专题05 直线和圆的位置关系重难点题型专训（2个知识点+13大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05 直线和圆的位置关系重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 有关切线的概念辨析 题型三 切线的判定与性质定理 题型四 应用切线长定理求解 题型五 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型六 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十一 圆和圆的位置关系 题型十二 尺规作图一一过圆外一点作圆的切线 题型十三 三角形内心有关应用 拓展训练一 直线与圆的位置关系综合 拓展训练二 三角形内切圆与外接圆综合 拓展训练三 切线的性质和判定的综合应用 拓展训练四 圆外切四边形模型 拓展训练五 圆的综合问题 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 【即时训练】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小，确定直线与圆的位置关系，再结合图形进行判断．本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法是解题的关键． 【详解】解：圆半径，圆心到直线的距离， ． 当时，直线与圆相交， 这条直线与圆相交，结合图形可知是． 故选：B． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆的位置关系，即可解答． 【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看成的直线位置关系是相离． 故答案为：相离． 知识点二、切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 知识点二 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 【即时训练】 1．（2025·浙江台州·模拟预测）如图，是的直径，切于点，连结，，若，则的 度 数 为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，连接，利用切线的定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：连接， 切于点， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）用文字语言写出圆的切线的性质定理： 【答案】圆的切线垂直于过切点的半径 【分析】本题考查圆的切线的性质定理，掌握相关知识是解决问题的关键．圆的切线的性质定理是圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径． 【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为2，则反映直线l与⊙O位置关系的图形（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，能熟练地运用数量关系进行判断直线l与的位置关系是解答此题的关键. 根据的半径和圆心O到直线l的距离的大小关系即可选出答案. 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，， ∴， ∴直线l与的位置关系是相交，且不过圆心. 故选：B. 1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，为等边三角形的高，点在的延长线上，且，，的半径为，若将绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（   ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵的半径为 ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵为等边三角形的高， ∴， ∴， ∴与边只有一个公共点的情况有2次，与边有1次，与边有1次，共4次， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相交 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的直径为，， ∴的半径为， ∵圆心O与直线l的距离为， ∴圆心O与直线l的距离小于的半径， ∴l与相交， 故答案为：相交． 3．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：根据题意为的直径，， ∴的半径为3． 又∵，， ∴则直线 与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． 【经典例题二 有关切线的概念辨析】 【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）下列命题中，真命题是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的重心到三个顶点的距离相等 C．等弧所对的圆心角相等 D．经过圆上一点的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】利用确定圆的条件、三角形的重心的定义、圆周角定理及切线的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的外心到三顶点的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、等弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意； D、经过圆上的一点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、三角形的重心的定义、圆周角定理及切线的判定等知识，难度不大． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为的中点，以点为圆心、长为半径作圆，恰好点在上，连接，若，下列说法中不正确的是( ) A．D是劣弧BE的中点 B．CD是⊙O的切线 C．AE // OD D．∠DOB=∠EAD 【答案】D 【分析】直接利用圆周角定理以及结合圆心角、弧、弦的关系、切线的判定方法、平行线的判定方法分别分析得出答案． 【详解】A、∵∠BAD=25°，∠EAD=25°， ∴∠DAB=∠EAD， ∴，故此选项正确，不合题意； B、∵∠BAD=25°， ∴∠ADO=25°， ∵∠ADC=115°， ∴∠ODC=90°， ∴CD是⊙O的切线，故此选项正确，不合题意； C、∵∠EAD=∠ADO， ∴AE∥DO，故此选项正确，不合题意； D、无法得出∠DOB=50°，∠EAD=25°，故此选项错误，符合题意． 故选D． 【点睛】此题主要考查了切线的判定以及圆心角、弧、弦的关系、切线的判定方法、平行线的判定方法等知识，正确掌握相关判定方法是解题关键． 2．（24-25九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 【答案】切线． 【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断. 【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：切线． 【点睛】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键. 3．（2025·浙江·模拟预测）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【详解】（1）解：作直线，交于点P， 则是的直径， 则点P即为所求． （2）解：连接， 过点A作于点A，交点为Q，如图： 则点Q即为所求． 【经典例题三 切线的判定与性质定理】 【例3】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ，是的切线， ，， ， ， ， ， 故选：C． 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵切于点C，交于点P，且为的直径， ∴， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ．    【答案】/31度 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．连接，根据切线的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵与相切于点，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 3．（2025九年级上·江苏南京·模拟预测）如图，两个同心圆 O，小圆的半径为 1，大圆的半径为，点 A 为小圆上的动点，P、Q 是大圆上的两个动点，且 ，则 的长的最大值是 ． 【答案】4 【详解】解：如图，取中点，连接，，，，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最大， ∵，中点， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，此时最大， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：4． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）内接于，直径平分分别交和于E、F， (1)如图1，求证：； (2)若交于D，连接并延长到G，平分交于H， ①如图2，若G正好在的延长线上，，试用含m的式子表示； ②若四边形的外角平分线也是的切线，，请在图3中画出符合条件的草图，并求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②草图见解析，的半径是3 【分析】（1）根据圆周角定理可得，从而可得，即可根据圆心角定理的推论证明结论； （2）①根据圆周角定理及直角三角形的两锐角互余，可得，再结合，可推得，即可得到答案； ②连结，根据圆的切线的性质，可得，根据三角形内角和定理及圆周角定理，可逐步推得，进一步可得，因此，所以可证明，即知是的直径，再证明是等边三角形，最后根据等边三角形的性质及勾股定理，即可求得答案． 【详解】（1）证明：直径平分， ， ， ； （2）解：①， ， 和都是所对的圆周角， ， ， 直径平分， ， ， ， ， ； ②草图如图所示； 连结， 四边形的外角平分线是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 和分别是所对的圆心角和圆周角， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的直径， ，， ， ， ， 是正三角形， ， ， ， 直径平分， ，， ， ， ， 解得， 即的半径为3． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，圆周角定理及圆的切线的性质是解题的关键． 【经典例题四 应用切线长定理求解】 【例4】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于 、、是⊙的切线，则，，求出的长即可求出 的长． 【详解】解：∵、为⊙的切线， ∴， ∵、为⊙的切线， ∴ ， ∴． 故选：B． 1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是的内切圆，切点分别是，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键． 由切线长定理得，，，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：与、、分别相切于点、、，，， ，，， ， ， 的周长为10， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：32． 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键， 利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于2，可求得，从而利用勾股定理可求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D， ∴，， ∵的周长为2，即， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ， ∴是的切线； （2）解：连接． ∵为半径， ∴是的切线， ∴， ， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题五 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 【例5】（2025·河北石家庄·模拟预测）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（　　） A．0＜OA≤或2.5≤OA＜5 B．0＜OA或OA＝2.5 C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或 【答案】B 【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后即可得到OA的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：如右图所示， 当圆心从O1到O3的过程中，⊙O与三角形边的交点个数为3，当恰好到达O3时则变为4个交点， 作O3D⊥BC于点D， 则∠O3BD＝∠ABC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， 设O3A＝a，则O3B＝5﹣a， ∴ ，得 ， ∴当 时，⊙O与三角形边的交点个数为3， 当点O为AB的中点时，⊙O与三角形边的交点个数为3，此时OA＝2.5， 由上可得， 或OA＝2.5时，⊙O与三角形边的交点个数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、勾股定理，准确画出图形，利用数形结合的思想进行解答是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．设，则，根据圆与直线相交可得，再根据求解即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵直线，以点为圆心，长为半径的圆与直线相交， ∴，即， 解得， 又∵点在线段上， ∴， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形中，，，，点在边上运动以为圆心，为半径作，若与平行四边形的边有四个公共点，则的长度满足条件是 ． 【答案】或 【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断． 【详解】解：如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE． 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==4， 设AP=x，则BP=5-x，PE=x， ∵⊙P与边BC相切于点E， ∴PE⊥BC， ∵BC⊥AC， ∴AC∥PE， ∴， ∴， ∴； 如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE． ∵S平行四边形ABCD=2××3×4=5PE， ∴PE=， 观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4， ②⊙P过点A、B、C三点，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4， 此时AP=， 综上所述，AP的值的取值范围是：或AP=． 故答案为：或AP=． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 【经典例题六 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例6】（2025·天津滨海新·模拟预测）的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，得． 【详解】解：∵的直径为，直线l与相交，点O到直线l的距离为d， ∴，即， 故选：B． 1．（24-25九年级上·河北·阶段练习）已知圆的半径为6.点到某条直线的距离为8，则这条直线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，即可得到问题选项． 【详解】解：∵圆O的半径为6，点O到某条直线的距离为8， ∴d＞r， ∴直线与圆相离， ∴这条直线与圆没有公共点， ∴这条直线可以是 l2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次根式的非负性，勾股定理，矩形的性质；分和两种情况讨论，设，得出关于的函数关系式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴当时，最大，最大值为； 当时，如图所示， 同理可得，则 ∴当最大时，最大 ∵ ∴当时，即时，最大 最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线与，轴分别交于A，B两点，C是以D(2，0)为圆心，为半径的圆上一动点，连接AC，BC，则△ABC的面积的最大值是 平方单位． 【答案】6 【分析】先根据一次函数的解析式可求出点A、B的坐标，从而可得AB的长，再根据直线与圆的位置关系可得出AB边上高的最大值，然后根据三角形的面积公式即可得． 【详解】令得，解得，即点A的坐标为 令得，即点B的坐标为 ， 如图，连接BD，且BD的延长线交圆D于点 ，即 由直线与圆的位置关系可知，当点C处于点位置时，边AB上的高最大，最大值为 则此时的面积最大，最大值为 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、直线与圆的位置关系等知识点，正确找出AB边上高的最大值是解题关键． 4．（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒． （1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由． （2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值． 【答案】（1）相切，证明见解析；（2）t为s或s 【分析】（1）直线AB与⊙P关系，要考虑圆心到直线AB的距离与⊙P的半径的大小关系，作PH⊥AB于H点，PH为圆心P到AB的距离，在Rt△PHB中，由勾股定理PH，当t=2.5s时，求出PQ的长，比较PH、PQ 大小即可， （2）OP为两圆的连心线，圆P与圆O内切rO-rP=OP, 圆O与圆P内切，rP-rO=OP即可． 【详解】（1）直线AB与⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H点， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10， ∴AB=2AC=20，BC=， ∵P为BC的中点 ∴BP= ∴PH=BP=， 当t=2.5s时，PQ= ， ∴PH=PQ=  ∴直线AB与⊙P相切 ， （2）连结OP， ∵O为AB的中点，P为BC的中点， ∴OP=AC=5， ∵⊙O为Rt△ABC的外接圆， ∴AB为⊙O的直径， ∴⊙O的半径OB=10 ， ∵⊙P与⊙O相切 ， ∴ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP  即t-10=5或10-t =5， ∴ t=或t= ， 故当t为s或s时，⊙P与⊙O相切． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆相切时求运动时间t问题，关键点到直线的距离与半径是否相等，会求点到直线的距离，会用t表示半径与点到直线的距离，抓住两圆相切分清情况，由圆心在圆O内，没有外切，只有内切，要会分类讨论，掌握圆P与圆O内切rO-rP=OP, 圆O与圆P内切，rP-rO=OP． 【经典例题七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例7】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，求出 S△AOC，即可求出h，即可得到答案． 【详解】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，    设此时点O到AC的距离为h， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB==10， ∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1， ∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1， ∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h， ∴h=5， ∴的平移距离为5-1=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OA=4cm，∠AOC=30°，且点A也在半径为1cm的⊙P上，点P在直线AB上，⊙P以1cm/s的速度从点A出发向点B的方向运动 s时与直线CD相切． 【答案】1或5 【分析】分类讨论：当点P在射线OA上时，过点P作PE⊥AB于点E，根据切线的性质得到PE=1cm，利用30度角所对的直角边等于斜边一半的性质的OP=2PE=2cm，求出⊙P移动的距离为4-2-1=1cm，由此得到⊙P运动时间；当点P在射线OB上时，过点P作PF⊥AB于点F，同样方法求出运动时间. 【详解】当点P在射线OA上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，则PE=1cm， ∵∠AOC=30°， ∴OP=2PE=2cm， ∴⊙P移动的距离为4-2-1=1cm， ∴运动时间为s； 当点P在射线OB上时，如图，过点P作PF⊥AB于点F，则PF=1cm， ∵∠AOC=30°， ∴OP=2PF=2cm， ∴⊙P移动的距离为4+2-1=5cm， ∴运动时间为s； 故答案为：1或5. 【点睛】此题考查动圆问题，圆的切线的性质定理，含30度角的直角边等于斜边一半的性质，解题中注意运用分类讨论的思想解答问题. 3．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为(﹣3，﹣4)，若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为 ． 【答案】(﹣3，﹣1)或(﹣3，1) 【分析】利用图像法解决问题即可． 【详解】解：如图，观察图像可知，当A（﹣3，﹣1）或A′（﹣3，1）时⊙A上只有3个点到x轴的距离为2． 故答案为：（﹣3，﹣1）或（﹣3，1）． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图像法解决问题，属于中考常考题型． 4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在等腰和等腰中，． (1)求证； (2)①如图1，点在上，猜想线段与的关系是________； ②把绕直角顶点旋转到图2的位置，①中的结论还成立吗？说明理由； (3)把绕点在平面内转动一周，若，，、交于点时，连接，试求面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等、旋转变换以及几点共圆等知识点，正确做出辅助线并能综合应用所学知识是解答本题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质可得，，即可证明； （2）①根据等腰三角形的定义可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得即可；②先根据三角形全等的判定定理与性质可得，，再根据直角三角形两锐角互余可得，然后根据对顶角相等、等量代换可得，从而可得即可； （3）如图：由题意可知点在以为直径的上运动，点在上运动，观察图形，可知当与相切时，面积最大；此时，四边形为正方形，；然后在中运用勾股定理求出，进而求出的最大值，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴； （2）解：①，； 延长交于点，如图： ， ∵和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； ②结论仍成立，仍有：，；理由如下： 延长交于，交于，如图： ， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图： ， ∵， ∴点在以为直径的上运动， ∵， ∴点在上运动， 观察图形，可知当与相切时，面积最大， 如图： ， 此时，四边形为正方形，， 在中，， 当的面积最大时，， 即． 【经典例题八 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例8】（2025·四川凉山·模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度． 【详解】解：作OC⊥AB， 又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm ∴BO＝5，BC＝4， ∴由勾股定理得OC＝3cm， ∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【经典例题九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例9】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出是直角三角形是解题关键．根据切线长定理得出，进而得出是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点为D、E、F， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴是直角三角形， ∴内切圆的半径， 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形的边长是，，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处，分别与，，相切，切点分别为F、G、H，则的半径为 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定． 如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可． 【详解】解：如图所示，延长交于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴，   ∴，   设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 如图所示，连接 ∵分别与，，相切，切点分别为，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为， 故答案为；2． 4．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：    (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆，作角平分线，作垂线等知识．熟练掌握三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心是解题的关键． （1）根据三角形角平分线的交点为三角形的内切圆的圆心，确定圆心，然后作垂线确定半径，最后作圆即可； （2）如图1，连接，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作的平分线，交点即为圆心，过作于，以为圆心，为半径画圆，即为的内切圆；        （2）解：如图1，连接， ∴，即， 解得，， ∴的周长为． 【经典例题十 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例10】（24-25九年级上·天津·期中）如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：∵的周长为21，， ∴， 设与的三边的切点为，切于， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，点在线段上，内切圆半径的最大值是(    )    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积为，可知最小时，有最大值，连接与交于点'，求出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】解：点、分别是、的中点，四边形是矩形， ， 在上，，， ， 设内切圆半径是， ， 最小时，有最大值， 如图，是的中点，所以点关于的对称点是点，连接与交于点'，    ， 此时即为最小值， ，， ， 最小值为， ， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将最小值转化为的长是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可． 【详解】∵，，是边上的高， ∴，， ∴，， 设与的半径分别为x，y，则 ∴，， 解得， ∴与的面积比为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，已知F是平行四边形ABCD的边DC中点，若三角形EFC，ABE，AFD的面积分别为3平方厘米，4平方厘米，5平方厘米，平行四边形ABCD的面积是整数．则三角形AEF的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，此题可假设平行四边形ABCD的高为2厘米，根据三角形的面积计算公式，则△EFC的高为1厘米，底EC为6厘米，△AFD的高也为1厘米，底AD为10厘米，又由于△ABE的面积为4平方厘米，正好高是2，底是10-6=4厘米，可求平行四边形ABCD的面积为2×10=20平方厘米，减去三个三角形的面积后，此题得解． 【详解】假设平行四边形ABCD的高为2厘米，则： 三角形EFC，AFD的高为1厘米． 又根据三角形EFC，ABE，AFD的面积分别为3平方厘米，4平方厘米，5平方厘米，可求： EC=3×2÷1=6(厘米) AD=5×2÷2=10(厘米) BE=10−6=4(厘米) 所以平行四边形ABCD的面积为：2×10=20(平方厘米) 三角形AEF的面积是：20−3−4−5=8(平方厘米) 故答案为8平方厘米． 【点睛】此题考查三角形的周长和面积，解题关键在于假设平行四边形ABCD的高为2厘米 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    【经典例题十一 圆和圆的位置关系】 【例11】（2025·浙江·模拟预测）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，两圆的位置关系，掌握这些知识是关键； 连接三个圆心，构造了一个等边三角形，其边长是，则它的高是，则雕塑的最高点到地面的距离为三角形高与1的和． 【详解】解：连接三个圆心，如图， ∴是等边三角形，且， ∴它一边上的高是：， ∴雕塑的最高点到地面的距离为：． 故选：A． 1．（2025·江西抚州·模拟预测）图1中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为；图2中的四个圆半径相等，并依次外切，且与正方形边相切，设这四个圆的面积之和为；图3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形边相切，设这九个圆的面积之和为；……．如果正方形的边长相等，那么和具有怎样的大小关系（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的切线的性质，圆与圆的位置关系，理解题意，分别求解和即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，结合题意可得： ∴， ． ， ∴， 故选D． 2．（24-25九年级上·四川·期末）如图，、的直径分别为、，圆心距为，如果由图示位置沿直线向右平移，则此时该圆与的位置关系 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了两圆位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为P；外离；外切；相交；内切；内含． 求出平移后的圆心距，进而判断即可． 【详解】解：、的直径分别为、， 则、的半径分别为、， 如果由图示位置沿直线向右平移，则圆心距为，则， 根据圆心距与半径之间的数量关系， ∴与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，，如果以为直径的圆与以为圆心、为半径的圆相交，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两圆位置关系：相交，当时，两圆相交；连接，则可求得，根据条件即可求得r的取值范围． 【详解】解：连接，如图， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴； ∵相交， ∴， 即； 故答案为：． 4．（2025·福建·模拟预测）情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘． (1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径； (2)任务2：如图2，是矩形的对角线，圆和圆分别是和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于两点，求圆的半径； (3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）任务1：由题可知两圆的直径为，则圆的最大半径为； （2）任务2：连接，，利用勾股定理求出，利用三角形内切圆的性质证明四边形为正方形，即可解答； （3）任务3：设圆的半径为，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距，连接、，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点，利用勾股定理求得半径的值，根据题意求出符合的半径即可． 【详解】（1）解：从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘，两圆沿矩形铁片长边并排排列， 两圆的直径为， 圆的最大半径为； （2）解：如图，连接，， 设的半径为， 在中，， 是的内切圆， ，，，，， 又， 四边形为正方形， ． （3）解：设圆的半径为，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距， 如图，连接、，过作的垂线，过作的垂线，两垂线交于点， 则，， 在中，， 整理得， 解得， 当时，，不符题意； 当时，，且， 任务3中圆的最大半径为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查两圆相切的性质，三角形内切圆的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，掌握两圆相切的性质，勾股定理是解题的关键． 【经典例题十二 尺规作图一一过圆外一点作圆的切线】 【例12】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴ °． ∵为半径，∴为的 ，且 （填“”、“”或“”）．    【答案】 ； 切线； ． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线，同理可证，直线也是的切线，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，    ∵为的直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线， 同理为的切线， ∴， 故答案为：；切线；． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和外一点． 尺规作图：在图中，过点作的两条切线、，、为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，写出简单作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，过圆外一点作圆的切线，合理利用圆周角定理，构造全等三角形，辅助圆解决问题是解决本题的关键．作法通过过点作辅助圆，、为新作圆的圆周角，根据直径所对的圆周角等于即可得证直线、为的切线；作法通过构造等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一，底边上的中线即为高线，即可得证直线、为的切线． 【详解】解：作法： 连接，作的垂直平分线交于点； 以点为圆心，长为半径作圆交于点，， 作直线，，则直线，即为所求． 连接、， 根据作法可知，为的直径， ，即，， 、为的半径， 、为的切线； 作法： 作射线，与交于点和点； 以点为圆心，以为半径作； 以点为圆心，以为半径作圆，与交于点和点，连接和，分别与交于点和点； 作直线和直线，则直线，即为所求． 连接、， 根据作法可知，，，， 点是的中点，点是的中点， 根据等腰三角形三线合一可知，，， 、为的半径， 、为的切线． 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明． (1)作出所在圆的圆心O； (2)过点P作圆O的一条切线． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，圆周角定理的应用，切线的判定． （1）如图，在上取点，连接，，再作线段的垂直平分线上，交点为，可得为所在圆的圆心． （2）如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径画圆交于，则直线为的切线． 【详解】（1）解：如图，在上取点，连接，，再作线段的垂直平分线上，交点为，则为所在圆的圆心． （2）解：如图，连接，作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径画圆交于，则直线为的切线． 理由如下： ∵为直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知是的弦．    (1)如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； (2)如图②，点Q是圆外一点，用无刻度的直尺和圆规过Q点作弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接并延长，分别交于点C、D，连接，即为所求； （2）先过点O作的垂线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，连接，作的垂直平分线交于点，再以点为圆心，的长为直径作圆，交以点为圆心，的长为半径的圆于点，作射线交于点，再过点作的垂线交于点，作射线交于点，交于点，即线段为所求． 【详解】（1）解：所作图形如下：   ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：所作图形如下：连接，    由作图依据得，， ∴，， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查作线段的垂线、圆外一点作圆的切线、圆周角定理、矩形的性质与判定、垂径定理、切线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质与判定、垂径定理是解题的关键． 【经典例题十三 三角形内心有关应用】 【例13】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，直角三角形的性质，由三角形内心的定义可得，由圆周角定理得，即可得，进而可得，再根据圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是的内心， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定内心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内心的定义．根据三角形内心是三角形三条角平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形内心是三角形三条角平分线的交点， ∴四个选项中只有D选项作图方法是角平分线的尺规作图， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知中，，，点I是的内心，点 O为的外心，则的内心I与外心O的距离 ． 【答案】 【分析】本题考查外心内心定义性质，勾股定理，等腰三角形性质等．根据题意可知内心为三角形角平分线交点，外心为三角形三边垂直平分线交点，作出图形，后连接，利用等腰三角形性质得到，再利用勾股定理求出外接圆半径，再利用等面积法计算的长，继而求出本题答案． 【详解】解：∵外心是三边垂直平分线交点，内心是三角形三个内角角平分线交点，作图如下，再依次连接， ∵是等腰三角形，点I是的内心，点 O为的外心， ∴在同一条直线上，且，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴内心I与外心O的距离：， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的外接圆，是的直径，I为的内心，连接，，，且．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心，等腰直角三角形以及勾股定理．延长交于M点，连接，利用垂径定理求得，利用三角形的内心定义证明得到为等腰直角三角形，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：延长交于M点，连接， 在中斜边经过圆心O， ， ∵， ∴， 在中，I为三个角平分线的交点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， 在中，，即， 解得（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山东济宁·模拟预测）如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图1，如果与相切于点，那么，即，根据“圆周角定理的推论：的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点既在上，也在以为直径的圆上，是两圆的公共点． (1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段的中点，然后画以点为圆心，以为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为、，画出直线和，即为经过圆外一点的的两条切线； (2)在（1）的条件下，若的直径与交于点，连接、、．求证：点是的内心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明平分，平分即可． 【详解】（1）解：如图，直线，即为所求； （2）证明：设交于点． ，是的切线， ，，， ， ，， ， ， ， 点是的内心． 【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，三角形的内切圆与内心，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【拓展训练一 直线与圆的位置关系综合】 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 【答案】当时，与射线没有公共点；当或时，与射线只有一个公共点；当时，与射线有两个公共点 【分析】此题考查了直线与圆的交点个数问题．作于点N，求出，分情况讨论求解即可． 【详解】解：作于点N，如图， ∵， ∴， ∴当时，与射线OA只有一个公共点； 当时，与射线OA没有公共点； 当时，与射线OA有两个公共点； 当时，与射线OA只有一个公共点． ∴当时，与射线OA没有公共点；当或时，与射线OA只有一个公共点；当时，与射线OA有两个公共点． 2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和，给出如下定义：如果的半径为r，外一点P到的切线长小于或等于2r，那么点P叫做的“离心点”． （1）当的半径为1时， ①在点中，的“离心点”是_____________； ②点P(m，n)在直线上，且点P是的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围； （2） 的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴．y轴分别交于点A、B．如果线段AB上的所有点都是的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围． 【答案】（1）①；②；（2）圆心C的纵坐标满足或 【分析】(1) ①分别计算的长，判断P到的切线长是否小于或等于2r，即可解题；②设，根据题意，当过点P的切线长为2时，OP=5，列出相应的一元二次方程，解方程即可； (2) 分类讨论，当C在y轴的正半轴上时，当点C在y轴的负半轴上时，当圆C与直线相切时，画出相应的图形，结合全等三角形的判定与性质解题． 【详解】① 所以点不在圆上，不符合题意； 因为过点的切线长为， 所以是圆的离心点 因为过的切线长为 所以是离心点； 故答案为； ②如图设 当过点P的切线长为2时，OP=5， 所以 解得m=1或m=2 观察图像得 （2）如图2，当C在y轴的正半轴上时，经过点B(1，0)，A(2，0) 当AC=，点A是离心点，此时C(0，4)； 观察图像知圆的纵坐标满足，线段AB上所有的点都是离心点； 如图3，当点C在y轴的负半轴上时，，点B是离心点，此时C(0， ) 如图4，当圆C与直线相切时，设切点为N， 如图，由题意得 ，， 观察图像得当圆C的纵坐标满足，线段AB上的所有点都是离心点； 综上所述,圆C的纵坐标满足或． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线等知识，是重要考点，难度中等，掌握相关知识是解题关键． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒． （1）∠BCD的度数为______°. （2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形. （3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P． ①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. ②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个． 【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜． 【分析】（1）根据A、C坐标可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根据平行线的性质即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三种情况，分别求出t值即可；（3）分⊙P与CD、BC、AB边相切三种情况，分别求出t值即可；②根据①中三个图形及点P运动到OA中点时有两个交点即可得答案. 【详解】（1）∵A（5，0）、C（0，3）， ∴OC＝3，OA＝5， 又∵AD＝2， ∴OD＝OA﹣AD＝3， ∴OC＝OD， ∵∠COD＝90°， ∴∠OCD＝∠ODC＝45°， 又∵BC∥AD， ∴∠BCD＝∠ODC＝45°， 故答案为：45； （2）若△PCD为等腰三角形， ①当PC＝PD时，点P在CD的垂直平分线上，点P与点O重合， ∴P（0，0）， ∵E（﹣5，0）， ∴PE＝5， ∴t＝5. ②当CP＝CD时， ∵CO⊥PD， ∴CO垂直平分PD， ∴PO＝OD＝3， ∴P（﹣3，0）， ∵E（﹣5，0）， ∴PE＝2， ∴t＝2. ③当DC＝DP时， 在Rt△COD中，DC＝＝3， ∴DP＝3， ∴OP＝3﹣3， ∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3， ∴t＝8﹣3. 故答案为：5或2或8﹣3 （3）①如图2﹣1，当点P运动至与四边形ABCD的CD边相切时， PC⊥CD， ∵∠CDO＝45°， ∴△CPD为等腰直角三角形， ∵CO⊥PD， ∴PO＝DO＝3， ∴EP＝2， 即t＝2； 如图2﹣2，当点P运动到与点O重合时， ∵PC为⊙P半径，且PC⊥BC， ∴此时⊙P与四边形ABCD的BC边相切， ∴t＝5. 如图2﹣3，当点P运动至与四边形ABCD的AB边相切时， PA为⊙P半径， 设PC＝PA＝r， 在Rt△PCD中， OP＝OA﹣PA＝5﹣r， ∵PC2＝OC2+OP2， ∴r2＝32+（5﹣r）2， 解得，r＝， ∴t＝EP＝10﹣＝. ∴当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切. ②如图2﹣1，当⊙P与四边形ABCD的CD边相切时，只有一个交点，此时t＝2，继续向右运动会有两个交点. 如图2﹣2，当⊙P与四边形ABCD的CB边相切时，有C，D两个交点，此时t＝5，继续向右运动会有三个交点. 如图2﹣3，当⊙P与四边形ABCD的AB边相切时，⊙P与四边形ABCD有三个交点，此时t＝，继续向右运动有三个交点. 如图2﹣4，当点P运动至OA的中点时，⊙P与四边形ABCD有C，B两个交点，此时t＝， 综上所述，答案为：2＜t＜5或t＝；5＜t＜． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质及直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键. 【拓展训练二 三角形内切圆与外接圆综合】 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2)点是图中的外心，理由见解析 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【详解】（1）解：如图所示，点D为所求： ∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．    (1)求证：是的切线； (2)求的直径； (3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 　　． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）分别求出，，即可得，从而证明是的切线； （2）由（1）可知，，则，即可求圆的直径是6； （3）设的内切圆圆心为，连接，，，根据内心的性质可得，因此可知点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上，作的外接圆，连接、，再由，可知点在圆上，连接，可得是等边三角形，则，当点与点重合时，，所以内心的运动路线长． 【详解】（1）解：证明：连接，，    是圆的直径， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点在圆上， 是的切线； （2）由（1）可知，， ， ， ， ，， ， 圆的直径是6； （3）设的内切圆圆心为，连接，，，    ， ， 是的平分线，是的平分线， ， ， 由（2）可知，， 点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上， 作的外接圆，连接、， ， ， ， 点在圆上， 连接， ， ， 是等边三角形， ， 当点与点重合时，， 内心的运动路线长， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，切线的判定及性质，三角形内切圆的性质，四点共圆的判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，圆的弧长公式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 【拓展训练三 切线的性质和判定的综合应用】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得到，则，证明，结合切线的性质可得，据此可证明结论． 【详解】证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 为的半径， 为的切线． 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）古希腊数学家欧几里得创作的数学著作《几何原本》中记载了一个有关圆的定理，如图，已知是圆的直径，请你根据以下步骤完成这个定理的作图过程． (1)尺规作图；（保留作图痕迹，不写作法） ①过点作圆的切线；（点在点左侧） ②从切点作圆的弦，点在右侧，连接；（点不与点重合） (2)根据（1）中所作的图形，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；见解析； (2) 【分析】此题重点考查尺规作图、切线的判定、同角的余角相等、直径所对的圆周角是直角等知识，正确地作出过点与直线垂直的直线是解题的关键． （1）①以点为圆心，以长为半径作弧交于点，在的延长线上截取，则△是等边三角形，且，作经过、两点的直线，即得到经过点的的切线； ②在上任取一点，使点在的右侧，连接、，即得到的弦、； （2）由是的直径，于点，得，由，，得． 【详解】（1）解：①作法：1．以点为圆心，以长为半径作弧交于点； 2．作射线，在的延长线上截取； 3．作经过、两点的直线. 证明：直线就是所求的的切线． 理由：连接， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且于点， 是经过点的的切线． ②作法：1．在上任取一点，使点在的右侧； 2．连接、，线段、就是所求的的弦． （2）， 理由：是的直径，于点， ， ，， ． 3．（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且． (1)证明：是的切线； (2)连接，交于点F．当时，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得到，结合，推出，再根据是的直径，得到，进而得到，即可推出，从而得到，即可证明结论； （2）由，可得，易证是等边三角形，根据，求出，利用勾股定理求出，得到，再利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 是的直径， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的特征，等边三角形的判定与性质，勾股定理．灵活掌握切线的判定定理是解题的关键． 【拓展训练四 圆外切四边形模型】 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见解析. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，小明家有一圆形花园记作，他准备在花园的内部，内接四边形的外部进行绿化图中的阴影部分，并在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，且，． (1)求花园绿化部分的面积； (2)请用尺规作图作出圆形鱼池的圆心，并求出其半径． 【答案】(1) (2)半径为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、垂径定理的应用、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意可得，为的直径，，可求出的面积为，四边形的面积为，进而可得花园绿化部分的面积为 若在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，则圆形鱼池分别与四边形的四条边相切．作的平分线，交AC于点，则点即为所求；设分别与，，，相切于点E，F，G，H，连接，，，，，，设圆形鱼池的半径为r，则，根据，可得，求出r的值即可． 【详解】（1）解∶，，， ， 四边形为的内接四边形， ， ， 为的直径． ， 的面积为 四边形的面积为， 花园绿化部分的面积为； （2）解∶由题意得，圆形鱼池分别与四边形的四条边相切． 如图，作的平分线，交于点， 则点即为所求． 设分别与，，，相切于点E，F，G，H，连接，，，，，， 设圆形鱼池的半径为r，则， ， ， ， 其半径为 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，． （1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？ （2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图③中线段所在直线的解析式． 【答案】（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①；②． 【分析】（1）根据题意画出图形即可直接得出正方形的边长，即可求出容器甲的容积；连接，由圆周角定理的推论可知为直径，即，再在中，根据勾股定理即可求出EF和EH的长，即可求出容器乙的容积． （2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米． ①当时，根据题意即可求出此时的值，即得出M点坐标．由平行于横轴，即得出N点坐标，即6小时后高度差仍为米，由此即可列出关于a的等式，解出a即可． ②设注水b小时后，，根据题意可列出关于b的等式，解出b即得到P点坐标．设线段所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式． 【详解】（1）由图知，正方形的边长， ∴容器甲的容积为立方米． 如图，连接， ∵， ∴为直径． 在中，，， 根据勾股定理，得，， ∴容器乙的容积为立方米． （2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米． ①当时，． ∵平行于横轴， ∴，． 由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米， ∴． 解得． ②设注水b小时后，，则有． 解得，即． 设线段所在直线的解析式为， ∵、在直线上， ∴， 解得：． ∴线段所在直线的解析式为． 【点睛】本题考查圆的内接和外切四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及一次函数的实际应用．根据题意画出图形求出两个容器的各边长和理解题意找出等量关系是解答本题的关键． 【拓展训练五 圆的综合问题】 1．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E． (1)求证：BC平分∠DBA； (2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得，由，得，则，即平分； （2）连接交于点，由得，则垂直平分，是的中位线，则，而，根据勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：证明：如图1，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）如图2，连接交于点， ， ， ，， ， ，，， ， 设的半径为，则， ， ，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 的半径为． 【点睛】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上； （1）求证：4a+b=0； （2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由； （3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）DE与圆A相切；（3）． 【详解】试题分析：（1）由题意可知（4，0），由抛物线经过点O可求得c=0，将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式可证得：4a+b=0； （2）如图1所示：由菱形的性质可知：DN=NB，DN⊥AN，由OM=AD=AB，可证明AD=AB=DB，由AE=2可知AE=EB，由等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥DE，从而可证明DE与圆A相切； （3）如图2所示．设点P的坐标为（2，m）．由题意可知点E的坐标为（﹣2，2），设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a即m=﹣4a．由∠OPM为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知﹣4a＜﹣2、﹣4a＞﹣4，从而可求得a的取值范围． 解：（1）∵O的坐标为（0，0），抛物线的对称轴为x=2， ∴点M的坐标为（4，0）． ∵抛物线经过点O， ∴c=0． 将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式得：16a+4b=0． 整理得：4a+b=0． （2）DE与圆A相切． 理由：如图1所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴DN=NB，DN⊥AN． ∵∠AOD=∠AON=∠DNA=90°， ∴四边形OAND为矩形． ∴OA=DN=2． ∴DB=OM=4． ∵OM=AD=AB， ∴AD=AB=DB． ∵AE为圆A的半径， ∴AE=EB=2． ∵AD=DB，AE=EB． ∴AE⊥DE． ∴DE与圆A相切． （3）如图2所示． 设点P的坐标为（2，m）． ∵OM为圆A的直径， ∴∠OEM=90°． ∵AE=2，OA=2， ∴点E的坐标为（﹣2，2）． 设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a． ∴m=﹣4a． ∵∠OPM为锐角， ∴点P在点E的下方． ∴﹣4a＜﹣2． 解得：a＞． 在Rt△AOD中，OD==2． ∴AC=4． ∵点P在菱形的内部， ∴点P在点C的上方． ∴﹣4a＞﹣4． 解得：a＜． ∴a的取值范围是． 考点：二次函数综合题． 1．（24-25九年级上·河北·期末）已知分别是的半径，d是两圆的圆心距，当时，两圆（   ） A．外切 B．内切 C．外离或内含 D．相交 【答案】A 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是熟记两圆位置关系与圆心距d，两圆半径的数量关系间的联系． 根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径的数量关系间的联系，即可得到答案． 【详解】解：， 相切，即两圆外切． 故选：A． 2．（2025九年级上·山东·专题练习）直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直线l与相交， ∴点O到直线l的距离， 又∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【详解】解：如图所示，为的外接圆， 延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上， ∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ． 故选择：C． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的直径，P是延长线上一点；与相切于点C，若，则 ° 【答案】24 【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，连接，由切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理即可得到，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点C， ， ， ， ， 故答案为：24． 7．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则 ． 【答案】110° 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE． 【详解】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°−50°−60°＝70°， ∵E，D是切点， ∴∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE＝360°−90°−90°−70°＝110°． 故答案为：110°． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆和切线的性质，三角形内角和，四边形内角和，是基础知识要熟练掌握． 8．（24-25九年级上·江西南昌·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 9．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图所示，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），的半径为1，的半径为2，要使与静止的内切，那么由图示位置需向右平移 个单位长. 【答案】4或6 【分析】由⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，可得需AB=2-1=1，则可求得⊙A由图示位置需向右平移的单位长度． 【详解】∵⊙A的半径为1，⊙B的半径为2， ∴要使⊙A与静止的⊙B内切， 需AB=2-1=1， ∴⊙A由图示位置需向右平移的单位长为4或6 故填：4或6. 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量关系间的联系. 10．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ． 【答案】4- 【分析】首先根据题意，判断出当AB旋转至OC恰好过点D时，D到AB的距离最小，然后根据垂径定理，即可得解. 【详解】当AB旋转至OC恰好过点D时，D到AB的距离最小，即DC的距离 AB=6，OA=5 根据垂径定理得AC=3， 又∵点D的坐标为（﹣2，1）， ∴ ∴DC=OC-OD=4- 【点睛】此题主要考查垂径定理的应用，熟练掌握，即可解题. 11．（24-25九年级上·贵州黔西·期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 【答案】12 【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果． 【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴的面积为： ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查尺规作图，（1）连接并延长，以点B为圆心，的长为半径画弧，交射线于点C，再分别以点A、C为圆心，大于线段的长度为半径作弧，交于点D，再作直线即可； （2）连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线即可． 【详解】解：（1）如图，射线即为所求； （2）如图，连接，分别以点C、D为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点E、F，连接交于点G，再以点G为半径，的长度为半径作弧，交于点M，作直线，直线即为所求，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 13．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，是的切线，． (1)如图①，若，求直径的长； (2)如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 【答案】(1) (2)，； 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．； （1）由题意得；推出即可求解； （2）连接，同理可得；根据，推出，即；进而得，设半径为，则，根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴，即； ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，； ∴， ∴； ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴； 设半径为，则， ∵， ∴，解得：， ∴； 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）实践探索题：在生产、生活中，我们会经常遇到捆扎圆柱管的问题．下面，我们来探索捆扎时，所需要的绳子的长度(不计接头部分)与圆柱管的半径r之间的关系． (1)当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，截面如图所示： 请你完成下表： 圆柱管个数 1 2 3 …… 绳子长度 …… (2)当圆柱管的放置方式是“两层叠放(每一个圆都和至少两个圆外切)”时，截面如图所示： 请你填写下表： 圆柱管个数 3 4 5 6 …… 绳子长度 …… 【答案】(1)，；(2)，，，. 【分析】（1）随着圆柱管的增多，弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多4个半径长； （2）以3个圆柱管为基础，随着圆柱管的增多，弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多2个半径长. 【详解】（1）根据弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多4个半径长，得4r+2πr，8r+2πr； （2）根据弧长部分相加永远是一个圆的周长，每增加一个，便多2个半径长，得6r+2πr，8r+2πr，10r+2πr，12r+2πr. 【点睛】解决本题的关键是观察分析得到每类圆柱管的放置规律． 15．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 【答案】[感知] ；[探究] 上述结论成立，证明见解析；[应用] 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质： [感知] 过点C作的垂线交延长线于点F，连接，证明，，即可求解； [探究] 过点C作的垂线交延长线于点G，连接，证明，，即可求解； [应用] 过点C作的垂线交延长线于点H，可证明四边形是矩形，再由四边形是的内接四边形，可证明，可证得，从而得到，，可证明四边形是正方形，从而得到，即可求解． 【详解】解：[感知]过点C作的垂线交延长线于点F，连接， ∵为等边的外接圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： [探究] 上述结论成立，证明如下： 如图，过点C作的垂线交延长线于点G，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； [应用]如图，过点C作的垂线交延长线于点H， ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E为的三等分点，点D与点C位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线和圆的位置关系重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 有关切线的概念辨析 题型三 切线的判定与性质定理 题型四 应用切线长定理求解 题型五 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型六 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十一 圆和圆的位置关系 题型十二 尺规作图一一过圆外一点作圆的切线 题型十三 三角形内心有关应用 拓展训练一 直线与圆的位置关系综合 拓展训练二 三角形内切圆与外接圆综合 拓展训练三 切线的性质和判定的综合应用 拓展训练四 圆外切四边形模型 拓展训练五 圆的综合问题 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 【即时训练】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 知识点二、切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 知识点二 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 【即时训练】 1．（2025·浙江台州·模拟预测）如图，是的直径，切于点，连结，，若，则的 度 数 为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）用文字语言写出圆的切线的性质定理： 【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为2，则反映直线l与⊙O位置关系的图形（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，为等边三角形的高，点在的延长线上，且，，的半径为，若将绕点按顺时针方向旋转，在旋转过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（   ） A．次 B．次 C．次 D．次 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 3．（24-25九年级上·河北·期中）如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【经典例题二 有关切线的概念辨析】 【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）下列命题中，真命题是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的重心到三个顶点的距离相等 C．等弧所对的圆心角相等 D．经过圆上一点的直线是圆的切线 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为的中点，以点为圆心、长为半径作圆，恰好点在上，连接，若，下列说法中不正确的是( ) A．D是劣弧BE的中点 B．CD是⊙O的切线 C．AE // OD D．∠DOB=∠EAD 2．（24-25九年级·福建福州·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 3．（2025·浙江·模拟预测）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为 ． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【经典例题三 切线的判定与性质定理】 【例3】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ．    3．（2025九年级上·江苏南京·模拟预测）如图，两个同心圆 O，小圆的半径为 1，大圆的半径为，点 A 为小圆上的动点，P、Q 是大圆上的两个动点，且 ，则 的长的最大值是 ． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）内接于，直径平分分别交和于E、F， (1)如图1，求证：； (2)若交于D，连接并延长到G，平分交于H， ①如图2，若G正好在的延长线上，，试用含m的式子表示； ②若四边形的外角平分线也是的切线，，请在图3中画出符合条件的草图，并求的半径． 【经典例题四 应用切线长定理求解】 【例4】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是的内切圆，切点分别是，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为 ． 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若时，求的长． 【经典例题五 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 【例5】（2025·河北石家庄·模拟预测）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（　　） A．0＜OA≤或2.5≤OA＜5 B．0＜OA或OA＝2.5 C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形中，，，，点在边上运动以为圆心，为半径作，若与平行四边形的边有四个公共点，则的长度满足条件是 ． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【经典例题六 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例6】（2025·天津滨海新·模拟预测）的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·河北·阶段练习）已知圆的半径为6.点到某条直线的距离为8，则这条直线可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线与，轴分别交于A，B两点，C是以D(2，0)为圆心，为半径的圆上一动点，连接AC，BC，则△ABC的面积的最大值是 平方单位． 4．（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒． （1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由． （2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值． 【经典例题七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例7】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OA=4cm，∠AOC=30°，且点A也在半径为1cm的⊙P上，点P在直线AB上，⊙P以1cm/s的速度从点A出发向点B的方向运动 s时与直线CD相切． 3．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，直角坐标系中，⊙A的半径为3，点A的坐标为(﹣3，﹣4)，若将⊙A沿y轴方向平移，平移后，使⊙A上只有3个点到x轴的距离为2，则平移后点A的坐标为 ． 4．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在等腰和等腰中，． (1)求证； (2)①如图1，点在上，猜想线段与的关系是________； ②把绕直角顶点旋转到图2的位置，①中的结论还成立吗？说明理由； (3)把绕点在平面内转动一周，若，，、交于点时，连接，试求面积的最大值． 【经典例题八 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例8】（2025·四川凉山·模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 3．（24-25九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【经典例题九 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例9】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形的边长是，，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处，分别与，，相切，切点分别为F、G、H，则的半径为 ．    4．（24-25九年级上·河南漯河·期中）已知，如图，在中，，请根据下列要求解决问题：    (1)利用尺规作出的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，内切圆的半径为1，求的周长． 【经典例题十 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例10】（24-25九年级上·天津·期中）如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，点在线段上，内切圆半径的最大值是(    )    A．1 B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 3．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，已知F是平行四边形ABCD的边DC中点，若三角形EFC，ABE，AFD的面积分别为3平方厘米，4平方厘米，5平方厘米，平行四边形ABCD的面积是整数．则三角形AEF的面积为 ． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【经典例题十一 圆和圆的位置关系】 【例11】（2025·浙江·模拟预测）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）． A． B． C． D． 1．（2025·江西抚州·模拟预测）图1中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为；图2中的四个圆半径相等，并依次外切，且与正方形边相切，设这四个圆的面积之和为；图3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形边相切，设这九个圆的面积之和为；……．如果正方形的边长相等，那么和具有怎样的大小关系（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川·期末）如图，、的直径分别为、，圆心距为，如果由图示位置沿直线向右平移，则此时该圆与的位置关系 ． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，，如果以为直径的圆与以为圆心、为半径的圆相交，那么的取值范围是 ． 4．（2025·福建·模拟预测）情境：某工厂需从一块长、宽的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘． (1)任务1：如图1，两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径； (2)任务2：如图2，是矩形的对角线，圆和圆分别是和的内切圆，圆与分别切于三点，圆与分别切于两点，求圆的半径； (3)任务3：观察图2可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，任务2的圆可能不是最大．在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比任务2更大的圆？如果可以请求出最大半径，如果不能请说明理由． 【经典例题十二 尺规作图一一过圆外一点作圆的切线】 【例12】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴ °． ∵为半径，∴为的 ，且 （填“”、“”或“”）．    2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和外一点． 尺规作图：在图中，过点作的两条切线、，、为切点（要求：两种方法保留作图痕迹，写出简单作法）． 3．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知，用不含刻度的直尺和圆规作图．要求：不写作图步骤，写出必要的文字说明． (1)作出所在圆的圆心O； (2)过点P作圆O的一条切线． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知是的弦．    (1)如图①，只用无刻度的直尺作弦，使； (2)如图②，点Q是圆外一点，用无刻度的直尺和圆规过Q点作弦． 【经典例题十三 三角形内心有关应用】 【例13】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江西南昌·期末）根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定内心的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知中，，，点I是的内心，点 O为的外心，则的内心I与外心O的距离 ． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的外接圆，是的直径，I为的内心，连接，，，且．若，则的长为 ． 4．（2025·山东济宁·模拟预测）如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图1，如果与相切于点，那么，即，根据“圆周角定理的推论：的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点既在上，也在以为直径的圆上，是两圆的公共点． (1)请根据上面的分析在图2中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段的中点，然后画以点为圆心，以为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为、，画出直线和，即为经过圆外一点的的两条切线； (2)在（1）的条件下，若的直径与交于点，连接、、．求证：点是的内心． 【拓展训练一 直线与圆的位置关系综合】 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，，点M在上，且，以点M为圆心，r为半径画圆，试讨论r的大小与所画的圆和射线的公共点个数之间的对应关系． 2．（24-25九年级上·山东济宁·期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和，给出如下定义：如果的半径为r，外一点P到的切线长小于或等于2r，那么点P叫做的“离心点”． （1）当的半径为1时， ①在点中，的“离心点”是_____________； ②点P(m，n)在直线上，且点P是的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围； （2） 的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴．y轴分别交于点A、B．如果线段AB上的所有点都是的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒． （1）∠BCD的度数为______°. （2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形. （3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P． ①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. ②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个． 【拓展训练二 三角形内切圆与外接圆综合】 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．    (1)求证：是的切线； (2)求的直径； (3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 　　． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【拓展训练三 切线的性质和判定的综合应用】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）古希腊数学家欧几里得创作的数学著作《几何原本》中记载了一个有关圆的定理，如图，已知是圆的直径，请你根据以下步骤完成这个定理的作图过程． (1)尺规作图；（保留作图痕迹，不写作法） ①过点作圆的切线；（点在点左侧） ②从切点作圆的弦，点在右侧，连接；（点不与点重合） (2)根据（1）中所作的图形，直接写出与的数量关系． 3．（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且． (1)证明：是的切线； (2)连接，交于点F．当时，若，求的长． 【拓展训练四 圆外切四边形模型】 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，小明家有一圆形花园记作，他准备在花园的内部，内接四边形的外部进行绿化图中的阴影部分，并在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，且，． (1)求花园绿化部分的面积； (2)请用尺规作图作出圆形鱼池的圆心，并求出其半径． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，． （1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？ （2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水流量增加立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相同，停止注水．在整个注水过程中，当注水时间为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水时间（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，解决下列问题： ①求的值； ②求图③中线段所在直线的解析式． 【拓展训练五 圆的综合问题】 1．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E． (1)求证：BC平分∠DBA； (2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径． 3．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上； （1）求证：4a+b=0； （2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由； （3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围． 1．（24-25九年级上·河北·期末）已知分别是的半径，d是两圆的圆心距，当时，两圆（   ） A．外切 B．内切 C．外离或内含 D．相交 2．（2025九年级上·山东·专题练习）直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的直径，P是延长线上一点；与相切于点C，若，则 ° 7．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则 ． 8．（24-25九年级上·江西南昌·期末）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 9．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图所示，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），的半径为1，的半径为2，要使与静止的内切，那么由图示位置需向右平移 个单位长. 10．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ． 11．（24-25九年级上·贵州黔西·期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，点B在上，过点B作的切线； （2）如图，点D在外，过点D作的切线． 13．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，是的切线，． (1)如图①，若，求直径的长； (2)如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）实践探索题：在生产、生活中，我们会经常遇到捆扎圆柱管的问题．下面，我们来探索捆扎时，所需要的绳子的长度(不计接头部分)与圆柱管的半径r之间的关系． (1)当圆柱管的放置方式是“单层平放”时，截面如图所示： 请你完成下表： 圆柱管个数 1 2 3 …… 绳子长度 …… (2)当圆柱管的放置方式是“两层叠放(每一个圆都和至少两个圆外切)”时，截面如图所示： 请你填写下表： 圆柱管个数 3 4 5 6 …… 绳子长度 …… 15．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $