专题08：数学广角——数与形（解决问题讲义）数学人教版六年级上册

人教版六年级数学上册解决问题 专题08：数学广角——数与形 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：算式的规律 1、考点解读：本考点核心是通过观察算式与图形（或数字组合）的对应关系，发现加法、乘法算式中隐含的规律（如连续奇数求和、平方数相关算式、分数裂项等），能运用规律快速计算算式结果、推导后续算式，培养“从具体到抽象”的归纳推理能力。 2、核心思路 （1）观察算式特征：分析算式中数字的变化（如递增/递减、位数变化、运算符号），或结合图形（如小正方形、线段图）辅助理解。 （2）归纳规律：从已知算式中提炼共性（如“连续奇数求和的和等于项数的平方”“分数裂项后可抵消”）。 （3）验证规律：用后续算式验证归纳的规律是否成立。 （4）运用规律：根据规律快速计算复杂算式或推导未知算式。 3、核心规律与公式 （1）连续奇数求和：1+3+5+…+（2n-1） = n²（n 为项数，即奇数的个数）。 （2）相邻平方数的差：（n+1）² - n² = 2n+1（n 为非零自然数）。 （3）分数裂项求和： + +…+ =1 − = （裂项后中间项抵消）。 【名师点拨】 （1）规律的适用范围：明确规律成立的条件，避免盲目套用。 （2）项数要准确判断。 （3）分数裂项时需保持分子不变（均为1），分母为两个连续自然数的乘积，避免裂项错误。 （4）复杂算式规律可通过画图形直观理解，避免仅靠数字推导导致规律误判。 考点02：数字排列的规律 1、考点解读：本考点核心是观察数字排列（如数列、数阵、表格）的顺序、增减、分组等特征，发现隐藏的排列规律（如等差数列、周期规律、对称规律），能根据规律补全数字、推导指定位置的数字，培养观察和逻辑推理能力。 2、核心思路 （1）观察排列特征：判断数字是“递增/递减”“循环重复”“对称分布”还是“分组排列”。 （2）提炼规律本质： ①等差数列：相邻两项的差固定（公差d），第n项=首项+（n-1）×d； ②周期规律：找出重复的“周期组”，用“项数÷周期长度” 求余数，余数对应周期组中的位置； ③数阵规律：先看行/列的变化，再计算指定位置的数字； ④对称规律：找到对称中心，两侧数字对称相等。 （3）验证与应用：用已知数字验证规律，再补全未知数字或计算指定位置的数。 3、核心规律与公式 （1）等差数列：第n项=首项（a₁）+（n-1）×公差（d），前n项和=（首项+末项）×n÷2。 （2）周期规律：第n项=周期组中“（n-1）÷ 周期长度的余数”对应的数字（余数为0对应周期组最后一个数）。 （3）矩形数阵（每行m个数，递增1）：第i行第j列的数=（i-1）×m + j。 （4）对称数列（以第k项为中心）：第（n）项=第 （2k - n）项（n≤2k-1）。 【名师点拨】 （1）等差数列需确认相邻两项的差是否一致；周期规律需确保周期组完整。 （2）数阵中注意“行/列的起始位置”，避免位置计算错误。 （3）对称规律的中心定位：对称数列的中心可能是中间一项或中间两项的中间位置，需准确判断。 （4）复杂数阵先找“基准”：如多层数阵，先找每层的数字个数规律，再推导指定位置的数。 考点03：图形的变化规律 1、考点解读：本考点核心是观察图形（如线段、三角形、正方形、点阵）的个数、形状、大小的变化，发现图形与数字的对应规律（如“第n个图形的个数”“图形面积/周长的变化”），能根据规律画出第n个图形、计算图形个数或相关量，培养空间想象和数形结合能力。 2、核心思路 （1）观察图形变化：记录每个图形的 “关键量”（如个数、边长、小棒根数），对应到数字序列。 （2）数形结合推导规律：将图形的变化与数字规律关联。 （3）验证规律：根据规律画出第n个图形，验证是否符合图形变化特征。 （4）运用规律：计算指定图形的个数、面积、周长等。 3、核心规律与公式 （1）正方形个数/点阵点数：第n个图形= n²。 （2）等距递增小棒数：第n个图形=首项×n。 （3）正方形边长递增（边长= n厘米）：周长= 4n（厘米），面积= n²（平方厘米）。 （4）长方形拼摆（长= n，宽= 1）：周长= 2（n+1）（厘米），面积= n×1=n（平方厘米）。 【名师点拨】 （1）规律与图形的对应：避免仅看数字规律忽略图形实际变化。 （2）复杂图形先分解，分别找各部分的变化规律，再合并总规律。 考点1：算式的规律 【典型例题】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 （______＋______）×（______－______）＝（______） （2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“”来计算，明明说也可以用“”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ 【练习1】探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    （1）根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 （2）观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（     ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝（ ）。 【练习2】“二进制”的计算方法与我们学过的加法计算有所不同。请仔细观察前两道竖式，找出规则。 ①     ②    ③ （1）你发现的计算规则是： （ ）；（ ）；（ ）。 （2）利用这个规则，第三道竖式的结果是（ ）。 考点2：数字排列的规律 【典型例题】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请你根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 1        1＋2＋1＝4         1＋2＋3＋2＋1＝9       1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16 （1）1＋2＋3＋…＋9＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝（ ）； （2）（1＋2＋3＋…＋15）×2＋16＝（ ）。 【练习1】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（     ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 【练习2】阅读材料并回答问题。 观察一个数列：1，2，4，8，16…这一列数按规律排列，我们把这个数列中的每个数叫作这个数列的“项”，第一项叫作“首项”。在这个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比值都等于2。我们把这样的数列叫作等比数列，这个固定的比值2叫作这个等比数列的“公比”。 （1）已知等比数列5，10，20，40…这个等比数列的第六项是（ ）。 （2）已知一个等比数列的各项都是正数。第二项是6，第四项是54，这个等比数列的公比是（ ），首项是（ ）。 考点3：图形的变化规律 【典型例题】我国苗家的“长桌宴”风俗历史悠久，起源是苗家接亲嫁女、外寨来访贵客的联谊。如果按照这样的方式摆放，接待58人需要准备多少张桌子？    【练习1】如图摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒。照这样，摆12个三角形用（     ）根小棒。 A．25 B．24 C．36 【练习2】用火柴棒搭房子（如下图），搭3间用了13根，照这样搭502间房子要用（　     　）根火柴棒。 A．2007 B．2008 C．2009 夯实基础 1．按如图的规律摆图形，如果小三角形的边长为1，每个图形包含小三角形的个数与这个图形的周长之间的关系是（     ）。 A．小三角形的个数每个图形的周长 B．小三角形的个数每个图形的周长 C．小三角形的个数（每个图形的周长 2．根据下面的规律，可知第6个图形中有（     ）颗★。 A．9 B．11 C．13 3．观察下面的点阵图规律，第10个点阵图中有（     ）个点。 A．33 B．23 C．36 4．如图，……如果一个小三角形的边长是lcm，第五个图形的周长是（     ）。 A．5cm B．9cm C．7cm 5．如图，用同样的小棒去摆，第n个图形需要小棒的根数表示错误的式子是（     ）。 A．4n－1 B．4＋ 3（n－1） C．3n＋1 6．如下图，如果一个小正三角形的边长为1cm，第5个图形周长是（ ）cm，按此规律拼下去，第52个图形的周长是（ ）cm。 7．……照这样把边长1厘米的正方形拼成长方形，用5个这样的正方形拼成的长方形周长是（ ）厘米；用n个这样的正方形拼成的长方形的周长是（ ）厘米。 8．如果照这样排列下去，第6个图形中涂色的小三角形有（ ）个；第10个图形中涂色的小三角形有（ ）个。 9．把边长1厘米的正方形纸片拼接如下规律的长方形。 （1）用4个正方形拼成长方形周长是（ ）厘米。 （2）用n个正方形拼成长方形周长是（ ）厘米。 10．瑞士的一位中学老师从光谱数据：，，，…中发现了一个规律，从而打开了光谱奥妙的大门，请你根据这个规律写出第5个数是（ ）。 11．如下图，1张桌子可以坐8人，2张桌子拼起来可以坐12人。8张这样的桌子拼起来能够坐下 （ ）人；要想坐下48人，需要（ ）张桌子拼起来。 12．用小棒按下图的方式搭图形。按这样搭下去，第8个图形需要（ ）根小棒，搭第n个图形需要（ ）根小棒。 13．如图，按规律摆下去，第20个“T”字需要（ ）枚棋子。 …… 14．如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么20这个数在第（ ）个三角形的顶点处，用含有n的代数式表示第n个三角形在右下角顶点处的数为（ ）。 15． 1＋3＝（2）2        1＋3＋5＝（3）2            1＋3＋5＋7＝（4）2 结合上面的图和算式，我发现： 。 16．仔细观察下表。 序号 1 2 3 … 图示 … 线段 、、 、、、、、 … 线段根数（条） 1 3 6 … 照这样画下去，第10个图有（ ）条线段。第（ ）个图有666条线段。 培优拔高 17．下面每个图形中灰色小正方形有多少个？ （1）观察规律，照样子在下面的括号内填上算式，并把第4幅图画在方框内。 （2）照这样的画下去，想一想，第20幅图形中有（     ）个灰色小正方形。 18．计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（     ）。 下面是三位同学的解法： □小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 □小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 □小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （1）你觉得哪些同学的解法正确，在□里画√。 （2）用你喜欢的方法计算下题，请用递等式写出过程。 3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 19．小明用牙签搭六边形，如下图。 （1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？ （2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？ （3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？ 20． （1）像这样摆下去，第n个图形需要__________根小棒。 （2）当n＝35时，计算第（1）题式子中需要的小棒数。 21．两个非0数a、b，小明为了验证是不是等于，想出了两种办法验证： （1）例举具体数据进行验证； （2）用数形结合方法验证：画一个大正方形，边长是a＋b的和，如图，那么大正方形面积边长×边长可以表示为（a＋b）×（a＋b），也就是。也可以用①②③④四块面积相加求和，看结果是不是等于。 请你分别用上面（1）（2）两种方法来验证：是不是等于。 思维拓展 22．在数学学习中，我们常常这样去探究：“观察——猜测——论证——应用。”学习加法结合律、三角形的内角和等知识时就是按这样的过程去探究的。 三角形的内角 画几个不同类型的三角形，量一量，算一算。三角形的3个内角的和各是多少度。 先把一个三角形的三个角剪下来，再拼一拼，看一看，拼成一个什么角。 比较下面的两组算式，你发现了什么？ （69＋176）＋28○69＋（176＋28） 155＋（145＋207）○（155＋145）＋207 你能用符号表示加法结合律吗？ （△＋☆）＋○＝____＋（____＋____） （a＋b）＋c＝____＋（____＋____） 请你利用这种数学方法，来找找两个数的平方差中所蕴含的规律吧！ 我有发现：观察下面的算式，找到规律后在括号里填上合适的数。 72－32＝（7＋3）×（7－3）＝10×4＝40 102－62＝（10＋6）×（10－6）＝16×4＝64 752－252＝（     ）×（     ） 我来猜测：两个数a和b的平方差有下面这样的规律。 a 2－b2＝（     ）×（     ） 我来验证：如下图，两个正方形的边长分别是a和b。请你用下面的图来证明上面的规律是正确的。 （1）选一选：a2表示（     ），b2表示（     ）。 A．大正方形的面积        B．小正方形的面积       C．大正方形的周长       D．小正方形的周长 （2）请你用斜线涂出a2－b2所表示的部分。 （3）请你用所学面积计算的知识来证明上面规律是正确的。 23．数学里有很多奥秘，需要我们探索、发现与应用。下面的问题，让我们都来研究吧。 问题1：两个相邻自然数相乘，积的末位数学有什么特征？ （1）探究：请你在下框中举一些例子进行观察、比较。要从简单开始，有序思考寻找规律。 （2）发现：两个相邻自然数相乘，积的末位数字的特征是（     ）。 （3）应用：①下面四个选项中，只有选项（     ）是两个相邻自然数的乘积。 A．62            B．123            C．756            D．1416 ②它是两个相邻自然数（     ）和（     ）的乘积。 问题2：两个相邻自然数相加或相乘，它们的和与积有什么联系？ （4）再探究：请你在下表中进行观察、比较，寻找联系。 相邻自然数 1与2 2与3 3与4 … 9与10 n与 和 3 5 7 1 19 积 2 6 12 1 90 ①再观察：下图大正方形是由四个相同的小长方形拼接而成，你能找到n与的“和”、“积”吗？（在图上标出来） ②我发现，n与的“和”、“积”的关系是： 。（可用含有字母的式子表示出来） 【反思】当你解决此题时，是不是觉得很神奇呢？原来复杂的问题也可以通过画图、转换等探索，而变得简单有趣。只要真正热爱数学，你就能感受到学习的无穷魅力。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学上册解决问题 专题08：数学广角——数与形 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：算式的规律 1、考点解读：本考点核心是通过观察算式与图形（或数字组合）的对应关系，发现加法、乘法算式中隐含的规律（如连续奇数求和、平方数相关算式、分数裂项等），能运用规律快速计算算式结果、推导后续算式，培养“从具体到抽象”的归纳推理能力。 2、核心思路 （1）观察算式特征：分析算式中数字的变化（如递增/递减、位数变化、运算符号），或结合图形（如小正方形、线段图）辅助理解。 （2）归纳规律：从已知算式中提炼共性（如“连续奇数求和的和等于项数的平方”“分数裂项后可抵消”）。 （3）验证规律：用后续算式验证归纳的规律是否成立。 （4）运用规律：根据规律快速计算复杂算式或推导未知算式。 3、核心规律与公式 （1）连续奇数求和：1+3+5+…+（2n-1） = n²（n 为项数，即奇数的个数）。 （2）相邻平方数的差：（n+1）² - n² = 2n+1（n 为非零自然数）。 （3）分数裂项求和： + +…+ =1 − = （裂项后中间项抵消）。 【名师点拨】 （1）规律的适用范围：明确规律成立的条件，避免盲目套用。 （2）项数要准确判断。 （3）分数裂项时需保持分子不变（均为1），分母为两个连续自然数的乘积，避免裂项错误。 （4）复杂算式规律可通过画图形直观理解，避免仅靠数字推导导致规律误判。 考点02：数字排列的规律 1、考点解读：本考点核心是观察数字排列（如数列、数阵、表格）的顺序、增减、分组等特征，发现隐藏的排列规律（如等差数列、周期规律、对称规律），能根据规律补全数字、推导指定位置的数字，培养观察和逻辑推理能力。 2、核心思路 （1）观察排列特征：判断数字是“递增/递减”“循环重复”“对称分布”还是“分组排列”。 （2）提炼规律本质： ①等差数列：相邻两项的差固定（公差d），第n项=首项+（n-1）×d； ②周期规律：找出重复的“周期组”，用“项数÷周期长度” 求余数，余数对应周期组中的位置； ③数阵规律：先看行/列的变化，再计算指定位置的数字； ④对称规律：找到对称中心，两侧数字对称相等。 （3）验证与应用：用已知数字验证规律，再补全未知数字或计算指定位置的数。 3、核心规律与公式 （1）等差数列：第n项=首项（a₁）+（n-1）×公差（d），前n项和=（首项+末项）×n÷2。 （2）周期规律：第n项=周期组中“（n-1）÷ 周期长度的余数”对应的数字（余数为0对应周期组最后一个数）。 （3）矩形数阵（每行m个数，递增1）：第i行第j列的数=（i-1）×m + j。 （4）对称数列（以第k项为中心）：第（n）项=第 （2k - n）项（n≤2k-1）。 【名师点拨】 （1）等差数列需确认相邻两项的差是否一致；周期规律需确保周期组完整。 （2）数阵中注意“行/列的起始位置”，避免位置计算错误。 （3）对称规律的中心定位：对称数列的中心可能是中间一项或中间两项的中间位置，需准确判断。 （4）复杂数阵先找“基准”：如多层数阵，先找每层的数字个数规律，再推导指定位置的数。 考点03：图形的变化规律 1、考点解读：本考点核心是观察图形（如线段、三角形、正方形、点阵）的个数、形状、大小的变化，发现图形与数字的对应规律（如“第n个图形的个数”“图形面积/周长的变化”），能根据规律画出第n个图形、计算图形个数或相关量，培养空间想象和数形结合能力。 2、核心思路 （1）观察图形变化：记录每个图形的 “关键量”（如个数、边长、小棒根数），对应到数字序列。 （2）数形结合推导规律：将图形的变化与数字规律关联。 （3）验证规律：根据规律画出第n个图形，验证是否符合图形变化特征。 （4）运用规律：计算指定图形的个数、面积、周长等。 3、核心规律与公式 （1）正方形个数/点阵点数：第n个图形= n²。 （2）等距递增小棒数：第n个图形=首项×n。 （3）正方形边长递增（边长= n厘米）：周长= 4n（厘米），面积= n²（平方厘米）。 （4）长方形拼摆（长= n，宽= 1）：周长= 2（n+1）（厘米），面积= n×1=n（平方厘米）。 【名师点拨】 （1）规律与图形的对应：避免仅看数字规律忽略图形实际变化。 （2）复杂图形先分解，分别找各部分的变化规律，再合并总规律。 考点1：算式的规律 【典型例题】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 （______＋______）×（______－______）＝（______） （2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“”来计算，明明说也可以用“”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）观察发现，等号左边是两个数的平方之差，右边是这两个数的和与这两个数的差的乘积，所以也可以写成15与5的和乘15与5的差。 （2）大正方形的面积是，小正方形的面积是，表示阴影部分的面积，如图，将阴影部分进行分割，拼接成长是，宽是的长方形，由于面积不变，所以。 【详解】（1） （2）如图所示： 所以 【练习1】探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    （1）根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 （2）观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（     ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝（ ）。 【答案】（1）7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40 （2）两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 （3）C （4）4088483 【分析】根据算式的规律，可以发现： 6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1； 6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22； 6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32； 据此结合题意解答即可。 【详解】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式： 7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40（答案不唯一） （2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1 故答案为：C （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则： 2021×2023 ＝2022×2022－1 ＝4088484－1 ＝4088483 【练习2】“二进制”的计算方法与我们学过的加法计算有所不同。请仔细观察前两道竖式，找出规则。 ①     ②    ③ （1）你发现的计算规则是： （ ）；（ ）；（ ）。 （2）利用这个规则，第三道竖式的结果是（ ）。 【答案】（1） 0 1 10 （2）120101 【分析】（1）仔细观察前两道算式可知，0＋0＝0，1＋0＝1，1＋1＝10，据此填空； （2）根据发现的规律进行计算即可。 （1） 0；1；10。 （2） 考点2：数字排列的规律 【典型例题】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”请你根据图中数与形之间的对应关系，先想一想，再填一填。 1        1＋2＋1＝4         1＋2＋3＋2＋1＝9       1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16 （1）1＋2＋3＋…＋9＋10＋9＋…＋3＋2＋1＝（ ）； （2）（1＋2＋3＋…＋15）×2＋16＝（ ）。 【答案】（1）100；（2）256 【分析】观察所给的算式，发现算式的和等于算式中最中间那个最大加数的平方。据此解答。 【详解】（1）（1）1＋2＋3＋……＋9＋10＋9＋……＋3＋2＋1＝100； （2）（1＋2＋3＋…＋15）×2＋16 ＝1＋2＋3＋…＋15＋16＋15＋14＋…＋3＋2＋1 ＝16×16 ＝256 【练习1】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（     ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 【答案】C 【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49…，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。 【详解】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”，不符合题意； B．25＝9＋16，9和16都不是“三角形数”，不符合题意； C．36＝15＋21，15和21是相邻的“三角形数”，且36是“正方形数”，符合题意； D．49＝18＋31，18和31都不是“三角形数”，不符合题意。 因此等式中，符合这一规律的是：36＝15＋21。 故答案为：C 【练习2】阅读材料并回答问题。 观察一个数列：1，2，4，8，16…这一列数按规律排列，我们把这个数列中的每个数叫作这个数列的“项”，第一项叫作“首项”。在这个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比值都等于2。我们把这样的数列叫作等比数列，这个固定的比值2叫作这个等比数列的“公比”。 （1）已知等比数列5，10，20，40…这个等比数列的第六项是（ ）。 （2）已知一个等比数列的各项都是正数。第二项是6，第四项是54，这个等比数列的公比是（ ），首项是（ ）。 【答案】 160 3 2 【分析】（1）10÷5＝2，所以这个等比数列的公比是2；第六项是第一项的2×2×2×2×2倍。 （2）第二项等于第一项乘公比，第四项等于第一项×××，所以第四项是第二项的×倍，即×＝54÷6＝9，从而求出公比；再根据第二项6和公比求出首项。 【详解】（1）5×（2×2×2×2×2） ＝5×32 ＝160 （2）＝ ＝ ÷＝＝ ÷＝54÷6＝9 即＝9 所以公比＝3 首项＝6÷3＝2 考点3：图形的变化规律 【典型例题】我国苗家的“长桌宴”风俗历史悠久，起源是苗家接亲嫁女、外寨来访贵客的联谊。如果按照这样的方式摆放，接待58人需要准备多少张桌子？    【答案】14张 【分析】根据图示，一张桌子可以坐4×1＋2＝6（人），两张桌子可以坐4×2＋2＝10（人）……，n张桌子可以坐（4n＋2）人，据此可知桌子的张数等于人数减2的差除以4；据此解答。 【详解】（58－2）÷4 ＝56÷4 ＝14（张） 答：接待58人需要准备14张桌子。 【练习1】如图摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒。照这样，摆12个三角形用（     ）根小棒。 A．25 B．24 C．36 【答案】A 【分析】根据题意，摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找出规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 摆1个三角形用3根小棒，3＝2×1＋1； 摆2个三角形用5根小棒，5＝2×2＋1； 摆3个三角形用7根小棒，7＝2×3＋1； …… 规律：摆n个三角形用（2n＋1）根小棒。 当n＝12时 2n＋1 ＝2×12＋1 ＝24＋1 ＝25（根） 摆12个三角形用25根小棒。 故答案为：A 【练习2】用火柴棒搭房子（如下图），搭3间用了13根，照这样搭502间房子要用（　     　）根火柴棒。 A．2007 B．2008 C．2009 【答案】C 【分析】根据图示，搭1间房子需要火柴棒5根；搭2间房子需要火柴棒5＋4＝9（根）；搭3间房子需要火柴棒5＋4＋4＝13（根）；……；搭n间房子需要火柴棒5＋4 （n－1）＝（4n＋1）根。据此求搭502间房子需要的火柴棒根数即可。 【详解】搭1间房子需要火柴棒5根； 搭2间房子需要火柴棒5＋4＝9 （根）； 搭3间房子需要火柴棒5＋4＋4＝13（根）； …… 搭n间房子需要火柴捧5＋4（n－1）＝（4n＋1）根。 搭502间房子需要火柴棒： 4×502＋1 ＝2008＋1 ＝2009（根） 即这样搭502间房子要用2009根火柴棒。 故答案为：C 夯实基础 1．按如图的规律摆图形，如果小三角形的边长为1，每个图形包含小三角形的个数与这个图形的周长之间的关系是（     ）。 A．小三角形的个数每个图形的周长 B．小三角形的个数每个图形的周长 C．小三角形的个数（每个图形的周长 【答案】C 【分析】根据图示，1个三角形周长为3；4个三角形周长为：2×3＝6；9个三角形周长为：3×3＝9；16个三角形周长为4×4＝16；据此解答。 【详解】由分析可得：个三角形周长为，所以小三角形的个数（每个图形的周长。 故答案为：C 2．根据下面的规律，可知第6个图形中有（     ）颗★。 A．9 B．11 C．13 【答案】B 【分析】观察图形，第一个图形有（1＋2×0）颗星星；第二个图形有（1＋2×1）颗星星，第三个图形有（1＋2×2）颗星星；第四个图形有（1＋2×3）颗星星。得出规律为1＋2×（n－1），n代表第几个图形。 【详解】因为规律为1＋2×（n－1），所以第6个图形的星星数为1＋2×（6－1） ＝1＋2×5 ＝1＋10 ＝11（颗） 故答案为：B 3．观察下面的点阵图规律，第10个点阵图中有（     ）个点。 A．33 B．23 C．36 【答案】A 【分析】观察图形，第1个点阵图中有（1＋2＋3）个点，第2个点阵图中有（2＋3＋4）个点，第3个点阵图中有（3＋4＋5）个点，依次类推，即可求出第10个点阵图中有（10＋11＋12）个点。据此解答。 【详解】10＋11＋12＝33（个） 即第10个点阵图中有33个点。 故答案为：A 4．如图，……如果一个小三角形的边长是lcm，第五个图形的周长是（     ）。 A．5cm B．9cm C．7cm 【答案】C 【分析】由题可知，第一个图形的周长为3cm，第二个图形的周长为4cm，第三个图形的周长为5cm，由此递推，每增加一个三角形，图形的周长增加1cm。所以第五个图形的周长为7cm。 【详解】第一个图形，1个三角形，周长是（1＋2）cm； 第二个图形，2个三角形，周长是（2＋2）cm； 第三个图形，3个三角形，周长是（3＋2）cm； …… 第n个图形，n个三角形，周长是（n＋2）cm； 5＋2＝7（cm） 所以，第五个图形的周长是7cm。 故答案为：C 5．如图，用同样的小棒去摆，第n个图形需要小棒的根数表示错误的式子是（     ）。 A．4n－1 B．4＋ 3（n－1） C．3n＋1 【答案】A 【分析】由图可知，每增加一个小正方形增加3根小棒，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要4＋3根小棒，第3个图形需要4＋3×2根小棒，第4个图形需要4＋3×3根小棒，第5个图形需要4＋3×4根小棒……，以此类推。 【详解】第n个图形需要小棒的根数表示为：4＋3×（n－1） ＝4＋3n－3 ＝3n＋1 故答案为：A 6．如下图，如果一个小正三角形的边长为1cm，第5个图形周长是（ ）cm，按此规律拼下去，第52个图形的周长是（ ）cm。 【答案】 7 54 【分析】封闭图形一周的长度是周长。看图可知，第1个图形的周长是3cm，3＝1＋2；第2个图形的周长是4cm，4＝2＋2，第3个图形的周长是5cm，5＝3＋2……，由此可知，第几个图形的周长＝第几个图形就用几＋2，据此分析。 【详解】5＋2＝7（cm） 52＋2＝54（cm） 第5个图形周长是7cm，第52个图形的周长是54cm。 7．……照这样把边长1厘米的正方形拼成长方形，用5个这样的正方形拼成的长方形周长是（ ）厘米；用n个这样的正方形拼成的长方形的周长是（ ）厘米。 【答案】 12 2（n＋1） 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2。从题意可知：2个正方形拼成 的长是2厘米，宽是1厘米，周长：（2＋1）×2＝3×2＝6厘米；3个正方形拼成的长是3厘米，宽是1厘米，周长：（3＋1）×2＝4×2＝8厘米；按此规律，用5个这样的正方形拼成的长方形，长是5厘米，宽是1厘米，周长：（5＋1）×2＝5×2＝10厘米……；由此可知，n个这样的正方形拼成的长方形，长是n厘米，宽是1厘米，周长：（n＋1）×2＝2（n＋1）厘米；据此解答。 