1.4 解直角三角形-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“解直角三角形”核心知识点，通过“刷基础-刷提升-刷素养”分层训练导入课堂，串联三角函数定义、构造直角三角形等前后知识，以分层题目及详细解析为学习支架。 其亮点在于分层递进设计与核心素养融合，如“刷素养”中字典封面问题，引导学生用数学眼光观察现实情境，解析通过思路分析培养推理能力，以“关键点拨”总结方法。助力学生提升解题与创新意识，为教师提供系统教学资源。

数 学 九年级下册 BS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第一章 直角三角形的边角关系 4 解直角三角形 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 解直角三角形 1. 【2025江苏扬州期末】在中， ，,, 的对边分 别为,,，若已知和，求 ，你认为最直接的求解应选择的三角函数是 ( ) B A. B. C. D.无法比较 【解析】在中, ，， .故选B.. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.如图，在中， ，于点 ，若 ，，则线段 的长为( ) D A.10 B.4 C. D. 【解析】， ， ， ，，,，即 ， 解得 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 思路分析 线段既在中，也在中，而在这两个三角形中只有 的长已知， 所以在中求解 的长 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.【2025北京海淀区调研】将含有 角的直角三角板如图放置在 平面直角坐标系中，在轴上，将三角板绕原点 顺时针旋转 ，若，则点的对应点 的坐标为_ __________. 【解析】如图所示，将绕原点顺时针旋转 得到，过 作 轴于，则， ， 是等腰直角三角形,. 点在第四象限， 点的对应点的坐标为 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 4.【2025陕西汉中期末】如图，在中，，垂足为点 ，若 ， ，，则 ___. 2 【解析】,， ， ，， .故 答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 5.【2025浙江杭州模拟】在中， ，， . （1）求 的度数. 【解】 ，， ， , . （2）求 的面积. 【解】 ， ，， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点2 解简单的非直角三角形 （第6题图） 6.【2024江苏南通期末】如图，在中， ， ，，则 的长为( ) D A. B. C.4 D.5 【解析】如图，过点作于.在 中， ，，， . 在中，，， ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （第7题图） 7.【2025安徽亳州期末】如图，在中， ， ，，则 的长是( ) B A. B. C. D.9 添加辅助线 构造直角三角形的一般方法 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解析】如图,过点作，交 的延长线于点 ， ， ， 技巧点拨 构造直角三角形时，不要分割已知角，尽量作垂线，构造更多跟已知条件有关的 直角三角形. ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 8.【2025山东淄博质检】如图,在中，， 为锐角且 ， . （1）求 的度数. 【解】为锐角且， . （2）求 的长. 【解】过点作于，如图.，. ， ， 在中，. ， ，即，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 提升 （第1题图） 1.【2025河北沧州期中，中】如图，在中， ， ，，平分交于点，则线段 的长 为( ) B A. B.2 C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 【解析】如图，过点作于，过点作于 .在 中， , , .在 中， 关键点拨 通过作垂线构造出直角三角形是解题的关键. ， ，.设 .在 中, , ,平分 , .在中， ， , .由 ，得 ，， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 （第2题图） 2.【2024山东青岛期中，中】如图， 是边长为6的等边三 角形，点，在边上，若 ， ，则 的长度是( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 【解析】过点作于，如图. 是边长为6的等边三 角形，， ， , ， 思路分析 过点作于,由为等边三角形,得到 ,从而得到 ,利用锐角三角函数求得 的值,即可求解. ， ， ， . ， ， ， .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 3.【2024四川成都调研，中】如图，在四边形 中， ，，，对角线平分 ， ，则 的面积为___. 9 【解析】过点作，垂足为，如图. 对角线 平分 , ，. ， ，，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 4.【2025江苏扬州期中，中】已知中，，，当 最大 时， 的长为 _____ . 【解析】如图,过作于，， ， ，是锐角.当最大时，最大. ， ， 当，且时， 最大，此时 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 5.【2024北京东城区质检，中】如图（1）是一本厚度为 的字典，封面是硬的， 翻开时不会发生弯曲.如图（2），把这本字典放在桌面上，将上面的封面 打开 角到位置时，点到的距离.现将封面打开 角 到 位置，请回答下列问题（计算时不考虑封面的厚度）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （1）求字典的封面宽 ； 【解】依题意得 ，， .在 中， ，,即字典的封面宽是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （2）求点到桌面的距离 . 【解】延长交于，如图.依题意得 ， ， ，，， ， .在中， ， ， , 点到桌面的距离为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力 【2025湖北武汉质检，较难】 【问题提出】如图（1）,在等腰中，，，为中点，以 为顶点作 ，角的两边分别交，于点， ，连接 ，试探究点到线段 的距离. 图（1） 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （1）先将问题特殊化，如图（2），当点和点重合时，直接写出点到线段 的距离（用含 的式子表示）. 【解】点到线段的距离为，，为 中点， ，， ， ，， 点到线段的距离即为 的长.在 中,， . 【问题探究】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）再探究一般情形，如图（1），证明（1）中的结论仍然成立. 图（1） 【证明】作于，于 ，如图（1）， ， ， ， ，, . ，， ， ，即点到线段的距离为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【问题拓展】 （3）如图（3），在等腰中，，为中点，以 为顶点作 ，角的两边分别交直线，于点，，连接 . 若，直接写出的值（用含 的式子表示）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 图（2） 【解】 .连接，作于 ，如图（2）.设 ，则 ，， 为 中点，， , ， 是公共角， ， ， .同（2）易得 ，， ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 解题的关键是由特殊到一般，从特殊的图形中发现规律，再将解题思路运用到一 般图形中. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 $