专题03 圆周角定理重难点题型专训（2个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 圆周角定理重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 圆周角的概念辨析 题型二 利用圆周角定理求角度 题型三 利用圆周角定理求长度 题型四 利用圆周角定理求面积 题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题 题型六 半圆所对的圆周角是直角问题 题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题 题型八 已知圆内接四边形求角度 题型九 求四边形外接圆的直径 拓展训练一 圆周角的材料理解型问题 拓展训练二 圆周角的新定义问题 拓展训练三 圆周角综合问题 知识点一、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，点A，B，C都在上，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 知识点二、圆的内接四边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·青海海西·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的两对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的两对角互补得到，计算求解即可得到答案． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ； 故选：A ． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）正方形边长为4，则它的外接圆半径为 ． 【答案】． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． ∵正方形边长为4， ∴正方形的对角线长为， ∴外接圆半径为． 【经典例题一 圆周角的概念辨析】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(    ) A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 【答案】C 【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE 故选：C 【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键. 2．（24-25九年级·全国·课后作业）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ． 圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ． 【答案】 圆周角 圆 相交 【解析】略 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 【答案】54° 【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴OD=OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∵AB=OD， ∴AB=OB， ∴∠AOB=∠A， ∵∠A＝18°， ∴∠AOB=18°， ∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°， ∴∠BOE=108°， ∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°． 故答案为：54° 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 4．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【经典例题二 利用圆周角定理求角度】 【例2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，点、、在上，若，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质求出，根据弧、弦的关系及等腰三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是 （用、表示） 【答案】 【分析】本题考查了圆内角的度数推导及圆周角定理的应用，解题的关键是通过作辅助线（如连接）将圆内角转化为两个圆周角的和，再利用“圆周角的度数等于它所对弧度数的一半”的性质推导圆内角度数． 连接，利用三角形外角性质（）将圆内角拆分为两个圆周角；其中是弧所对的圆周角，是弧所对的圆周角；根据圆周角与弧的关系，分别表示出两个圆周角的度数，再相加即可得到的度数． 【详解】解：连接，    ∵是的外角，   ∴；   ∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，   ∴；   ∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，   ∴；   ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，内接于，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识．根据尺规作图可得直线是弦的垂直平分线，得到，进而求出，根据圆周角定理即可求出． 【详解】解：由尺规作图可得直线是弦的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，直径弦，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据等边对等角求出的度数，再根据垂直得出，最后根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 【经典例题三 利用圆周角定理求长度】 【例3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理，三线合一，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵弦，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三线合一，勾股定理，圆的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，四边形内接于，若，的半径为3，则长为（　　） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形．熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解答的关键． 根据圆周角定理可得，再利用等腰三角形三线合一得到，含有直角三角形的性质求得，根据勾股定理得，即得． 【详解】解：如图，过点O作于E， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出，由得出，连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或（不合题意，舍去）． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，是⊙的直径，点C，D都在⊙上，且，，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是本题的关键． 先根据圆周角定理，得，再证明是等边三角形即可． 【详解】解：， ． ， ． 又， 是等边三角形． ． ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图1，内接于，点D为上一点，连接和，于点E． (1)求证：； (2)如图2，过点B作的垂线，垂足为点F，交于点G，且，若，请用含的代数式表示； (3)如图3，在（2）的条件下，点K为上一点，连接、和，与相交于点Q，延长到点R，使，过点R作的垂线，垂足为点H，延长交于点T，，在的延长线上取一点P，连接，使． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②10． 【分析】（1）如图：连接，设，则，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质求出即可求解； （2）由题意可得：，如图：连接，由“8”字三角形得，根据证明，可得，，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （3）①如图：过点K作的平行线交于点S，根据证明得可证．②如图：过点C分别作和的垂线，垂足分别为点M和点N，由圆的性质证明，根据证明得，根据证明得可得．设，根据求出a，证明得，从而，设，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵于点E， ， 设，则， ∵， ∴， ， ， ∴． （2）解：如图 2，连接． ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即． （3）解：①如图：过点K作的平行线交于点S， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即． ②如图：过点C分别作和的垂线，垂足分别为点M和点N， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 设，， ∴，解得：， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，综合运用相关知识是解题的关键． 【经典例题四 利用圆周角定理求面积】 【例4】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，，求出为等腰直角三角形，得出，结合得出当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，为， 故选：D． 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，，点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题取的中点为圆心，以长为半径画圆，根据两点之间，线段最短，当、、三点共线时，的长度最小，利用线段中点的性质得到、，利用勾股定理算出，得到为的中点，根据直角三角形性质得到，利用勾股定理逆定理得到，结合勾股定理算出，最后根据面积公式求解即可． 【详解】解：取的中点为圆心，以长为半径画圆，当、、三点共线时，的长度最小，如图所示： 点P为内一点，且满足． ， ，， ， ， ， ， 为的中点， ， ， 的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、直角三角形性质、两点之间，线段最短、圆周角定理，解题的关键在于利用圆周角定理结合勾股定理逆定理得到点的运动轨迹，并根据两点之间，线段最短确定的长度最小时，点所在位置，再根据相关性质定理求解，即可解题． 2．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，连接，根据圆周角定理得到，证明为等边三角形，得到，求出，根据，要使的面积最大，则点到的距离最大，因为，点在上，得到，当点在优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 由题意可知，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，要使的面积最大，则点到的距离最大， ∵，点在上， ∴，如图： 当点在优弧的中点时，点到的距离最大， 此时为等边三角形， 过点作于点，如图： ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最大面积为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，中，，以三边为边向外作三个正方形，分别连接三个正方形的中心，围成的的面积记为，的面积记为．若，则 ． 【答案】 【分析】连接、、、、，由题意得，，，，，从而得出，，证明四点共圆，得出，证明得到，，令与交于点，与交于点，证明出，再根据得出，过点作于，过点作于，则，，得到，令，则，由等腰直角三角形的性质得出，，计算出，由勾股定理可得，从而得出，即，代入可得，求出或，从而得到当时，，当时，，由，可得，，从而得出答案． 【详解】解：如图，连接、、、、， ， 三个正方形的中心分别为， ，，，，， ，， ， ， 四点共圆， ， ， ， ， 与的边上的高相等，与的边上的高相等， ，， 令与交于点，与交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于，过点作于，则，， ， ， 令，则， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，圆周角定理、正方形的性质、勾股定理、三角形面积公式、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．（24-25九年级上·陕西延安·期末）问题提出 （1）如图1，的面积为，弦，C是．上的一个动点，求面积的最大值； 问题解决 （2）如图2，的半径为，圆内中有一个四边形区域，连接，为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值． 【答案】（1）；（2）当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为． 【分析】（1）连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，由此进行计算即可得出答案； （2）连接，设相交于点，由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，则阴影部分面积最小，由等边三角形的性质可得，，由圆周角定理可得，结合为的中点，得出从而得到四边形是菱形，求出，，，，最后根据进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1，连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，面积最大， ， ∵的面积为， ∴的半径为， ∵，， ， ， ， ∴面积的最大值为； （2）如图2，连接，设相交于点， 由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，则阴影部分面积最小， 是等边三角形， ，， 由题意可知，是的直径， ， ， 为的中点， ， ， 四边形是菱形， 在中，，， ， ， ∴阴影部分面积最小值为 故当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为． 【点睛】本题考查圆的综合运用，菱形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】 【例5】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故， 故选A． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的内角和与外角定理，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．根据垂径定理得，，得到，推出，根据三角形的外角定理求出，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：为的直径，且于点， ，， ， ，即， ， 设与交于点G， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点都是上的点，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接、，根据圆内接四边形的性质求出 ，根据等腰三角形的性质求出 ，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接、， 点都是上的点， ， ， ， ， ， 点都是上的点， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·甘肃临夏·期中）如图，点O为正方形的对称中心，点E为边上的动点，连接，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由题意知证明，则，是等腰直角三角形，由P是中点，则，如图，过O作于M，过O作于N，由，可知O，P，F，N四点共圆，由得到，进而可得P在线段上运动，如图，延长，作点A关于对称的点，过作于H，连接交于，连接，由题意知可求出，得出，，G三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得出结果． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是中点， ， ， 如图，过O作于M，过O作于N， ， ， ∴O，P，F，N四点共圆， ， 在线段上运动， 如图，延长，作点A关于对称的点，过作于H，连接交于，连接， ， ， ，， ， ，，G三点共线时，值最小， ， 在中，由勾股定理得， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，圆周角定理，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点P的运动轨迹． 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，是的弦，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，由同弧所对的圆周角相等，可得，由直径所对的圆周角为直角，可得，进而即可求解． 【详解】解：由圆周角定理得，， 为的直径， ， ． 【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】 【例6】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，内接于，是的直径，的平分线交于点E，交于点A，连接，．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据等腰直角三角形的性质计算即可． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：是的直径， ， 的平分线交于点E， ， ， ， 在中，，， 则， 故选：C 1．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，为的直径，点是上与点，不重合的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角．根据圆周角定理得出，即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角的性质，以及直径所对的圆周角为直角，解决本题的关键是判断出是等腰直角三角形． 作出辅助线，由圆周角的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，由此可求解． 【详解】解：连接，如图， 则， ， ， 是圆的直径， ， 是等腰直角三角形． ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了圆周角定理以及圆有关的概念，利用圆周角定理、圆弧、弧所对的弦的关系，进而得出，进而得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 以A为圆心长为半径画弧可得点D，再连接即可， ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可得：； 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ； （2）解：连接， 的度数为， ， 且， ． 【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】 【例7】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）学习了“直径所对的圆周角是直角”，小华想应用这个结论来检验半圆形工件是否合格，下图是小华用自制是“直角尺”检验时的四个图，其中检验操作正确且半圆形工件符合标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弦与圆周角之间的关系，熟知90度的圆周角所对的弦是直径，是解题的关键． 【详解】解：∵90度的圆周角所对的弦是直径， ∴四个图形中，只有B选项中的图形符合题意， 故选B． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆，与分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．4．8 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，90度的圆周角所对的弦是直径，过点C作于H，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则是经过点C且与边相切的动圆的直径，故当为直径且时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是经过点C且与边相切的动圆的直径， ∵， ∴当为直径且时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴有最小值4， 故选B． 2．（2025·广东佛山·模拟预测）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．    【答案】2 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点D，此时最小， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴． 故答案为：2．    3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的弦，，且，若M，N分别为、的中点．（1）的最大值为 ．（2）面积的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）根据中位线性质得出，当取得最大值时，就取得最大值，连接并延长交于点，连接，根据三角函数求出，即可求出； （2）根据的长固定为4，得出当边上的高最大时，的面积最大，点B是优弧的中点时，边上的高最大，连接，，根据勾股定理求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点M，N分别为、的中点， ∴， ∴当取得最大值时，就取得最大值， 连接并延长交于点，连接，如图所示：    ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵的长固定为4， ∴当边上的高最大时，的面积最大，点B是优弧的中点时，边上的高最大， 如图，连接，，    ∵点B是优弧的中点， ∴． ∵M是中点， ∴，且过O点， 由（1）得的直径为，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，勾股定理，中位线性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 4．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）在如图所示的网格中，的顶点，均在网格上，顶点在网格线上，请用无刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由． (1)画出图1中圆的一条直径． (2)画出图2中圆的圆心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，直角所对的弦是直径，网格与勾股定理； （1）根据直角所对的弦是直径，即可求解； （2）根据网格的特点作出，则为直径，与交于点    ，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴是圆的一条直径． （2）解：如图，，延长交圆于点，连接，则为直径，与交于点，则点即为所求． 理由如下， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴是直径， 由（1）可得是直径， ∴的交点即为圆心． 【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】 【例8】（浙江省浙江省初中名校共同体2025-2026学年九年级上学期期中数学试题）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 先根据圆内接四边形对角的和为180度，解得的度数，再根据同圆中，同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解题即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ， 故选：C． 1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键，根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形内接于，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形，根据圆内接四边形，对角互补，得，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， 则 故答案为： 3．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为 °． 【答案】70 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补，等腰三角形性质，外角和定理等．根据题意连接，利用圆内接四边形对角互补，得，继而得，再利用圆周角定理得，再利用外角和定理即可得到本题答案． 【详解】解 ： 连接， ， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 4．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【经典例题九 求四边形外接圆的直径】 【例9】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距． 【详解】解：∵一个正方形的周长为24， ∴正方形的边长为6， 由中心角只有四个可得出360°÷4=90°， ∴中心角是：90°， ∴边心距是边长的一半，为3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质与正方形与它的外接圆的关系，题目比较典型． 1．（2025·广西贺州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 2．（2025九年级·福建·模拟预测）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【答案】（1）点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由见解析；点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由见解析； （2）见解析； （3）； （4）． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． （1）做辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）如图，连接，设中点为O，连接，易得P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心，再结合等腰三角形的性质可得；设圆O的半径为r， 如图：过O作，易得，要使最小，则的半径r最小，故直径最小，当时，，即；最后代入即可解答； （4）如图：连接并延长交于Q，连接，则；如图：连接并延长交于F，即，进而证明四边形是平行四边形可得，再运用勾股定理可得，即的半径为，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）证明：由于与共斜边， ∴B、C、D、E四点共圆． ∴， 同理与共斜边， ∴D、E、F、G四点共圆． ∴， ∴． ∴． （3）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （4）如图：连接并延长交于Q，连接， ∴， 如图：连接并延长交于F，即， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 【拓展训练一 圆周角的材料理解型问题】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，即可求解； （2）根据圆内接四边形的对角互补可得，推出，证明，得到，，推出，根据勾股定理得到，结合，，，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点与点分别在直径的异侧时，当点与点分别在直径的同侧时，分别求得即可． 【详解】解：（1）点、、、均在上，， ， ， 点、、三点共线， ， 故答案为：； （2）是四边形的外接圆， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 点在上， ，即， ，即， ， ，，， ， 线段，，之间的数量关系为； （3）当点与点分别在直径的异侧时，如图，连接，，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴； 当点与点分别在直径的同侧时，如图，连接，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的综合题，圆内接四边形的性质，圆周角定理，旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，理解题意并学会运用是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距． 【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距． (1)若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______． (2)若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论： ①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关． 其中所有正确结论的序号是______． (3)【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°． (4)已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作______条． 【答案】(1)8； (2)②； (3)90°； (4)2条． 【分析】（1）连接OA，由勾股定理求出AP=4，再根据垂径定理得出答案； （2）设⊙O的半径为r（r＞0）（定值），OP=x（x＞0），利用勾股定理得，从而得出答案； （3）连接OA，OB，由题意知OP=AP，则∠AOP=45°，可得答案； （4）作 ，则AB=EF，根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条． 【详解】（1）解：连接OA，如图， ∵OP⊥AB， ∴AP=BP=AB， 在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP==4， ∴AB=2AP=8， 故答案为：8； （2）解：设⊙O的半径为r（r＞0）（定值），OP=x（x＞0）， 由（1）知，AB=2AP， AP=， ， ∵二次项-4x2的系数-4＜0， ∴x＞0时，AB2随x的增大而减小， ∵OP＞0， ∴AB2随x的增大而减小， ∴AB也随x的增大而减小， 即AB的长随OP的长增大而减小， 故正确结论的序号是②， 故答案为：②； （3）解：连接OA，OB， ∵弦心距等于该弦长的一半， ∴OP=AP， ∴∠AOP=45°， ∴∠AOB=2∠AOP=90°， 故答案为：90； （4）解：如图，作，则AB=EF， 根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条， 故答案为：2． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，熟练掌握基本作图方法． 3．（2025·河南郑州·模拟预测）阅读与理解： 在一次培养学生对数学的兴趣、提升学生数学素养的实践操作活动中，李老师带领同学们进行了如下探究． 在的平分线上找一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与边，交于点．连接，，组成四边形．同学们经过动手操作，发现有图（1）、图（2）、图（3）三种情况． （1）在图（2）的基础上，将绕点逆时针旋转至与重合的位置，得到，如图（4），求证：，，三点共线． 探究与运用： （2）如图（3），在四边形中，， ①求的度数； ②求四边形的面积． 思考与延伸： （3）如图（5），四边形是圆内接四边形，，．当四边形的对角线是直径时，以为斜边作等腰直角三角形，连接，直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，勾股定理，圆内接四边形对角互补，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，，根据旋转的性质可得，进而可得，即，，三点共线； （2）①过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线的性质可得，证明，进而得出，即可求解； ②证明，得出，勾股定理求得的长，进而求得，根据全等三角形的性质，得出四边形的面积； （3）根据题意求得，进而分类讨论，当在的上方时，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，当在的下方时，同理可得． 【详解】（1）证明：∵是角平分线上的点，， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转至与重合的位置，得到， ∴， ∴，即，，三点共线． （2）解：①如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵是角平分线上的点，，则 ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； ②∵，是的角平分线， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴， 在中， ∴ ∵ ∴， ∴四边形的面积． （3）解：∵四边形的对角线是直径 ∴， ∵， ∴是的角平分线， 又∵四边形是圆内接四边形，． ∴, ∴ ∴，， 如图，当在的上方时，过点作于点， ∵等腰直角三角形，为斜边 ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 当在的下方时，如图， 同理可得， 设，则 在中， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，． 