【详解】（5＋1）×2 ＝5×2 ＝10（厘米） （n＋1）×2 ＝2（n＋1）厘米 ……照这样把边长1厘米的正方形拼成长方形，用5个这样的正方形拼成的长方形周长是10厘米；用n个这样的正方形拼成的长方形的周长是2（n＋1）厘米。 8．如果照这样排列下去，第6个图形中涂色的小三角形有（ ）个；第10个图形中涂色的小三角形有（ ）个。 【答案】 21 55 【分析】观察图形可知，第一个图形涂色的小三角形有1个，可以写成：（1＋1）×1÷2； 第二个图形涂色的小三角形有3个，可以写成：（2＋1）×2÷2； 第三个图形涂色的小三角形有6个，可以写成：（3＋1）×3÷2； …… 第n个图形涂色的小三角形有：（n＋1）×n÷2，据此求出n＝6，n＝10时，涂色三角形的个数。 【详解】根据分析可知，当n＝6时： （6＋1）×6÷2 ＝7×6÷2 ＝42÷2 ＝21（个） 当n＝10时： （10＋1）×10÷2 ＝11×10÷2 ＝110÷2 ＝55（个） 如果照这样排列下去，第6个图形中涂色的小三角形有21个；第10个图形中涂色的小三角形有55个。 9．把边长1厘米的正方形纸片拼接如下规律的长方形。 （1）用4个正方形拼成长方形周长是（ ）厘米。 （2）用n个正方形拼成长方形周长是（ ）厘米。 【答案】（1）10；（2）2n＋2 【分析】（1）根据周长的特征，可知1个正方形的周长是4厘米，用2个正方形拼成长方形周长是（4＋2）厘米，用3个正方形拼成长方形周长是（4＋2＋2）厘米，……每个图形的周长比前一个图形的周长多2厘米； （2）用n个正方形拼成长方形周长是[4＋2×（n－1）]厘米，然后将式子化简即可。 【详解】（1）4＋2＋2＋2＝10（厘米） 用4个正方形拼成长方形周长是10厘米。 （2）4＋2×（n－1） ＝4＋2n－2 ＝（2n＋2）厘米 用n个正方形拼成长方形周长是（2n＋2）厘米。 10．瑞士的一位中学老师从光谱数据：，，，…中发现了一个规律，从而打开了光谱奥妙的大门，请你根据这个规律写出第5个数是（ ）。 【答案】 【分析】根据题意可知，前4个数分子的规律依次是32、42、52、62…，所以第5个数的分子是72，即为49；前4个数分母的规律是：分子减去4，所以第5个数的分母是（49－4），即为45，所以第5个数是，据此解答。 【详解】由分析可知，第5个数的分子是49，分母是45，所以第5个数是。 11．如下图，1张桌子可以坐8人，2张桌子拼起来可以坐12人。8张这样的桌子拼起来能够坐下 （ ）人；要想坐下48人，需要（ ）张桌子拼起来。 【答案】 36 11 【分析】通过观察图形可知，1张桌子可以坐8人，2张桌子可以坐（8＋4）人，3张桌子可以坐（8＋4＋4）人，……多一张桌子多坐4人，以此类推，n张桌子可以坐[8＋4（n－1）]人。据此解答。 【详解】n张桌子可以坐： 8＋4（n－1） ＝8＋4n－4 ＝（4＋4n）人 当n＝8时， 4×8＋4 ＝32＋4 ＝36（人） 4＋4n＝48 解：4＋4n－4＝48－4 4n＝44 4n÷4＝44÷4 n＝11 8张这样的桌子拼起来能够坐下 36人；要想坐下48人，需要11张桌子拼起来。 12．用小棒按下图的方式搭图形。按这样搭下去，第8个图形需要（ ）根小棒，搭第n个图形需要（ ）根小棒。 【答案】 41 5n＋1 【分析】由图可知，第一个图形有6根小棒，第二个图形有11根小棒，第三个图形有16根小棒，由此可知，相邻两个图形之间小棒的个数的差为5，则搭第n个图形需要小棒的根数为：6＋5（n－1）＝（5n＋1）根。 【详解】第8个图形需要小棒的根数为： 5n＋1 ＝5×8＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 则第8个图形需要41根小棒，搭第n个图形需要（5n＋1）根小棒。 13．如图，按规律摆下去，第20个“T”字需要（ ）枚棋子。 …… 【答案】62 【分析】观察图形可知，摆成第1个“T”字需要5个棋子；摆成第2个“T”字需要8个棋子，8－5＝3；摆成第3个“T”字需要11个棋子，11－8＝3，发现每一个图形中的棋子比上一个图形中的棋子的个数多3，则第n个“T”字需要5＋3（n－1）＝（3n＋2）个棋子。 【详解】第20个“T”字需要棋子的个数为： 3n＋2＝3×20＋2 ＝60＋2 ＝62 则第20个“T”字需要62枚棋子。 14．如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么20这个数在第（ ）个三角形的顶点处，用含有n的代数式表示第n个三角形在右下角顶点处的数为（ ）。 【答案】 7 3n 【分析】观察发现：第1个三角形右下角的数是3，3＝3×1； 第2个三角形右下角的数是6，6＝3×2； 第3个三角形右下角的数是9，9＝3×3； …… 规律：第n个三角形右下角顶点处的数是3n； 三角形左下角顶点处的数比右下角的数少1，三角形上方顶点处的数比右下角的数少2；由此得出：三角形左下角顶点处的数是（3n－1），上方顶点处的数是（3n－2）。 据此规律解答。 【详解】规律：第n个三角形三个顶点处的数分别为（3n－2）、（3n－1）、3n。 当n＝7时 3n－2＝3×7－2＝19 3n－1＝3×7－1＝20 3n＝3×7＝21 所以，20这个数在第7个三角形的顶点处。 用含有n的代数式表示第n个三角形在右下角顶点处的数为3n。 15． 1＋3＝（2）2        1＋3＋5＝（3）2            1＋3＋5＋7＝（4）2 结合上面的图和算式，我发现： 。 【答案】算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“”形图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方 【分析】观察图形可以发现算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“”形图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方，据此解答即可。 【详解】1＋3＝（2）2 1＋3＋5＝（3）2 1＋3＋5＋7＝（4）2 我发现：算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“”形图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方。