2.4 解直角三角形 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

第二章直角三角形的边角关系 4解直角三角形 第2课时已知一边和一锐角解直角三角形 1.已知在Rt△ABC中，∠C=90,tanA=,BC=8,则AC等于（) A.6 B.16 C.12 D.4 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC-8,D为AC边上一点，且 tan/ABD=,则BD的长度为() A B.2W5 C.5 D B C 第2题图 第3题图 3.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D-90°，AB=3,BC=2tanA=寺，则CD的 值为() A.2 B.青 c.青 D.唱 4.在Rt△ABC中，∠C-90,AC=6,siA=寺，则AB的值为（) A.8 B.9 C.10 D.12 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，SA=青，BC=8,则AB C 6.在△ABC中，∠C=90,sA=青，AB=25,则△ABC周长为 7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，sn∠CAD=,AB=8,AC=4 则BC的长 为 8.如图所示，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且.AB=2 点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是 N 660° AB M 9.在Rt△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边， ∠C=90°，∠A=60°，c=6,解 直角三角形. 10.已知，在△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边， ∠C=90°，a=36,∠A=45°，求∠B,b,c. 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10,taA=是.求AC,AB的长. B 12.在Rt△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，已知∠C-90°，c=4,∠ B=60°，求a的值及△ABC的面积. 13.在Rt△ABC中，∠C-90°. (1)如果AB=15,∠A=60°，求BC的长； (2)如果AB=15,tanA=,求BC的长. 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,AC=4,∠A=30°，求BD 的长 D B 15.如图，在△ABC中，AD1BC,垂足为点D,若 BC=14,AD=12 tanzBAD=,求cosC的值. B 16.在Rt△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边， ∠C=90°，∠A-∠B=30°，a-b=2W3-2解这个直角三角形. 参考答案 1.B2.D 3.D解析：延长AD,BC,相交于点O. D 0 在Rt△AB0中，∠B=90,tanA=考=器，AB=3, ∴0B=AB·tanA=3X专=4. .BC=2,∴.0C-0B-BC=4-2=2. 在Rt△AB0中，∠B=90°，AB=3,0B=4,由勾股定理得A0=5. ,∠ADC=90°，∴.∠0DC-=90°=∠B, :∠0-∠0，∴△0DC∽△0BA,·6=8器， :S=,解得DC=号. 4.C 5.10 6.60 7.2+2V13 8V5<BC<2W3 解析：如图所示，过点B作BC1⊥AN,垂足为 C1,BC21AM,交AN于点 N C2. C2 C 人60°、 B M 在 Rt△ABC1中 AB=2∠A=60°， A=器=9，“BC,=5. 在Rt△ABC2中，AB=2∠A=60,taA=骆=V5,:BC2=25. 当△ABC是锐角三角形时，点C在线段C1C2上移动，此时 5<BC<23. 9.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，c=6, ·∠B=180°-∠A-∠C=30°：inA=是=复，sinB=名=， ·a=c-sA=6×9=3W5,b=c-sinB=6×生=3 综上所述，∠B=30,a=33,b=3 10.解：：∠C=90°，∠A=45°，∠B=90°-∠A=45°， a=b=36,c=章=V2a=V2×36=65. 综上所述，∠B=45,b=3V6,c=63. 11.解：在Rt△ABC中，∠C=90°， :BC=10,tanA=8聚=是，·是=0，∴AC-24, ·AB=VAC2+BC2=V24+10=26. 12.解：在Rt△ABC中，∠C=90°.c0sB=是=C0s60。=, :a=c.c0sB=4c0s60。=4X号=2 :snB=告=sn60。=9,“b=c~SinB=4sn60=4×号=25， S△A8c=2ab=×2×25=25. 13.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°， :A=,an60=号，AB=15,BC=ABsin60:=15×号=159 (2)在Rt△ABC中，tanA=是=， 设BC-3k,AC=4k,则AB=5k, AB=15,∴.k=3,.BC=3k=9. 14.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， .∴.∠B=180°-90°-30°=60°. 在Rt△ADC中，CD-AC·sinA=AC·sin30°=4×÷=2， 在△m中BD=品=品=清=9 6 15.解：在Rt△ABD中，tanzBAD=0=, ÷BD=AD.tan∠BAD=12×=9, ∴.CD-BC-BD=149=5,·AC=yAD+CD2=V12+52=13, 40sC=器=是 (∠A-∠B=309 ∠A=60, 16.解：由题意，得 {∠A+∠B=90。解得 1∠B=30 tanA==tan60.=V3,a=btanA=btan60.=3b. a-b=25-2 a=2W5, 由 a=5b, 解得 (b=2 :simB=是=sim30。=克，c=2b=4 综上所述，∠A=60°，∠B=30°，a=2V3,b=2,c=4.第二章直角三角形的边角关系 4解直角三角形 第3课时解斜三角形. 1.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格 点上，则tanA的值是() A号 B.吃 C.2 吧 B A 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AC=5cosB=号，s$血C=系，则△ABC的面积是(） A.14 B.12 c D.21 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接 BD,若cos∠BDC=,则BC的长是() B E A.10 B.8 C.45 D.2W6 4.如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1,S2,则S1:S2=() D 8 B400 140° 8 E5 图1 图2 A.5:8 B.8:5 C.1:1 D.2:7 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,BC=V5,点D是AC上一点，连接BD. 若tanA=,tan∠ABD=寺，则CD的长为(） A25 B.3 CN5 D.2 6.已知在△ABC中，AB=22,AC=V10,∠B=45°，那么△ABC的面积 是() A22+2 B25+1 C5+2 DW6+2 7.如图，在 △ABC中， ∠B=45。,∠A=75,AB=V6,则 BC= 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC中，AB=14,AC-13,BC15,则snA= 9.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，连接CD.若 BD=CD,0=青，则tanB D B 第9题图 第10题图 10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),点B(0,一3)，点C在x轴上， 且点C在点A右方，连接AB,BC,若tanABC=,则点C的坐标为 11.如图，在△ABC中，BC=V11+V3,∠C=30,AB=V5AC,则AC的长为 B 12.如图，在△ABC 中 已 知 ∠A=60°，∠B=45°，AC=12求AB的长. B 13.如图，在△ABC吨，cosB=号，snC=景，BC=14求△ABC的面积 14.在如图所示的8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A,B,C,D都在格 点上，AB与CD相交于点E,则∠AED的正切值是() B A.2 B.吉 c隆 鸣 15.如图1，一扇窗户打开一定角度，AB是长度不变的活动硬杆，其中一端固定 在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，如图2为某一位置从上往 下看的平面图，测得此时∠AB0是45°，AB长为20cm. (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75,2≈1.4，结果精 确到1cm) (1)求固定点A到窗框OB的距离； (2)若测得∠AOB=37°，，求0A的长度. 图1 图2 参考答案 1.B2.C3.C4.C 5.C6.D 7W3+1 8最 99 10.(是，0)解析：设C(a,0）,:0C=a 点 A(1,0),点 B(0,-3), ÷0A=1,AC=a-10B=3BC=V32+=V+9, 在Rt△OAB中，tanzOBA=器=3，tanzABC=青，·∠OBA=∠ABC, 过C点作CD∥y轴，交BA的延长线于点D, ·∠OBA=∠D,∠AOB=∠ACD,·△OBA△CDA,∠ABC=∠D, “器=器，CD=BC,器=器， “房=六，解得a0(舍去)或a=是 经检验，a=满足方程，C(是，0) 11.2 解析：如图，过点A作BC的垂线，垂足为点D,令ACx,则 AB=3x. B 因为∠C-30°，则c0s30=器，smn30=器，得cD=号xAC=x 在Rt△ABD中，BD=VAB-AD=V32-X2=-x 又因为BC=V+V5,所以写x+要x=V五+5，解得x2,即AC=2 12.解：如图，作CD⊥AB于点D, .∠A=60°，∠B=45°，∠CDA=∠CDB=90°， 六∠AGD-30°，∠DcB=45,CD=AC-s60.=12×号=65， AD=专AC=6,∠DCB=∠B,·CD=BD=6W3, ÷AB=AD+BD=6+6y3. 13.解：过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°， :cosB=号，∠B45°，∴∠BAD∠B-45,AD-Bm :sinC=手=架， 设AD=3x,则BD=3x,AC=5x, 由勾股定理，得CD=V√AC2-AD2=V(5x)2-(3x)2=4x .BC=BD+CD=14,∴.3x+4x=14,解得X=2,∴.AD=3×2=6, :S△A8C=壹BC,AD=克×14×6=42 14.B解析：如图，取格点K,连接AK,BK. 观察图形可知AK⊥BK,BK=2AK,BK∥CD, ÷∠AED=∠ABK,÷tan∠AED=tan∠ABK=ax=, 15.解：(1)如图，过点A作.AD1OB于点D,则AD的长就是点A到OB的 距离. M NB D 在Rt△ABD中，：s1∠ABD=0,AB=20,∠ABD=45°， :0=sn45,·AD=20sin45.=20×号=10W5≈14(cm: (2)AD LOB, 在 Rt△AOD 中 sin∠A0D=A0,AD=14,∠A0D=37, 誥=sin37,“A0=.=誥≈23cm >第二章直角三角形的边角关系 4解直角三角形 第1课时已知两边解直角三角形 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=V3,AB=2,则∠B等于() A.15° B.20° C.30 D.60° 第1题图 第2题图 2.如图所示，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的 顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠CAB的值为() A.35 5 8 5 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=乙2，则∠B= 4在Rt△ABC中，∠C90°，AB=4,BC23,则cs分d 5.已知在△ABC中，∠C=90°，AB=4,AC=(7. (1)求BC; (2)求sin∠A. 6.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边， a=26,b=62,解这个直角三角形. 1 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=52,BC=5,解这个直角三角形. 8.根据下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=36,b=92. 9.在Rt△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边， 93, ∠C=90°，b=3,S△ABC= 解这个直角三角形. 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D,AC=4,BC=3. (1)求BD的长； (2)求∠ACD的正切值. 2 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点0是AB的中点，CO=6.5,BC=5. (1)求AC的长； B (2)求cos∠OCA与tanB的值. 12.已知在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4,cGs∠ABC=专F为AD 边上的中线。 (1)求AC的长； (2)求tan∠FBD的值. B D C 参考答案 1.C2.D 3.60° 4. 3 2 3 5.解：(1乙.∠C=90°，AB=4,AC=7, ∴.BC=AB2-AC2=42-72=3,即BC=3; (2)由(1)，得.BC=3, :∠C=90,AB=4,∴sinA=BC=3, AB=4,即sinA=3 4 &0,mA=号名9-6A=0 .∠B=90°-∠A=60°，.c=2a=46. 综上所述，∠A=30°，∠B=60°，c=46, 7.解：在Rt△ABC中，∠C=90▣°，AB=5V2,BC-5, AC=YAB-BC2=5,'tanA=BC=5=1, AC 5 .∠A=45°，.∠B=90°-45°=45°. 综上所述，AC=5,∠A=∠B=45°. 8.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=36,b-92,tanA=9=36=3 b92-3 .∠A=30°，.∠B=90°-∠A=60°，c=2a=66. 综上所述，∠A=30°，∠B=60°，c=6√6. 9.解：如图， C b .在Rt△ABC 中，2C=90,b=3,5a=号83， ÷的=号3,0=393， 2 am4=8-39-3,4=0 .∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-90°=30°， c=b=3=6. sinB 1 2 4 综上所述，a=33,c=6,4A=60°，∠B=元30°， 10.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=i4,BC=3, .'.AB=AC2+BC2=5, 0m1A:5-号AB-CD=号4CBC∴cD=ACRC=43=号 AB -5-5 .'tan B=CD=AC 12 BD BC5=4BD=9 BD 3' 2AB=5,BD=AD=AB-BD= 16 CD LAB,:'tan 2 ACD=AD=5=4 CD-12-3 11.解：(1).∠ACB=90°，点0是AB的中点，CO=6.5,.AB=2C0=13, .'BC=5,.AC=VA B2-BC2=12; 2:∠ACB=90°，点0是AB的中点，∴OC=号AB,∴OA=OC, 2 AG是，amB=Ac2 ∠0AC=∠0CA,·c0s∠0CA=cOsA=AC=12 BC 5 12.解：1：AC1BD,cos∠ABC=BC=4·AB= BC=8=10， AB 5' cos 4 ABC4 5 .AC=VAB-BC2=V102-82=6; (2)如图过点F作FG⊥BD. B C G D .BF为AD边上的中 线，.点F是AD中点. ,FG⊥BD,AC⊥BD,.FG∥AC,∴.FG是△ACD的中位线， ∴FG=2AC=3,CG=CD=2, 5 9 =号-器-a17m4987双：