精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025-2026学年上学期 东北师大附中（数学）科试卷 高（一）年级期中考试 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名､班级､考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条于码， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试题卷上书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集含义得. 故选：D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根号下大于等于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 则其定义域为. 故选：C. 3. 命题“，x + 1>0”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的命题的否定求解作答. 【详解】命题“，x + 1>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，x + 1>0” 的否定是. 故选：B 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件定义判断即可. 【详解】充分性：因为，， 当时，，故充分性不成立； 必要性：因为，， 当时，成立， 当时，，即成立，故必要性成立； 所以若 ，则“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 5. 某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ） A. 2千克/小时 B. 3千克/小时 C. 4千克/小时 D. 6千克/小时 【答案】C 【解析】 【分析】生产100千克该产品获得的利润为，令，由换元法求二次函数最大值即可. 【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，， 令，，则，故当时，最大，此时. 故选：C 6. 已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求题设不等式左式的最小值，根据恒成立有，即可求的取值范围. 【详解】由题设，，当且仅当时等号成立， 要使恒成立，则，可得. 故选：D 7. 已知函数的图象如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由的零点可排除选项A；由时，，可排除选项C，由可排除选项D，即可得正确选项. 【详解】对于A：，令，可得，由图象知只有，故选项A不正确； 对于选项C：，由的图象知当时，，故选项C不正确； 对于选项D：在处没有定义，由的图象可知，故选项D不正确； 由排除法可知选项B正确， 故选：B 【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式：根据图象的定义域，单调性、奇偶性、特殊点的函数值、极限思想等利用排除法可求解. 8. 记实数的最小数为若则函数的最大值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故选：B． 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分；共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要立部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分：） 9. 已知函数，则在上是（ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 增函数 D. 减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断为奇函数，再根据指数函数的单调性可判断. 【详解】解析：函数的定义域为， ，∴函数是奇函数. 又在上是增函数，函数在上是增函数， ∴函数在上是增函数. 答案：BC. 10. 对于任意实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AB，举特例判断CD. 【详解】A选项：因为成立，则，则，故A正确； B选项：若，，由不等式同向可加性，得，故B正确； C选项：令,满足，，但，故C不正确； D选项：令，满足，但，故D不正确. 故选：AB. 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 的解集为 D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有1350个交点，记为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，分析指数型函数的值域可判断A；计算即可判断B；由的对称性可得，结合函数的单调性即可判断C；由、的对称性可得两个函数的交点也关于对称，进而分析可得D． 【详解】对于A，函数，由于，则，则， 即函数的值域为，A正确； 对于B，， 则的图象关于点成中心对称图形，则B错误； 对于C，的对称中心为，即， 故可得， 由于函数单调递增且恒为正，故在上单调递减， 故，解得，故C正确， 对于D，函数满足为奇函数，且的对称中心为， 而的对称中心为， 则与函数的图象的1350个交点也关于对称， 则，， 则，D正确． 故选：ACD． 三､填空题：（本题共3个小题，每小题4分，共12分） 12. 设，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】直接代入计算即可. 【详解】，则. 故答案为：1. 13. 若是在上的单调递增函数，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 则实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 定义在上的函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式和二次函数性质得到的最小值，再代入解出不等式即可. 【详解】易知， 则当时， ， 当且仅当时等号成立， 则恒成立，即恒成立， 则，即，化简得， 利用穿根法得或，则的取值范围为. 故答案为：. 叫､解答题（本大题共5小题，共58分） 15. 已知集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式解法和指数函数不等式解法即可得到； （2）根据补集和并集的定义即可得到答案. 【小问1详解】 ，所以， ，所以 . 【小问2详解】 由（1）可知， 所以. 16. 解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】因式分解得，再对合理分类讨论即可. 【详解】，即， 若时，原不等式等价于，解得． 若时，原不等式等价于． ①当时，，解得或． ②当时，，解得或 ③当时，，解，得或． 综上所述，当时，解集为： 当时，解集为： 当时，解集为； 当时，解集为． 17. 随着科学技术不断进步，某企业致力于改善民众生活质量，生产智能小家电.已知该企业每年投入固定成本为500万元，当年产量为万件时，平均每生产1万件智能小家电还需要额外投入万元，经测算，每件智能小家电的平均售价为80元，假设每年进入市场的小家电能够全部售出，且小家电最大产量为100万件. （1）求企业的年利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，企业的年利润最大？并求最大年利润. 【答案】（1）； （2）当产量为60万件时，企业得年利润最大，最大利润为425万元． 【解析】 【分析】（1）根据，再代入计算即可； （2）分段求出最值，其中第一段用二次函数求最值，第二段利用基本不等式求出最值即可. 【小问1详解】 根据已知可得 ， 当时，， 当时，， 则. 【小问2详解】 当时，，则时，： 当时，. 当且仅当即时取等， 此时， 综上所述，当产量为60万件时，企业得年利润最大，最大利润为425万元． 18. 设函数. （1）判断并证明函数在区间上的单调性； （2）若方程有四个解，设这四个解分别为，且，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增； （2）. 【解析】 【分析】（1）取值、作差、因式分解得，再判断其符号即可； （2）首先判断的奇偶性，再利用韦达定理将不等式进行整体代换得，再次换元，最后分离参数即可. 【小问1详解】 在上单调递增，理由如下： ，且， 则 . 因为，且， 所以， 则， 可得， 所以，故在上单调递增； 【小问2详解】 由，则函数定义域为， 且由可得为偶函数，作出的大致图象如图所示： 若有四个解，这四个解分别为， 由得，设，考虑方程的解， 则当时，， 方程两个解为， 则 且有， 由韦达定理有， 则， 则， 可得 由，得， 即， 设，由，得， 则， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时，有最小值6； 所以． 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”，为函数的“伪奇函数点”，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”，为函数的“伪偶函数点”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”，是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若函数为定义在上的“伪奇函数”. ①求实数的取值范围； ②若函数在上存在两个“伪奇函数点”，证明. 【答案】（1） 由函数，得， 显然不存在非零实数满足，因此不是“伪奇函数”； 由，得，整理得，解得， 即存在非零实数满足，因此为“伪偶函数”. 所以函数是“伪偶函数”，不是“伪奇函数”. （2）①； ②由函数在上存在两个“伪奇函数点”， 得关于的方程在上有两个解，不妨设， 令函数， 函数在上是单调函数，则在上至多一个解， 若在上有两个解，则与矛盾， 因此在上有一个解，在上有一个解， 由，得，且， 而当时，函数在上单调递减， 又，则方程在上必有一个解，， 因此， 令函数，而函数在上都单调递减， 则函数在上单调递减，，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用“伪偶函数”、 “伪奇函数”的定义分别判断即得. （2）①利用“伪奇函数”的定义建立等式，分段讨论并分离参数求出范围；②利用“伪奇函数点”的定义，结合零点存在性定理求出范围，再将分别用表示出，借助单调性推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由函数为定义在上的“伪奇函数”， 得存在非0实数，使得，即， 则当时，，即，因此； 当时，，即，而函数在上单调递减， 因此，所以实数的取值范围是. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期 东北师大附中（数学）科试卷 高（一）年级期中考试 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名､班级､考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条于码， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试题卷上书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，x + 1>0”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ） A. 2千克/小时 B. 3千克/小时 C. 4千克/小时 D. 6千克/小时 6. 已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 已知函数的图象如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 8. 记实数的最小数为若则函数的最大值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 5 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分；共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要立部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分：） 9. 已知函数，则在上是（ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 增函数 D. 减函数 10. 对于任意实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 的解集为 D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有1350个交点，记为，则 三､填空题：（本题共3个小题，每小题4分，共12分） 12. 设，则__________. 13. 若是在上的单调递增函数，则实数的取值范围为__________. 14. 定义在上的函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为__________. 叫､解答题（本大题共5小题，共58分） 15. 已知集合. （1）求； （2）求. 16. 解关于的不等式：. 17. 随着科学技术不断进步，某企业致力于改善民众生活质量，生产智能小家电.已知该企业每年投入固定成本为500万元，当年产量为万件时，平均每生产1万件智能小家电还需要额外投入万元，经测算，每件智能小家电的平均售价为80元，假设每年进入市场的小家电能够全部售出，且小家电最大产量为100万件. （1）求企业的年利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式； （2）当产量为多少万件时，企业的年利润最大？并求最大年利润. 18. 设函数. （1）判断并证明函数在区间上的单调性； （2）若方程有四个解，设这四个解分别为，且，都有成立，求实数的取值范围. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”，为函数的“伪奇函数点”，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”，为函数的“伪偶函数点”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”，是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若函数为定义在上的“伪奇函数”. ①求实数的取值范围； ②若函数在上存在两个“伪奇函数点”，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $