专题24.7 直线与圆的位置关系（2）（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题24.7 直线与圆的位置关系 教学目标 1. 掌握切线长的定理以及切线长定理，并能够在题目熟练应用。 2. 掌握三角形内切圆的定义以及内切圆的性质，并能够熟练的运用其解决相关题目。 3. 掌握弦切角的定义以及弦切角定理，并能够在题目中熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1）切线长与切线长定理； （2）三角形的内切圆与内心； （3）弦切角与弦切角定理。 2. 难点 （1）切线长定理与弦切角定理的应用； （2）内切圆性质的应用。 知识点01 切线长及切线长定理 1. 切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA与PB的长度是切线长。 2. 切线长定理： 从圆外一点作圆的切线，可以作 条，它们的长度 。圆心和这一点的连线 两 条切线的夹角。 即PA PB，∠APO ∠BPO。 推广：由切线长定理的结论可得： ①△APO △BPO∠AOP ∠BOPAM (⌒) AM (⌒)AB OP。 【即学即练1】 1．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【即学即练2】 2．如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB于点M，N．若PA＝12，则△PMN的周长为（　　） A．12 B．13 C．16 D．24 知识点02 三角形的内切圆与内心 1. 三角形内切圆的定义： 如图：与三角形各边都 的圆叫三角形的 。 2. 三角形的内心： 三角形的 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角 的交点，到三角形三边的距离 。 特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 3. 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系： 若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为 。 4. 三角形的面积与内切圆半径的关系： 若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： 。 【即学即练1】 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD，BD，则∠ADB的度数为（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 【即学即练2】 4．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝34°，则∠OBC的度数为（　　） A．27° B．24° C．22° D．20° 【即学即练3】 5．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．如图，书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，则该直角三角形内切圆的半径为（　　） A．1步 B．2步 C．3步 D．2.5步 【即学即练4】 6．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F．若⊙O的半径为r，AB＝6，AC＝8，BC＝12，则△ABC的面积为（　　） A．r B．12r C．13r D．26r 知识点03 弦切角及弦切角定理 1. 弦切角的定义： 如图，像∠ACP这样顶点在 ，一边与圆 ，一边与圆 的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。 2. 弦切角定理： 弦切角的度数与弦所对的圆周角度数 。等于弦所对的圆心角度数的 。 【即学即练1】 7．如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠ABD的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 题型01 切线长定理的应用 【典例1】如图，△ABC的内切圆圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝6，BC＝10，CA＝12．则AF的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【变式1】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm，则△PFG的周长为（　　） A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm 【变式2】如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于（　　） A．12 B．6 C．8 D．10 【变式3】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，⊙O的半径r＝5，则四边形ABCD的面积为（　　） A．44 B．88 C．100 D．110 题型02 内切圆的性质求角度 【典例1】如图点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，∠BOC＝160°，则∠BIC的度数为（　　） A．110° B．125° C．130° D．140° 【变式1】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为（　　） A．25° B．35° C．40° D．45° 【变式2】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【变式3】如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B＝42°，P是上一点，则∠DPE的度数是（　　） A．42° B．48° C．58° D．69° 题型03 内切圆的性质求线段 【典例1】如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（　　） A． B．3 C． D． 【变式2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【变式3】已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，则OI的值为（　　） A． B． C． D． 题型04 线切角的应用 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 【变式1】如图，已知半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝　 度． 【变式2】如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（　　） A．97° B．104° C．116° D．142° 【变式3】如图，五边形ABCDE为⊙O的内接五边形，对角线AC为⊙O的直径，∠DAC＝30°，FA，GC，KD为五边形ABCDE的外接圆的三条切线，则∠BCG+∠BAF+∠CDK＝ 　 　 ． 1．6．三角形的内心是（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C．若AD＝6，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．12 C．8 D．16 3．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（　　） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 4．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　） A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70° 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为（　　） A．cm B．1cm C．cm D．2cm 6．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BC＝5，则△ABC的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于F，E两点，若AD＝3，BC＝6，则EF的长是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝10，AC＝24，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，则的值是（　　） A． B． C． D． 9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB．若AE＝2，则△ABE的面积为（　　） A． B．2 C． D．1 11．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是　 　 ． 12．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接AB，PO，PO交于AB点D，交⊙O于点C，CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径长为　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则△ABC的内切圆半径r＝　 　 ． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边AB上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，△BCD的内切圆，连结EF，则EF的长是 　 　 ． 16．定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 问题情景：已知如图所示，直线AB是⊙O的切线，切点为C，CD为⊙O的一条弦，∠P为弧CD所对的圆周角． （1）猜想：弦切角∠DCB与∠P之间的关系．试用转化的思想：即连接CO并延长交⊙O于点E，连接DE，来论证你的猜想． （2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论． 17．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°． （1）求△ABC的三个内角的大小； （2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC﹣BC． 18．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF． （1）求证：AE是∠BAC的平分线； （2）若∠ABD＝60°，则AB与EF是否平行？请说明理由． 19．已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP． （1）求证：BD＝PD； （2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长． 20．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数； （2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明； （3）若，，求△ABC的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.7 直线与圆的位置关系 教学目标 1. 掌握切线长的定理以及切线长定理，并能够在题目熟练应用。 2. 掌握三角形内切圆的定义以及内切圆的性质，并能够熟练的运用其解决相关题目。 3. 掌握弦切角的定义以及弦切角定理，并能够在题目中熟练应用。 教学重难点 1. 重点 （1）切线长与切线长定理； （2）三角形的内切圆与内心； （3）弦切角与弦切角定理。 2. 难点 （1）切线长定理与弦切角定理的应用； （2）内切圆性质的应用。 知识点01 切线长及切线长定理 1. 切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA与PB的长度是切线长。 2. 切线长定理： 从圆外一点作圆的切线，可以作 2 条，它们的长度 相等 。圆心和这一点的连线 平分 两 条切线的夹角。 即PA ＝ PB，∠APO ＝ ∠BPO。 推广：由切线长定理的结论可得： ①△APO ≌ △BPO∠AOP ＝ ∠BOPAM (⌒) ＝ AM (⌒)AB ⊥ OP。 【即学即练1】 1．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP＝6， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4． 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB于点M，N．若PA＝12，则△PMN的周长为（　　） A．12 B．13 C．16 D．24 【答案】D 【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴PA＝PB＝12， 同理，可得MC＝MA，NC＝NB， ∴△PMN的周长 ＝PM+CM+CN+PN ＝PM+AM+PN+BN ＝PA+PB ＝2PA ＝24． 故选：D． 知识点02 三角形的内切圆与内心 1. 三角形内切圆的定义： 如图：与三角形各边都 相切 的圆叫三角形的 内切圆 。 2. 三角形的内心： 三角形的 内切圆 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角 角平分线 的交点，到三角形三边的距离 相等 。 特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。 3. 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系： 若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为 或 。 4. 三角形的面积与内切圆半径的关系： 若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： 。 【即学即练1】 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD，BD，则∠ADB的度数为（　　） A．120° B．135° C．145° D．150° 【答案】B 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵⊙D是△ABC的内切圆， ∴AD平分∠CAB，BD平分∠CBA， ∴∠DAB＝∠DACCAB，∠DBA＝∠DBC∠CBA， ∴∠DAB+∠DBA（∠CAB+∠CBA）90°＝45°， ∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝180°﹣45°＝135°， 故选：B． 【即学即练2】 4．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝34°，则∠OBC的度数为（　　） A．27° B．24° C．22° D．20° 【答案】C 【解答】解：连接OC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∵∠CAI＝34°， ∴∠BAC＝2∠CAI＝68°， ∵点O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠BOC＝2∠BAC＝136°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， 故选：C． 【即学即练3】 5．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．如图，书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，则该直角三角形内切圆的半径为（　　） A．1步 B．2步 C．3步 D．2.5步 【答案】B 【解答】解：如图，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O为Rt△ABC的内切圆，分别与三边切于D、E、F， 连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r， ∵AC、BC与⊙O相切， ∴OD⊥BC，OE⊥AC， ∴四边形ODCE为矩形， 而CD＝CE， ∴矩形ODCE为正方形， ∴CD＝CE＝OD＝r， ∴BD＝5﹣r，AE＝12﹣r， ∵BD＝BF，AF＝AE， ∴BF＝5﹣r，AF＝12﹣r， 在直角三角形ABC中，则勾股定理得：AB13， ∴5﹣r+12﹣r＝13， 解得r＝2， ∴⊙O的半径为2步． 故选：B． 【即学即练4】 6．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F．若⊙O的半径为r，AB＝6，AC＝8，BC＝12，则△ABC的面积为（　　） A．r B．12r C．13r D．26r 【答案】C 【解答】解：连接OD、OE、OF、OA、OB、OC， ∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∵OD＝OE＝OF＝r，AB＝6，AC＝8，BC＝12， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC6r12r8r＝13r， 故选：C． 知识点03 弦切角及弦切角定理 1. 弦切角的定义： 如图，像∠ACP这样顶点在 圆上 ，一边与圆 相交 ，一边与圆 相切 的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹角。 2. 弦切角定理： 弦切角的度数与弦所对的圆周角度数 相等 。等于弦所对的圆心角度数的 一半 。 【即学即练1】 7．如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O切线，过B点作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠ABD的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵AC是⊙O切线， ∴∠DAE＝∠B， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DAE＝∠B＝∠BAE， ∵BD⊥AC， ∴∠DAE＝∠B＝∠BAE＝30°． 故选：A． 题型01 切线长定理的应用 【典例1】如图，△ABC的内切圆圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝6，BC＝10，CA＝12．则AF的长为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【解答】解：设AF＝a， ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴AF＝AE，CE＝CD，BF＝BD， ∵AB＝6，BC＝10，CA＝12， ∴BD＝BF＝6﹣a，CD＝CE＝12﹣a， ∵BD+CD＝BC＝10， ∴（6﹣a）+（12﹣a）＝10， 解得：a＝4， 即AF＝4， 故选：B． 【变式1】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm，则△PFG的周长为（　　） A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm 【答案】D 【解答】解：PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm， 由题意可得；AF＝FE，GE＝BG，PA＝PB＝5（cm）， ∴△PFG的周长＝PF+FG+GP ＝PF+FE+EG+GP ＝PF+FA+GB+GP ＝PA+PB ＝10（cm）． 故选：D． 【变式2】如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E，若△PDE的周长为12，则PA等于（　　） A．12 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B， ∴PA＝PB， ∵C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E， ∴CD＝AD，CE＝BE， ∵△PDE的周长为12， ∴PD+DC+CE+PE＝PD+AD＝BE+PE＝PA+PB＝2PA＝12， ∴PA＝6， 故选：B． 【变式3】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，⊙O的半径r＝5，则四边形ABCD的面积为（　　） A．44 B．88 C．100 D．110 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AD+BC＝AB+CD＝22， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44， ∵⊙O的半径r＝5， ∴四边形ABCD的面积四边形ABCD的周长×r110． 故选：D． 题型02 内切圆的性质求角度 【典例1】如图点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，∠BOC＝160°，则∠BIC的度数为（　　） A．110° B．125° C．130° D．140° 【答案】C 【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC＝160°， ∴∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠IBC+∠ICB＝50°， ∴∠BIC＝130°， 故选：C． 【变式1】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为（　　） A．25° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【解答】解：连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝20°， ∴∠BOC＝180°﹣2×20°＝140°， ∴∠BAC∠BOC＝70°， ∵点I是△ABC的内心， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【答案】C 【解答】解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∴， ∴∠CAD＝∠CBD＝25°， 故选：C． 【变式3】如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B＝42°，P是上一点，则∠DPE的度数是（　　） A．42° B．48° C．58° D．69° 【答案】D 【解答】解：连接OD、OE， ∵⊙O与AB、BC分别相切于点D，E， ∴AB⊥OD，BC⊥OE， ∴∠ODB＝∠OEB＝90°， ∵∠B＝42°， ∴∠DOE＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠B＝138°， ∴∠DPE∠DOE＝69°， 故选：D． 题型03 内切圆的性质求线段 【典例1】如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F，H，G，连接OF，OH，OG， ∴四边形OHCG是正方形， 由切线长定理可知：AF＝AG， ∵DE是⊙O的切线， ∴MD＝MF，EM＝EG， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴内切圆的半径（AC+BC﹣AB）＝1， ∴CG＝1， ∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝2AG＝6． 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r， ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，， ∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r， ∴四边形OECF是正方形， ∴CE＝CD＝OD＝r， ∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r， ∵AF+BF＝AB＝5， ∴3﹣r+4﹣r＝5， ∴r＝1． ∴OD＝CD＝1， ∴AD＝3． ∴AO， 故选：C． 【变式2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC的内心，如图，连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H， ∴∠CBF＝∠ABF，∠ACE＝∠BCF， ∴， ∴OG⊥AC，AG＝CG， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BFC＝90°， ∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∴△CEF是等腰直角三角形，， 在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF2， ∵S△BCFBF•CFBC•FH， ∴FH2， ∵S△OCFOC•FHOF•CG，OC＝OF， ∴FH＝CG＝2， ∴AC＝2CG＝4， 故选：B． 【变式3】已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，则OI的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】如图，连接AI并延长交BC于D，连接BI，BO． ∵点I为△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD与△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（SAS）， ∴BD＝CD，∠ADC＝∠ADB＝90°， 即AD垂直平分BC， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BD＝CD＝3， ∴， 设AO＝BO＝R， 由勾股定理得（4﹣R）2+32＝R2， 解得， ∴． 作HI⊥AB交AB于H，JI⊥AB交AC于J， ∵点I为△ABC的内心， ∴HI＝JI＝DI， 设ID＝a， ∴， 即16a＝24， 解得， 即， ∴． 故选：B． 题型04 线切角的应用 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【解答】解：连接OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°， ∴∠BCD＝∠A＝25°， ∵∠OBC＝∠BCD+∠D， ∴∠D＝65°﹣25°＝40°． 故选：C． 【变式1】如图，已知半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝　30　 度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB＝2，OA， ∴cos∠BAO， ∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°； ∵OC是⊙M的切线， ∴∠BOC＝∠BAO＝30°， ∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°． 故答案为：30． 【变式2】如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（　　） A．97° B．104° C．116° D．142° 【答案】C 【解答】解：∵BD是圆O的直径， ∴∠BAD＝90°， 又∵AC平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF＝45°， ∵直线ED为圆O的切线， ∴∠ADE＝∠ABD＝19°， ∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°． 故选：C． 【变式3】如图，五边形ABCDE为⊙O的内接五边形，对角线AC为⊙O的直径，∠DAC＝30°，FA，GC，KD为五边形ABCDE的外接圆的三条切线，则∠BCG+∠BAF+∠CDK＝ 　120°　 ． 【答案】120°． 【解答】解：连接BD，如图所示： ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CDB+∠ADB＝90°， ∵FA，GC，KD为⊙O的切线，∠DAC＝30°， ∴∠BCG＝∠CDB，∠BAF＝∠ADB，∠CDK＝∠DAC＝30°， ∴∠BCG+∠BAF+∠CDK＝∠CDB+∠ADB+∠DAC＝90°+30°＝120°． 故答案为：120°． 1．6．三角形的内心是（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【解答】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点， 故选：D． 2．如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C．若AD＝6，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】B 【解答】解：∵AD，AE分别是⊙O的切线， ∴AE＝AD， ∵BD、BC分别为⊙O的切线， ∴BD＝BF， ∵CF、CE分别为⊙O的切线， ∴CE＝CF， ∴三角形ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BD+AC+CE＝AD+AE＝2AD＝12． 故选：B． 3．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝4，AC＝3，则BD的长是（　　） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AP、AC是⊙O的切线， ∴AP＝AC＝3， ∵AB＝4， ∴PB＝AB﹣AP＝4﹣3＝1， ∵BP、BD是⊙O的切线， ∴BD＝BP＝1， 故选：D． 4．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA＝5，∠P＝40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　） A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70° 【答案】D 【解答】解：连接OA，OB，如图所示： 由切线的性质以及切线长定理得：∠OAP＝∠OBP＝90°，CA＝CE，DB＝DE，PA＝PB， ∵∠P＝40°， ∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠OAP﹣∠OBP＝140°， ∴； △PCD的周长＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝2PA＝10， 故选：D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为（　　） A．cm B．1cm C．cm D．2cm 【答案】B 【解答】解：连接OE、OF， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm， ∴AB5（cm）， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F， ∴AE＝AD，BF＝BD，CE＝CF，AC⊥OE，BC⊥OF， ∴CE+CF＝2CF＝AC+BC﹣AE﹣BF＝AC+BC﹣（AD+BD）＝AC+BC﹣AB＝4+3﹣5＝2（cm）， ∴CF＝1cm， ∵∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∵OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， ∴OF＝CF＝1cm， ∴⊙O的半径为1cm， 故选：B． 6．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BC＝5，则△ABC的周长为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， ∴AD＝AF＝3，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝5， ∴AB+AC+BC＝AD+AF+BD+CF+BC＝3+3+5+5＝16， ∴△ABC的周长为16， 故选：A． 7. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于F，E两点，若AD＝3，BC＝6，则EF的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如图， ∵AD∥BC，AB⊥BC，DG⊥BC， ∴四边形ABGD是矩形， ∴BG＝AD＝3，CG＝BC﹣BG＝6﹣3＝3， ∵点E、F、H是切点， ∴DF＝DH，CF＝CE，OC平分∠ECF， ∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线， ∴EM＝FM， 设圆O半径为R，则BE＝R，DG＝2R， ∴CE＝CF＝6﹣R，DF＝DH＝3﹣R， ∵DG2+CG2＝CD2， ∴（2R）2+32＝[（3﹣R）+（6﹣R）]2， 解得：R＝2， ∴CE＝6﹣2＝4， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为中线，若AB＝10，AC＝24，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设△ABD与△ACD的内切圆的圆心分别为点I、J，⊙I与△ABD的三边分别相切于点E、F、L，⊙J与△ACD的三边分别相切于点P、Q、R， ∵∠BAC＝90°，AB＝10，AC＝24， ∴BC26， ∵AD为△ABC的中线， ∴AD＝BD＝CDBC＝13，S△ABD＝S△ACD， 连接IE、IF、IL、IA、IB、ED，则IE⊥BD、IF⊥AB、IL⊥AD，IE＝IF＝IL＝r1， ∴S△ABD13r110r113r1， 连接JP、JQ、JR、JA、JC、JD，则JP⊥AD、JQ⊥AC、JR⊥CD，JP＝JQ＝JR＝r2， ∴S△ACD13r224r213r2， ∴13r110r113r113r224r213r2， ∴， 故选：D． 9．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵直线MN切⊙O于C点， ∴∠BCN＝∠BAC，∠ACM＝∠D＝∠B， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCN+∠ACM＝90°，∠B+∠BCN＝90°，∠D+∠BCN＝90°． 故选：C． 10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB．若AE＝2，则△ABE的面积为（　　） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【解答】解：如图，延长BE交⊙O于点F，连接AF，OF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝∠C＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵E是△ABC的内心， ∴∠EABCAB，∠EBACBA， ∴∠EAB+∠EBA（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠FEA＝45°， ∴△FEA是等腰直角三角形， ∴AEAFEF， ∵AE＝2， ∴AF＝EF＝2， ∵OE⊥EB， ∴EF＝BE＝2， ∴△ABE的面积为：BE•AF2×2＝2． 故选：B． 11．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是　72°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点， 在Rt△DEO和Rt△DFO中， ∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL）， ∴∠1＝∠2， 同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO， ∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8， ∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°， ∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°， ∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°． 故答案为：72°． 12．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接AB，PO，PO交于AB点D，交⊙O于点C，CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径长为　2.5　 ． 【答案】2.5． 【解答】解：由题意可得：PA＝PB， ∵OA＝OB，OP＝OP， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∵OA＝OB， ∴AD＝DB＝2，OP⊥AB， 设⊙O的半径长为r，则OD＝OC﹣CD＝r﹣1， AO2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣1）2+22， ∴r＝2.5， 故答案为：2.5． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝3，AF＝10，则△ABC的面积是 　30　 ． 【答案】30． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝3，AF＝AE＝10， ∴AB＝AF+BF＝13， ∵∠C＝90°，OD＝OE， ∴四边形OECD是正方形， 设EC＝CD＝x， 在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2， 故（x+3）2+（x+10）2＝132， 解得：x1＝2，x2＝﹣15（舍去）， ∴BC＝5，AC＝12， ∴S△ABC5×12＝30， 故答案为：30． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则△ABC的内切圆半径r＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5， 由勾股定理得：AC3， 如图：连接OA，OB，OC， ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴AC•BCAC•rBC•rAB•r， ∴3×4＝3r+4r+5r， 解得：r＝1． 故答案为：1． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边AB上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，△BCD的内切圆，连结EF，则EF的长是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：设⊙E与AC、AD、CD分别相切于点M、N、I，⊙F与BC、BC、CD分别相切于点P、Q、L， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵CD是边AB上的高， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵S△ABC5CD3×4， ∴CD， ∴AD， ∴BD＝AB﹣AD＝5， ∵AN＝AM，CI＝CM，DN＝DI， ∴DN＝DI＝2DN＝AD+CD﹣AC， ∴DN（AD+CD﹣AC）（3）， 同理DP（BD+CD﹣BC）（4）， 连接EF、DE、DF、EN、EI、FP、FL，则AD⊥EN，CD⊥EI，BD⊥FP，CD⊥FL， ∵∠END＝∠NDI＝∠EID＝90°，DN＝DI， ∴四边形DNEI是正方形， ∴EN＝DN， ∴DE2＝EN2+DN2＝2DN2＝2， 同理DF2＝2DP2＝2， ∵∠EDC＝∠EDA∠ADC，∠FDC＝∠FDB∠BDC， ∴∠EDF＝∠EDC+∠FDC（∠ADC+∠BDC）180°＝90°， ∴EF， 故答案为：． 16．定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 问题情景：已知如图所示，直线AB是⊙O的切线，切点为C，CD为⊙O的一条弦，∠P为弧CD所对的圆周角． （1）猜想：弦切角∠DCB与∠P之间的关系．试用转化的思想：即连接CO并延长交⊙O于点E，连接DE，来论证你的猜想． （2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）∠DCB＝∠P； 证明：∵CE是⊙O的直径， ∴∠DCE+∠E＝∠EDC＝90°； 又∵AB是⊙O的切线， ∴∠DCE+∠DCB＝90°， ∴∠DCB＝∠E； 又∵∠E＝∠P， ∴∠DCB＝∠P． （2）弦切角等于其两边所夹弧对的圆周角． （或弦切角的度数等于其两边所夹弧度数的一半．） 17．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°． （1）求△ABC的三个内角的大小； （2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC﹣BC． 【答案】（1）∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°． （2）见解答 【解答】（1）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF， ∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°， ∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°， ∴∠B＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠DOE＝60°，∠C＝360°﹣∠OEC﹣∠OFC﹣∠EOF＝30°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， ∴∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°． （2）证明：∵AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD+CF＝BE+CE＝BC， ∵AB+AC＝AD+BD+CF+AF＝2AF+BC， ∴2AF＝AB+AC﹣BC， ∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°， ∴四边形ADOF是矩形， ∴OD＝AF， ∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径， ∴d＝2OD＝2AF， ∴d＝AB+AC﹣BC． 18．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF． （1）求证：AE是∠BAC的平分线； （2）若∠ABD＝60°，则AB与EF是否平行？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接BE； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°． ∵CD切圆于E， ∴∠AEC＝∠ABE，又AC⊥CD． ∴∠CAE＝∠BAE． 即AE是∠BAC的平分线． （2）解：AB∥EF．理由如下： ∵AC⊥CD于C，BD⊥CD于D， ∴AC∥BD． ∴∠BAC＝180°﹣∠B＝120°． ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE＝60°． ∴∠DFE＝∠BAE＝60°（圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角）， ∴∠DFE＝∠ABF． ∴AB∥EF． 19．已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP． （1）求证：BD＝PD； （2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵点P是△ABC的内心， ∴∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP， ∴∠ABD＝∠ACD＝45°， ∵∠DPB＝∠BCP+∠CBP＝45°+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠EBP＝45°+∠EBP， ∴∠DPB＝∠DBP， ∴BD＝DP； （2）解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H，如图所示： ∵AB是直径，∠ABD＝45°， ∴AB＝6，△ABD是等腰直角三角形， ∴BDAB66， ∵∠BCD＝45°，BH⊥CD， ∴∠BCH＝∠CBH＝45°， ∴BH＝CH， ∴BCBH， ∵BD2＝DH2+BH2， ∴36＝（8﹣BH）2+BH2， ∴BH＝4±， ∵BC＞AC， ∴BC＝42． 20．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE． （1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数； （2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明； （3）若，，求△ABC的周长． 【答案】（1）115°； （2）见解答 （3）60． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝25°， ∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°， ∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形， ∴∠CEB+∠CAB＝180°， ∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°； （2）DI＝AD＝BD，证明如下： 如图所示，连接AI， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠CAI＝∠BAI，， ∴， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD， ∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA， ∴DI＝AD＝BD； （3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点， ∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP， ∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°， ∴CF＝CI•cos45°＝4＝CP， ∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°， ∴， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC ＝AB+AF+CF+CP+BP ＝AB+AQ+BQ+2CF ＝2AB+2CF ＝2×26+2×4 ＝60． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $