B. 海里 C.海里 D. 海里 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】如图，过作于，在 上截取 ，连接,则 ， ， .由题意得 添加辅助线 因为要求的是的长度，所以要把放到一个直角三角形中，所以过作 于，再根据 角得到 角，并结合 角想到在上截取 构造底 角为 的等腰三角形，进而求解. , ， ，.设 海里，则 海里，海里. 海里， ，解得 ， 海里.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 2.【2025江苏连云港模拟】美丽的西双湖中有一组喷泉 设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示的 线段.数学综合实践小组利用课余时间对 的长进行 （1）， 两点间的距离为____米； 40 【解析】在中， ，米，， 两点间的距离为40米.故答案为40. 测量，采取如下方案：在岸边取一点，观察发现点在点 的正北方向.小组成员 小丽从点处向正东方向走了40米达到处，此时测得点在北偏西 方向上， 点在北偏西 方向上. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 （2）求的长.（参考数据：， ， ， ） 【解】如图,过点作交延长线于点， 易知四边形 是矩形， 米，.在中， ， （米）， （米）， 米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 知识点2 仰角（俯角）、坡角问题 （第3题图） 3. 【2025云南楚雄州三模】2025年4月24日17时17分， 搭载神舟二十号载人飞船的长征二号 遥二十运载火箭在酒泉 卫星发射中心点火发射.如图，当火箭上升到点 处时，位于 地面处的测量点测得点到点的距离为千米，仰角为 ， 则此时火箭距地面的高度 为( ) B A.千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【解析】根据题意得 ，千米， , 千米，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 4.【2025湖北咸宁质检】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块 平地，斜坡长，斜坡的坡度为 5.为了减缓坡面，防止山体 滑坡，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 时，可 确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移动___ 时， 才能确保山体不滑坡参考数据: 8 （第4题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 【解析】在上取点，使 ，过点作于，过点 作 于,如图.，，， 四边形 为矩形， ， 斜坡的坡度为，， 设 ， 则.由勾股定理得，，即 ，解得 （负值已舍去），，， .在 中，， ， ， 坡顶沿至少向右移动 时， 才能确保山体不滑坡.故答案为8. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 思路分析 在上取点，使 ，作， ,根据坡度的概念和勾股 定理求出,，根据正切的定义求出 ，结合图形计算，得到答案. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 5.【2024山东淄博期末】春天是放风筝的好季节.如图，小明在某公园 处放风筝， 风筝位于处，风筝线长为，从处看风筝的仰角为 ，小刚从 处看风 筝的仰角为（，，三点位于同一竖直平面,, 在同一直线上）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 （1）风筝离地面多少米？（结果精确到 ） 【解】过点作于点，如图.在中， ， . 答：风筝离地面约 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 （2）小明和小刚的直线距离是多少米？（结果精确到 ） （参考数据：，，， ， ） 【解】在中，， .在 中，， ， . 答：小明和小刚的直线距离约是 . 归纳总结 一些关于锐角三角函数的实际问题中，需要通过作辅助线构造直角三角形，再用 线段和差进行求解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 提升 （第1题图） 1.【2025湖南衡阳期中，中】如图，小文准备测量自己所住楼房 与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个3米的标杆 ， 然后他在处测得点的俯角 为 ，再测得点的俯角 为 ，则两幢楼房之间的水平距离大约为 参考数据： ，， ( ) D A.9.75米 B.9.5米 C.9.25米 D.9米 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解析】如图，延长交于点，则易得四边形为矩形, ， .设米.在中， ， 米.米， 米.在 中， ，.， ,解得 ，米， 两幢楼房之间的水平距离大约为9米.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 （第2题图） 2.【2025浙江温州质检，中】如图，小乐和小静一起从点 出发去拍摄木棉树.小乐沿着水平方向步行到达点 时拍到树顶点，仰角为 ；小静沿着坡度 的斜坡 步行到达点时拍到树顶点，仰角为 ，那么这棵木 棉树的高度约为（点,,在同一直线上,点,,,, 在 C A. B. C. D. 同一平面内.参考数据：，， ）( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 【解析】如图,过点作，垂足为，作 ，垂 足为,则易得四边形为矩形,， ， 由题意得 , , , . 斜坡的坡度，， 设 ，解得，，.设 ， .在 中， ，则. 在中， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 , ，米.在 中，, ， . ，，解得，， 这棵木棉树的高度约为 ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3.［中］如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东 方向直线延伸，测 绘员在处测得要安装天然气的小区在市北偏东 方向，测绘员沿主输气管 道步行2 000米到达处，测得小区位于的北偏西 方向.当在主输气管道 上寻找支管道连接点，使到小区铺设的管道最短时， 的长为_______米. 1 500 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解析】如图，过作东西方向线的平行线，交过 的南北方向线 于，过作于，则此时铺设的管道 最短. ， ， ， .又 ， ， ， ， ， ， ， 米， 米， （米），即当在主输气管道 上寻找支 管道连接点，使到小区铺设的管道最短时， 的长为1 500米.故答案为1 500. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 4.［中］台灯，是我们在学习中的万能“小助手”．如图（1）是一盏可调节台灯， 图（2）为示意图，固定底座于点，为固定支撑杆，为可绕着点 旋转的调节杆，灯体始终保持垂直于， 为台灯照射在桌面的区域，旋转 调节杆使.已知此时，， ， ，，点恰好为的中点，则 的值为_ ___． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 【解析】如图，过点作于，过点作于 .在 中，，， 易得， .又 ， 技巧归纳 在实际问题中，往往会通过向水平面作垂线来构造直角三角形. ，， 点 恰好为的中点， ， .在 中，， .故 答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 5.【2024重庆渝中区质检，较难】如图，一货船从港口 出发，以40海里/时的速 度向正北方向航行，经过1时到达处，测得小岛在的东北方向，且在点 的北 偏东 方向.（参考数据：，，， ， ） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （1）求， 之间的距离（结果保留整数）； 【解】如图，过作，交的延长线于 .由题意 得， （海里）. 在中， ， .设 海里，则海里.在 中， ， ， ，解得 ， 海里， （海里）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 思路分析 过作,交的延长线于，由题意可得，设 海 里，则 海里，通过三角函数列方程求解； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 （2）由于货船在处突发故障，于是立即以30海里/时的速度沿赶往小岛 维修， 同时向维修站发出信号，在 处的维修船接到通知后立即准备维修材料，之后以 50海里/时的速度沿前往小岛.已知在的正东方向，在的北偏西 方向， 通知时间和维修船准备材料时间一共6分，请计算说明维修船能否在货船之前到达 小岛 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 【解】如图，过点作于，则四边形 为矩形.由（1）得 海里，海里. ， ， ， 海里. ， ， ， ， 海里， 维修船到达小岛 总共用时 （时）.货船从到用时 （时）. ， 维修船能在货船之前到达小岛 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 思路分析 结合三角函数和平行线的性质进行求解并比较，从而得到答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 $