【拓展训练二 圆周角的新定义问题】 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）新定义如图，P为圆外一点，交圆于点A，B，交圆于点C，D，的度数为，的度数为． (1)求的度数； (2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质； (3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质． 【答案】(1) (2)圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半 (3)圆内角的定义：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角．圆内角的性质：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半 【分析】本题主要考查了圆周角定理的应用以及弧度与圆心角的关系和探索性问题，根据已知探索方法进行模仿变式进而得出新的规律是解题关键． （1）首先连接，根据圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，即可求得与的度数，继而求得答案； （2）由（1）的证明方法可证得圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半． （3）利用图形可以得出圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半，根据圆周角定理得出，，再利用三角形的外角性质得出答案即可． 【详解】（1）解：连接， ∵的度数为，的度数为， ∴， ∴； （2）解：圆外角的性质：圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半． 理由：连接， ∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半， ∴，， ∴， ∴圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半； （3）解：圆内角的定义：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角； 圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半． 证明：如图，延长，交圆于点D，延长，交圆于点E，连接． ∵是的一个外角， ∴． ∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半， ∴，． ∴． ∴命题成立． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． (1)如图，，是的等垂弦，，，垂足分别为，求证：四边形是方形； (2)如图，是的弦，作，，分别交于，两点，连接求证：，是的等垂弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，是的等垂弦，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，是的等垂弦， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形是正方形； （2）证明：设交于点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴、是的等垂弦． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角的性质，圆心角、弦的关系，正方形的判定，新定义等垂弦，熟练掌握垂径定理的定义是解题关键． 3．（24-25九年级上·河北·期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半径为6，则的最大值是______． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义和圆周角定理求角即可；②根据垂径定理和特殊角的三角函数值进行解答即可； （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． ②连接交于点P， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【拓展训练三 圆周角综合问题】 1．（山西省朔州市朔州市部分学校阶段评估（二）2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，是的直径，是的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）证明即可证明，即可解答； （2）连接，设，则，，，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 由（1）可知， 设，则， ，， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 的半径． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，垂足为D． 作法：如图所示， ①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点D（点D不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：， ， ∴点P、Q都在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴O为中点． ∵为直径，与线段交于点D， ∵ °．（ ）（填推理的依据） ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，垂线的尺规作图，线段垂直平分线的判定与性质， （1）按照题干要求作图，即可； （2）按照题干给出的思路，结合直径所对圆周角为直角的知识证明即可． 【详解】（1）解：作图如下： 线段就是所求作的高； （2）证明：连接，，，，如图， ，， 点P、Q都在线段的垂直平分线上， 直线为线段的垂直平分线， O为中点，即． ∴为直径，与线段交于点D， （直径所对圆周角为直角） ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）教材呈现：（华师版九上28.3圆周角）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）． 教材分析：如图，是⊙O的直径，是直径所对的圆周角，根据上述定理，则，如果我们把看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论：，即：半圆所对的圆周角等于该半圆所对的圆心角的一半． 联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？ 探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类． （1）圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①．，，，． （2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论， ， ．（∠ +∠ ） ． （3）圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成推理过程． 【答案】（2）；（3）证明见解析 【分析】（2）当圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论，，，再利用角的和差关系可得答案； （3）当圆心在圆周角外，如图③．连接 延长与圆交于点由（1）的结论，再利用角的和差关系可得答案. 【详解】解：（2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径． 由（1）的结论，，． ． （3）当圆心在圆周角外，如图③．连接 延长与圆交于点 由（1）的结论， 【点睛】本题考查的是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，理解题意，形成迁移能力并解决问题是解本题的关键. 1．（陕西省安康市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，逐个判断图中弦所对应的角是否是直角即可． 【详解】解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的所对应的角是直角，即是直径， 故选：B． 2．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 4．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图： ①在直径上顺次截取线段，，使； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，； ③作直线，与⊙相交于，两点，连接． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查垂直平分线的作法，垂径定理的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，确定，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得：，故A选项正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，A，B，C，D，E均在上，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得，即得，再根据圆周角定理，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：，， ． 故选：A． 6．（陕西省安康市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，先根据同弧所对的圆周角相等得，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的半径为4，A，B，C三点在圆上，，则的长等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理并运用． 如图，连接，根据圆周角定理求得，证明是等边三角形，已知，可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：4． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的外接圆，，，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等和含30度角的直角三角形的性质．能够根据同弧所对的圆周角相等转化为含30度角的直角三角形问题是解题的关键．作直径，连接，得，，则．即圆的半径是2． 【详解】作直径，连接，得：，， ∴， 即圆的半径是． 故答案为：2． 9．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，的三个顶点都在一个圆上，且，固定点将依顺时针方向旋转，当至少旋转 度后的三角形的点会落在同一圆上． 【答案】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、旋转的性质、等边对等角等知识，连接，由圆内接四边形的性质得到，由旋转可知，则，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知， ∴， ∴， 故答案为： 10．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过、两个格点，点是圆与格线的交点． （1）线段的长为 ； （2）在弧上画点，使弧弧，在弧上画点，使．请用无刻度直尺在如图所示的网格中，画出点、，并简要说明是如何找到的 ． 【答案】(1) (2)垂径定理；圆周角定理 【分析】本题考查了作图，勾股定理解三角形，圆周角定理，垂径定理，以及直径所对的圆周角为，解决本题的关键是由直径找到圆的圆心． （1）根据勾股定理求解即可； （2）先根据直径所对的圆周角为，找到两条直径，根据直径的交点可得圆的圆心，再利用垂径定理即可找到点M；根据圆周角定理，先找到，再根据对称可得，由此可得，由此可得． 【详解】解：（1）根据勾股定理，线段； 故答案为：； （2）根据直径的交点，可得圆的圆心记作点O， 根据垂径定理，由此可得点M，即弧弧， 先在圆上找一点P，连接， 根据圆周角定理可得， 记点B关于的对称点为点D，交于点Q， 根据对称可得， 再根据圆周角定理可得， 则点F为的延长线与圆的交点， 则点、如图所示， 故答案为：垂径定理；圆周角定理． 11．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，的弦，相交于点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，圆周角定理，连接、、，先证明得出，再由等角对等边即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：连接、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，四边形内接于，延长交于点E，且．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，由圆内接四边形对角互补得到的度数，由等边对等角得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 13．（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，                      再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；                        对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. 【详解】（1）证明：连接，    ∵为直径 ∴，                       ∴，                      ∵， ∴，                           ∴，                        ∴，                                   ∵，                        ∴； （2）解：连接，    ∵， ∴，                  ∴， ∵为直径，， ∴，                                       在中，，              ∴，                                       设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为. 14．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 15．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，∠CAB＝30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与圆O的其中一个交点记为点E（点E位于直线CD上方或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为y1cm，E、C两点间的距离为y2cm，小雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 5.2 4.4 3.6 3.0 2.7 2.7 　 　 y2/cm 5.2 4.6 4.2 　 　 4.8 5.6 6.0 （1）按照下表中自变量x的值进行取点、面图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整：（保留一位小数） （2）在同一平面直角坐标系xOy中，y2的图象如图所示，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为　 　cm． 【答案】（1）4.2，3.0；（2）详见解析；（3）4.5或6.0． 【分析】（1）当x＝3时，点D与点O重合，此时△DCE是等腰直角三角形，当x＝6时，点D与B重合，由此即可解决问题； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）利用直角三角形30度角的性质可知：EC＝2CD，推出y2＝2y1，观察函数图象可知，满足条件的x的值为4.5cm或6cm． 【详解】解：（1）当x＝3时，∵AB＝6，AD＝3， ∴点D与点O重合，此时△DCE是等腰直角三角形， ∴CD＝DE＝3， ∴y2＝≈4.2， 当x＝6时，点D与B重合， ∴CD＝BC， ∵∠CAB＝30°， ∴CD＝BC＝AB＝3.0， 故答案为：4.2，3.0． （2）函数图象如图所示： （3）当∠ECD＝60°时， 在Rt△ECD中，∵∠EDC＝90°， ∴∠CED＝30°， ∴EC＝2CD， ∴y2＝2y1， 观察图象可知，满足条件的x的值为4.5cm或6.0cm． 故答案为：4.5或6.0． 【点睛】本题是圆的综合题，掌握直角三角形30度角的性质，勾股定理，圆的性质是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆周角定理重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 圆周角的概念辨析 题型二 利用圆周角定理求角度 题型三 利用圆周角定理求长度 题型四 利用圆周角定理求面积 题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题 题型六 半圆所对的圆周角是直角问题 题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题 题型八 已知圆内接四边形求角度 题型九 求四边形外接圆的直径 拓展训练一 圆周角的材料理解型问题 拓展训练二 圆周角的新定义问题 拓展训练三 圆周角综合问题 知识点一、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，点A，B，C都在上，若，则的度数为 ． 知识点二、圆的内接四边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·青海海西·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）正方形边长为4，则它的外接圆半径为 ． 【经典例题一 圆周角的概念辨析】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(    ) A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 2．（24-25九年级·全国·课后作业）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ． 圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 4．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【经典例题二 利用圆周角定理求角度】 【例2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，点、、在上，若，的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，点C是上一点，点D是的中点，连接，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是 （用、表示） 3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，内接于，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接，则的度数是 ． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，直径弦，若，求的度数． 【经典例题三 利用圆周角定理求长度】 【例3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为（   ） A． B． C．1 D．2 1．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，四边形内接于，若，的半径为3，则长为（　　） A．6 B．3 C． D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于 3．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，是⊙的直径，点C，D都在⊙上，且，，若，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图1，内接于，点D为上一点，连接和，于点E． (1)求证：； (2)如图2，过点B作的垂线，垂足为点F，交于点G，且，若，请用含的代数式表示； (3)如图3，在（2）的条件下，点K为上一点，连接、和，与相交于点Q，延长到点R，使，过点R作的垂线，垂足为点H，延长交于点T，，在的延长线上取一点P，连接，使． ①求的度数； ②若，，求的长． 【经典例题四 利用圆周角定理求面积】 【例4】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，中，，，，点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江舟山·模拟预测）如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，中，，以三边为边向外作三个正方形，分别连接三个正方形的中心，围成的的面积记为，的面积记为．若，则 ． 4．（24-25九年级上·陕西延安·期末）问题提出 （1）如图1，的面积为，弦，C是．上的一个动点，求面积的最大值； 问题解决 （2）如图2，的半径为，圆内中有一个四边形区域，连接，为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值． 【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】 【例5】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，点都是上的点，，，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·甘肃临夏·期中）如图，点O为正方形的对称中心，点E为边上的动点，连接，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为 ． 4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，是的弦，，求的度数． 【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】 【例6】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，内接于，是的直径，的平分线交于点E，交于点A，连接，．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 1．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，为的直径，点是上与点，不重合的点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，则的度数为 ． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，则的度数为________． 【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】 【例7】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）学习了“直径所对的圆周角是直角”，小华想应用这个结论来检验半圆形工件是否合格，下图是小华用自制是“直角尺”检验时的四个图，其中检验操作正确且半圆形工件符合标准的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆，与分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．4．8 D．5 2．（2025·广东佛山·模拟预测）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．     3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的弦，，且，若M，N分别为、的中点．（1）的最大值为 ．（2）面积的最大值为 ． 4．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）在如图所示的网格中，的顶点，均在网格上，顶点在网格线上，请用无刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由． (1)画出图1中圆的一条直径． (2)画出图2中圆的圆心． 【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】 【例8】（浙江省浙江省初中名校共同体2025-2026学年九年级上学期期中数学试题）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，四边形内接于，若，则 °． 3．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为 °． 4．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【经典例题九 求四边形外接圆的直径】 【例9】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（    ） A． B．3 C． D． 1．（2025·广西贺州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·福建·模拟预测）如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 3．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 ． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？ 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【直接应用】 （2）如图3，锐角中，是高线，于G，于F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图4，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． （4）如图5，小明完成上面的问题后发现的两条高相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图6，已知是的外接圆，是的高，相交于点P．若，请直接写出的面积 ．（结果请用m，n的代数式表示，并保留） 【拓展训练一 圆周角的材料理解型问题】 1．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距． 【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距． (1)若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为______． (2)若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论： ①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关． 其中所有正确结论的序号是______． (3)【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为______°． (4)已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作______条． 3．（2025·河南郑州·模拟预测）阅读与理解： 在一次培养学生对数学的兴趣、提升学生数学素养的实践操作活动中，李老师带领同学们进行了如下探究． 在的平分线上找一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与边，交于点．连接，，组成四边形．同学们经过动手操作，发现有图（1）、图（2）、图（3）三种情况． （1）在图（2）的基础上，将绕点逆时针旋转至与重合的位置，得到，如图（4），求证：，，三点共线． 探究与运用： （2）如图（3），在四边形中，， ①求的度数； ②求四边形的面积． 思考与延伸： （3）如图（5），四边形是圆内接四边形，，．当四边形的对角线是直径时，以为斜边作等腰直角三角形，连接，直接写出线段的长度． 【拓展训练二 圆周角的新定义问题】 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）新定义如图，P为圆外一点，交圆于点A，B，交圆于点C，D，的度数为，的度数为． (1)求的度数； (2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质； (3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． (1)如图，，是的等垂弦，，，垂足分别为，求证：四边形是方形； (2)如图，是的弦，作，，分别交于，两点，连接求证：，是的等垂弦． 3．（24-25九年级上·河北·期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半径为6，则的最大值是______． 【拓展训练三 圆周角综合问题】 1．（山西省朔州市朔州市部分学校阶段评估（二）2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，是的直径，是的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，垂足为D． 作法：如图所示， ①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点D（点D不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：， ， ∴点P、Q都在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴O为中点． ∵为直径，与线段交于点D， ∵ °．（ ）（填推理的依据） ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）教材呈现：（华师版九上28.3圆周角）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）． 教材分析：如图，是⊙O的直径，是直径所对的圆周角，根据上述定理，则，如果我们把看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论：，即：半圆所对的圆周角等于该半圆所对的圆心角的一半． 联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？ 探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类． （1）圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①．，，，． （2）圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径．由（1）的结论， ， ．（∠ +∠ ） ． （3）圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成推理过程． 1．（陕西省安康市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图： ①在直径上顺次截取线段，，使； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，； ③作直线，与⊙相交于，两点，连接． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，A，B，C，D，E均在上，，若，则（  ） A． B． C． D． 6．（陕西省安康市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为 ． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的半径为4，A，B，C三点在圆上，，则的长等于 ． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的外接圆，，，则的半径为 ． 9．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，的三个顶点都在一个圆上，且，固定点将依顺时针方向旋转，当至少旋转 度后的三角形的点会落在同一圆上． 10．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过、两个格点，点是圆与格线的交点． （1）线段的长为 ； （2）在弧上画点，使弧弧，在弧上画点，使．请用无刻度直尺在如图所示的网格中，画出点、，并简要说明是如何找到的 ． 11．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，的弦，相交于点，，求证：． 12．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，四边形内接于，延长交于点E，且．已知，求的度数． 13．（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 15．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，∠CAB＝30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与圆O的其中一个交点记为点E（点E位于直线CD上方或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为y1cm，E、C两点间的距离为y2cm，小雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 5.2 4.4 3.6 3.0 2.7 2.7 　 　 y2/cm 5.2 4.6 4.2 　 　 4.8 5.6 6.0 （1）按照下表中自变量x的值进行取点、面图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整：（保留一位小数） （2）在同一平面直角坐标系xOy中，y2的图象如图所示，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为　 　cm． 学科网（北京）股份有限公司 $