（答案不唯一） 16．仔细观察下表。 序号 1 2 3 … 图示 … 线段 、、 、、、 、、 … 线段根数（条） 1 3 6 … 照这样画下去，第10个图有（ ）条线段。第（ ）个图有666条线段。 【答案】 55 36 【分析】根据图示可知：图形1线段的条数是：1条；图形2线段的条数是∶1＋2＝3（条）；图形3线段的条数是∶1＋2＋3＝6（条）；……；图形n线段的条数是：（1＋2＋3＋……＋n）据此解答即可。 【详解】图形1线段的条数是：1条 图形2线段的条数是：1＋2＝3（条） 图形3线段的条数是：1＋2＋3＝6（条） 图形n线段的条数是：1＋2＋3＋……＋n 第10个图有线段： 10×（10＋1）÷2 ＝10×11÷2 ＝110÷2 ＝55（条） 因为36×37＝1332 所以第36个图形线段的条数是： 36×（36＋1）÷2 ＝36×37÷2 ＝1332÷2 ＝666（条） 第10个图有55条线段，第36个图有666条线段。 培优拔高 17．下面每个图形中灰色小正方形有多少个？ （1）观察规律，照样子在下面的括号内填上算式，并把第4幅图画在方框内。 （2）照这样的画下去，想一想，第20幅图形中有（     ）个灰色小正方形。 【答案】（1）；；见详解；（2）41 【分析】（1）观察图形可知，灰色小正方形个数等于小正方形的总个数减去白色小正方形个数，据此可分别求出第3幅图和第4幅图的灰色正方形个数。 （2）观察图形可总结出灰色正方形个数为（n＋1）2－n2＝2n＋1，n表示第n幅图，把n＝20代入计算即可。 【详解】（1） （2）2×20＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 第20幅图形中有41个灰色小正方形。 18．计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（     ）。 下面是三位同学的解法： □小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 □小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 □小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （1）你觉得哪些同学的解法正确，在□里画√。 （2）用你喜欢的方法计算下题，请用递等式写出过程。 3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 【答案】（1）小刚；小红；小丽；（2）120 【分析】（1）三个同学的说法都有理有据，我认为大家的解法都正确； （2）假设有两组这样的数相加，那么一共有10组24，据此先求出两组3＋5＋7＋9＋…＋19＋21的和，再将其除以2，求出一组的和。 【详解】（1） 小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （2）3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 ＝（3＋21）×10÷2 ＝120 19．小明用牙签搭六边形，如下图。 （1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？ （2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？ （3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？ 【答案】（1）6根；11根；16根；21根；（2）26根；41根；（3）（5n＋1）根 【分析】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（6＋5）根牙签，第3个图形一共用了（6＋5×2）根牙签，第4个图形一共用了（6＋5×3）根牙签……则第n个图形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙签，据此解答。 【详解】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。 （2）第5幅图：6＋5×（5－1） ＝6＋5×4 ＝6＋20 ＝26（根） 第8幅图：6＋5×（8－1） ＝6＋40－5 ＝46－5 ＝41（根） 答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。 （3）6＋5×（n－1） ＝6＋5n－5 ＝（5n＋1）根 答：第n幅图一共要用（5n＋1）根。 20． （1）像这样摆下去，第n个图形需要__________根小棒。 （2）当n＝35时，计算第（1）题式子中需要的小棒数。 【答案】（1）2n ＋1；（2）71根 【分析】（1）观察图形可知：摆1个三角形需要3根小棒，可以写作：2×1＋1；摆2个需要5根小棒，可以写作：2×2＋1；摆3个需要7根小棒，可以写成：3×2＋1；……摆n个三角形需要：（2n ＋1）根小棒。 （2） 根据第一小题的分析可知，摆n个三角形需要：（2n ＋1）根小棒，当n＝35时，把数据代入计算，即可求当n＝35时，需要小棒的数量。 【详解】（1）根据分析可知，像这样摆下去，第n个图形需要（2n＋1）根小棒。 （2）35×2＋1 ＝70＋1 ＝ 71（根） 答：摆35个三角形需要71根小棒。 21．两个非0数a、b，小明为了验证是不是等于，想出了两种办法验证： （1）例举具体数据进行验证； （2）用数形结合方法验证：画一个大正方形，边长是a＋b的和，如图，那么大正方形面积边长×边长可以表示为（a＋b）×（a＋b），也就是。也可以用①②③④四块面积相加求和，看结果是不是等于。 请你分别用上面（1）（2）两种方法来验证：是不是等于。 【答案】不相等；过程见详解 【分析】（1）假设a是1，b是4，求值时，要先先字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 （2）根据正方形面积＝边长×边长，长方形面积＝长×宽，表示出大正方形面积，以及2个小正方形面积＋2个长方形的面积和，比较即可。 【详解】（1）假设a是1，b是4 （1＋4）² ＝5² ＝25 1²＋4² ＝1＋16 ＝17 25≠17，所以与不相等。 （2）（a＋b）×（a＋b）＝ a²＋b²＋a×b×2＝ a²＋b²＋2ab 所以与不相等。 思维拓展 22．在数学学习中，我们常常这样去探究：“观察——猜测——论证——应用。”学习加法结合律、三角形的内角和等知识时就是按这样的过程去探究的。 三角形的内角 画几个不同类型的三角形，量一量，算一算。三角形的3个内角的和各是多少度。 先把一个三角形的三个角剪下来，再拼一拼，看一看，拼成一个什么角。 比较下面的两组算式，你发现了什么？ （69＋176）＋28○69＋（176＋28） 155＋（145＋207）○（155＋145）＋207 你能用符号表示加法结合律吗？ （△＋☆）＋○＝____＋（____＋____） （a＋b）＋c＝____＋（____＋____） 请你利用这种数学方法，来找找两个数的平方差中所蕴含的规律吧！ 我有发现：观察下面的算式，找到规律后在括号里填上合适的数。 72－32＝（7＋3）×（7－3）＝10×4＝40 102－62＝（10＋6）×（10－6）＝16×4＝64 752－252＝（     ）×（     ） 我来猜测：两个数a和b的平方差有下面这样的规律。 a 2－b2＝（     ）×（     ） 我来验证：如下图，两个正方形的边长分别是a和b。请你用下面的图来证明上面的规律是正确的。 （1）选一选：a2表示（     ），b2表示（     ）。 A．大正方形的面积        B．小正方形的面积       C．大正方形的周长       D．小正方形的周长 （2）请你用斜线涂出a2－b2所表示的部分。 （3）请你用所学面积计算的知识来证明上面规律是正确的。 【答案】＝；＝；△；☆；○；a；b；c； 75＋25；75－25； a＋b；a－b； （1）A；B； （2）（3）见详解 【分析】加法结合律：三个数相加时，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，则（△＋☆）＋○也可以加小括号先计算（☆＋○），（a＋b）＋c也可以加小括号先计算（b＋c）； 两个数的平方差：由题意可知，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积； （1）大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，正方形的面积＝边长×边长，则a2表示大正方形的面积，b2表示小正方形的面积； （2）把大正方形里面除了小正方形以外的部分涂为斜线部分即可； （3）如图所示，上面的小长方形放在大长方形的右侧，把不规则图形转化为基本图形，利用“长方形的面积＝长×宽”表示出阴影部分的面积，据此解答。 【详解】加法结合律：（△＋☆）＋○＝△＋（☆＋○），（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 两个数的平方差：752－252＝（75＋25）×（75－25）＝100×50＝5000 a 2－b2＝（a＋b）×（a－b） （1）分析可知，a2表示大正方形的面积，b2表示小正方形的面积。 （2）分析可知： （3） 由图可知，（2）中斜线部分的面积等于大长方形的面积，大长方形的长为（a＋b），大长方形的宽为（a－b）。 所以，斜线部分的面积＝（a＋b）×（a－b）＝a 2－b2。 23．数学里有很多奥秘，需要我们探索、发现与应用。下面的问题，让我们都来研究吧。 问题1：两个相邻自然数相乘，积的末位数学有什么特征？ （1）探究：请你在下框中举一些例子进行观察、比较。要从简单开始，有序思考寻找规律。 （2）发现：两个相邻自然数相乘，积的末位数字的特征是（     ）。 （3）应用：①下面四个选项中，只有选项（     ）是两个相邻自然数的乘积。 A．62            B．123            C．756            D．1416 ②它是两个相邻自然数（     ）和（     ）的乘积。 问题2：两个相邻自然数相加或相乘，它们的和与积有什么联系？ （4）再探究：请你在下表中进行观察、比较，寻找联系。 相邻自然数 1与2 2与3 3与4 … 9与10 n与 和 3 5 7 1 19 积 2 6 12 1 90 ①再观察：下图大正方形是由四个相同的小长方形拼接而成，你能找到n与的“和”、“积”吗？（在图上标出来） ②我发现，n与的“和”、“积”的关系是： 。（可用含有字母的式子表示出来） 【反思】当你解决此题时，是不是觉得很神奇呢？原来复杂的问题也可以通过画图、转换等探索，而变得简单有趣。只要真正热爱数学，你就能感受到学习的无穷魅力。 【答案】（1）见详解； （2）积的末位的数字是0或2或6； （3）①C； ②27；28； （4）①见详解； ② 【分析】（1）找一些相邻的两个自然数，然后相乘，计算出乘法算式的结果即可； （2）根据（1）里面计算出的结果，观察积的末位数字，即可发现，相邻的两个自然数相乘的结果，积的末位的数字是0或2或6。 （3）①根据积的末位数字是0、2、6的特征，分别检验4个选项里的数字，找出符合要求的答案即可。 ②通过计算，把这个数拆解成相邻两个自然数的乘积，即可写出这两个相邻的自然数是多少。 （4）①大正方形的边长＝n＋（n＋1）＝2n＋1，所以n与n＋1的和是大正方形的边长。 小长方形的面积＝长×宽，长是n＋1，宽是n，可得（n＋1）×n＝n2＋n，所以n与n＋1的积是小长方形的面积。在图上标注即可。 ②通过计算可以发现，，所以n与n＋1的和的平方等于n与n＋1的积的4倍加1。据此解答。 【详解】（1）例如：1×2＝2 2×3＝6 3×4＝12 5×6＝30 （2）通过举例，我发现两个相邻自然数相乘，积的末位数字是0或2或6。 （3）①A．7×8＝56，8×9＝72，56＜62＜72，显然62不是两个相邻自然数的乘积； B．10×11＝110，11×12＝132，110＜123＜132，显然123不是两个相邻自然数的乘积； C．27×28＝756，显然756是两个相邻自然数的乘积； D．37×38＝1406，38×39＝1482，1406＜1416＜1482，显然1416不是两个相邻自然数的乘积； 故答案为：C ②27×28＝756，所以它是两个相邻自然数27和28的乘积。 （4）①根据分析得，n与n＋1的和是大正方形的边长； n与n＋1的积是小长方形的面积。 ②我发现，n与的“和”、“积”的关系是：。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $