精品解析：山东省济南第三中学2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题

2024—2025学年第一学期期中质量检测 高二年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 2.本试卷满分150分，考试用时120分钟. 3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡的相应位置. 4.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 5.考试全部结束后，将答题卡交回. 第I卷 （共58分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 直线和直线的位置关系是 A. 重合 B. 垂直 C. 平行 D. 相交但不垂直 2. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆与关系为（ ） A. 有相等的长轴长 B. 有相等的离心率 C. 有相同的焦点 D. 有相等的焦距 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直平行六面体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 7. 已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（ ） A. 直线与直线CP可能相交 B. 直线与直线CP始终异面 C. 直线与直线CP可能垂直 D. 直线与直线BP不可能垂直 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 10. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ） A. 若G为线段AE的中点，则平面CEF B. C. 的最小值为48 D. 点B到平面CEF的距离为 11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 题中的“欧拉线”为方程： B. 圆M上的点到直线的最小距离为 C. 若圆M与圆有公共点，则 D. 若点在圆M上，则的最大值是 第II卷 （共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则________． 13. 经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________． 14. 已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为______． 四、解答题 15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 16. 如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求二面角余弦值. 17. 若圆的方程为，中，已知, ,点为圆上的动点． （1）求中点的轨迹方程； （2）求面积的最小值． 18. 如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）． （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中质量检测 高二年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 2.本试卷满分150分，考试用时120分钟. 3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡的相应位置. 4.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 5.考试全部结束后，将答题卡交回. 第I卷 （共58分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 直线和直线的位置关系是 A. 重合 B. 垂直 C. 平行 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】 由两直线的斜率关系可得结论． 【详解】因为已知两直线的斜率分别为，，，所以． 故选：B． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，掌握两直线位置关系的判断方法是解题关键．在斜率都存在的情况下，两直线垂直，且纵截距不相等两直线平行． 2. 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 3. 椭圆与关系为（ ） A. 有相等的长轴长 B. 有相等的离心率 C. 有相同的焦点 D. 有相等的焦距 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两个椭圆的长轴、短轴和焦距，进行比较可得答案 【详解】由题意，对于椭圆，焦点在x轴上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝， 对于椭圆，因为25－k＞9－k＞0，所以焦点在y轴上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，则离心率e＝＝≠， 故选项D正确，其他选项错误. 故选：D. 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，再根据圆心关于直线对称的点求解关于直线对称的圆的方程即可. 【详解】由题意，圆圆心，半径为2，故其关于直线对称的圆的圆心为，半径为2，故对称圆的方程为，即. 故选：A 5. 已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 6. 已知直平行六面体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】以为一组基底，利用向量法求解. 【详解】解：如图所示： 以为一组基底， 则，， 则， ， ， ， ， ， 以, 故选：A 7. 已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，先得到点为直线上一点，再将的最小值转化为的最小值，找到点关于直线的对称点为，利用对称性知的最小值为，代入坐标运算即可. 【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为， 因为，则点为直线上一点，其与坐标轴交于点， 如图，连接， ， 要求的最小值，即求的最小值， 明显四边形为正方形，则点关于直线的对称点为， 连接 则， 又， 则的最小值为. 故选：D. 【点睛】本题考查直线上一点到直线同侧两点距离和最小的问题，可根据几何特点快速求出点关于线的对称点，考查学生的转化能力和计算能力，是一道中档题. 8. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（ ） A. 直线与直线CP可能相交 B. 直线与直线CP始终异面 C. 直线与直线CP可能垂直 D. 直线与直线BP不可能垂直 【答案】B 【解析】 【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D. 【详解】在正三棱柱中， 因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，，， 所以四点不共面， 所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确； 对于C，设， 则， ， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以， 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误. 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解； 【详解】圆C：的标准方程为 所以圆心坐标为，故A错误； 因为，所以点Q在圆C外，故B正确； 若点在圆C上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误； ，，因为M是圆C上任一点， 所以的取值范围为，即，故D正确； 故选：BD 10. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ） A. 若G为线段AE的中点，则平面CEF B. C. 的最小值为48 D. 点B到平面CEF的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可得平面ABCD，由线面垂直的性质可得，，又，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线、线面的位置关系和求解点到平面的距离，结合空间向量线性运算的坐标表示求出，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】因为BDEF是矩形，所以， 又矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD， 且平面BDEF，所以平面ABCD， 而AD，平面ABCD，所以，， 而ABCD是正方形，所以，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于A，，， 当G为线段AE的中点时，，得， 设平面CEF的一个法向量为， 有， 因为，平面CEF，则平面CEF，故A正确； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，设，则， 得有最小值44，故C错误； 对于D，，， 所以点B到平面CEF的距离为，故D正确. 故选：ABD.. . 11. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 题中的“欧拉线”为方程： B. 圆M上的点到直线的最小距离为 C. 若圆M与圆有公共点，则 D. 若点在圆M上，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，分析得到其欧拉线过线段的中点，且与直线垂直，从而求出的欧拉线方程；B选项，根据的欧拉线与相切，列出方程，求出，得到圆M上的点到直线的最小值为圆心到直线的距离减去半径，求出答案；C选项，根据两圆有公共点，列出不等式组，求出；D选项，的几何意义为点与两点的斜率，数形结合得到当过的直线与相切，且斜率为正时，取得最大值，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】线段的中点坐标为，即， 直线的斜率为， 因为，所以为等腰三角形， 三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点，且与直线垂直， 故的欧拉线斜率为1，则方程为，即，A正确； 的欧拉线与相切， 故， 圆心到直线的距离为， 则圆M上的点到直线的最小距离为，B正确； 若圆与圆有公共点，则，解得：，C错误； 为点与两点的斜率， 当过的直线与相切，且直线的斜率为正时，取得最大值， 设直线，由，解得：， 故的最大值是，D正确. 故选：ABD 第II卷 （共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，可得点关于平面xOz的对称点为， 则，所以. 故答案为：. 13. 经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________． 【答案】4x＋3y－6＝0 【解析】 【分析】 直接求出两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程． 【详解】由方程组可得P（0，2）． ∵l⊥l3，∴kl=﹣， ∴直线l的方程为y﹣2=﹣x， 即4x＋3y－6＝0． 故答案为：4x＋3y－6＝0 14. 已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为______． 【答案】##-0.25 【解析】 【分析】由题意可得，设，由题意可得的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得. 【详解】解：由题意可得，设，, 则由在椭圆上可得， 直线与的斜率之积为， 椭圆离心率为，可得，即， 故． 即． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】 因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， 【小问2详解】 因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即. 16. 如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求二面角余弦值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）证明：依据正方形的性质可知，且，，从而为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理知面，再由线面平行的性质定理知.（Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，可以建以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面的法向量.由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.同理的法向量.所以结合图形知二面角的余弦值为. 试题解析：（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，而面面，所以. （Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标.而点为的中点，所以点的坐标为. 设面的法向量.而该面上向量，由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为. 考点：1.线面平行的判定定理与性质定理；2.二面角的求解. 17. 若圆的方程为，中，已知, ,点为圆上的动点． （1）求中点的轨迹方程； （2）求面积的最小值． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【分析】 （1）设，根据中点坐标公式得出，由相关点法即可求出点的轨迹方程； （2）利用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）设有， 由得， 即点的轨迹方程为. （2）计算得, 直线为, 点到直线的距离, 点到直线的最小距离为 . 【点睛】本题考查了相关点法求点的轨迹方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题. 18. 如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）． （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；Q为线段PB中点 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直即可由线面垂直的判断求证， （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解线面角，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴，∴，， 即，，且，平面POB，平面POB， ∴平面PBO． 【小问2详解】 由（1）可知四边形ABCD为菱形，∴，在等腰梯形ABCD中， ∴正三角形，∴，同理． ∵，∴，∴． 由（1）可知，，O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，，， ∴，，，, 设， ， 设平面AEQ的一个法向量为， 则，即， 取得，，得，所以， 设直线PC与平面AEQ所成角为，，则， 即，化简得，解得． 即Q为线段PB中点． 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $