专题02 垂径定理及其推论重难点题型专训（2个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 垂径定理及其推论重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 题型二 求圆弧的度数 题型三 根据垂径定理求半径 题型四 根据垂径定理求长度 题型五 根据垂径定理求角度 题型六 根据垂径定理求面积 题型七 利用垂径定理求平行弦问题 题型八 利用垂径定理求同心圆问题 题型九 利用垂径定理求解其他问题 题型十 垂径定理的推论 题型十一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 拓展训练一 垂径定理综合 拓展训练二 垂径定理的实际应用 拓展训练三 垂径定理中的最值问题 知识点一、圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④等弧所对的弦相等．其中正确的有（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．①②④ 2．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 知识点二、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 ． 【经典例题一 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，弦的长为6，圆心O到的距离，则的半径长为（   ）    A．4 B． C．5 D． 1．（2025·广西防城港·模拟预测）目前，体育运动已成为了青少年成长路上的“健康必修课”．为了促进青少年身心健康全面发展，某校成立了铅球兴趣小组．爱好铅球的苏阳同学在一次掷铅球时，铅球落地后在水平地面上砸出一个坑，经过坑的最低点的竖直截面如图所示（点、、均在上，且于点），已知坑的最大深度为，则铅球的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图为球形灯笼的截面图，过圆心的直线垂直弦于点，，则的半径为 ． 3．（2025·广西南宁·模拟预测）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为 ； 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，直径垂直弦于点E． (1)求证：； (2)若,，求的半径． 【经典例题二 求圆弧的度数】 【例2】（2025·山东日照·模拟预测）如图，已知直线交⊙O于A，B两点，是的直径，作的角平分线交于点D，过D作，垂足为E，且，，则的长等于（   ） A．4 B．6 C． D． 1．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，若路面，净高，则此圆的半径的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，是的直径，于点，连接．若，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． ∴ 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 【经典例题三 根据垂径定理求半径】 【例3】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，点，，在上，若，，则的度数是（　　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，OE⊥AC，垂足为E，BD＝2OE．若∠BOD＝110°，则∠A的度数是（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠OAC的度数为 度． 3．（2025九年级·安徽·模拟预测）如图，为的直径，，为上的两点，且为的中点，若，则的度数为 ．    4．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 【经典例题四 根据垂径定理求长度】 【例4】（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的面积是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在位于轴右侧且半径为6的，从的位置沿直线向上平移，交直线于点，且是与轴的一个公共点，若，则四边形的面积是（    ） A．42 B．64 C．68 D．48 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的直径，弦，且于E，则的面积 . 3．（2025·广东珠海·模拟预测）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ． 4．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 【经典例题五 根根据垂径定理求角度】 【例5】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 2．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【经典例题六 根据垂径定理求面积】 【例6】（2025·重庆·模拟预测）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 3．（24-25九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 4．（2025·广西钦州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【经典例题七 利用垂径定理求平行弦问题】 【例7】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川广安·期末）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 2．（2025·宁夏·模拟预测）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为 ．    3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6 ，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在弧上描出了三个点，并连接了和，请你用尺规作图法，帮小明继续完成，找出该弧所在圆的圆心．（保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题八 利用垂径定理求同心圆问题】 【例8】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在半径为5的中，点是弦的中点，长为3，则 弦长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为 m． 4．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在中，弦与半径交于点． (1)的半径为5， ，，垂足为E，则______． (2)在中，，，，则______． (3)的半径为5，，垂足为E，，则弦=______． (4)，，弦，求的半径． 【经典例题九 利用垂径定理求解其他问题】 【例9】（2025·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则弧的度数为 ． 4．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，在直径为20的中，与是互相垂直的两条弦，垂足为点F．已知，求OF的长． 【经典例题十 垂径定理的推论】 【例10】（24-25九年级上·天津北辰·期末）如图，，则的是（    ）． A．B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC 2CD（填“＞”、“＜”或“＝”） 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是 填序号． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【经典例题十一 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例11】（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   1．（2025·广东惠州·模拟预测）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，，所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法正确的是（　　） A．甲车从F口出，乙车从G口出 B．甲车驶出立交桥时，乙车在上 C．甲乙两车同时在立交桥上的时间为10s D．图中立交桥总长为140m 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，，，则的度数为 ．    3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【经典例题十二 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例12】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（　　） A．45° B．60° C．72° D．90° 1．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【拓展训练一 垂径定理综合】 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径是多少？ 【分析】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得(米)，再证四边形是，则米，(米，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程或方程组，解方程(组)可得_米． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在学习了垂径定理后，同学们开始探索用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作： 请利用直尺和圆规四等分    小亮的作法如下： ①连接； ②作的垂直平分线交于点，交于点； ③分别作线段，线段的垂直平分线，，交于，两点． 那么，，三点把四等分．    (1)小明否定了小亮四等分作法的正确性，请你帮小明简要说明判断小亮作法错误的理由； (2)请你利用直尺和圆规四等分所给的（仿照小亮，写出简要的作法步骤，保留作图痕迹）．    3．（2025九年级·安徽·专题练习）利用勾股定理或垂径定理解决下列问题： （1）如图，是的弦，是的中点．连接并延长交于点．若，则的半径是 ． （2）如图，弦直径于点．若，则 ． （3）如图，是的直径，弦，垂足为点．若，则的直径为 ． （4）如图，在中，于点．若，则的长为 ． 【拓展训练二 垂径定理的实际应用】 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．    (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？ 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）．                  素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．            素材3 如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）．                  解决问题 任务1 获取数据 通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅垂距离（高度差）为 肘． 任务2 分析计算 通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘． 任务3 预测判断 若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由． 注：在测量、计算时，都以“肘”为单位． 【拓展训练三 垂径定理中的最值问题】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 2．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，，是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M． (1)当时，求四边形的面积； (2)当AB变化时，求四边形的面积的最大值． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 2．（25-26九年级上·西藏林芝·期中）如图，是的弦，若，则弦所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知、、、是圆上的点，，、交于点，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，的半径长为4，将沿折叠，恰好经过的中点，且，则折痕长为（    ） A． B． C．4 D． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）若弦长等于半径，则弦所对弧的度数是 ． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，若，，则的度数为 ． 8．（2025·四川内江·模拟预测）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 9．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ． 10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是 ． 11．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，直径，，，求的半径． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的两条弦，与相交于点，．求证：． 14．（2025·吉林长春·模拟预测）在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．    (1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） (2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 15．（2025·江苏泰州·模拟预测）综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 垂径定理及其推论重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 根据垂径定理求半径 题型二 根据垂径定理求长度 题型三 根据垂径定理求角度 题型四 根据垂径定理求面积 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 题型六 利用垂径定理求同心圆问题 题型七 利用垂径定理求解其他问题 题型八 垂径定理的推论 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 圆心角概念辨析及简单运算 求圆弧的度数 拓展训练一 垂径定理综合 拓展训练二 垂径定理的实际应用 拓展训练三 垂径定理中的最值问题 知识点一、圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④等弧所对的弦相等．其中正确的有（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，熟记垂径定理及弧、弦、角的关系是解题关键；根据圆的垂径定理和弧、弦、角的关系判断各结论的正确性。 【详解】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，符合垂径定理，正确； ②平分弦的直径不一定垂直于弦，当弦为直径时可能不垂直，错误； ③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，可能相等或互补，错误； ④等弧所对的弦相等，在同圆或等圆中成立，正确； ∴ 正确的有①④； 故选：C 2．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题 【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假． 【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题； 对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题； 对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题； 对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题． 故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题． 【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 知识点二、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，根据垂径定理得出即可得到答案 【详解】解：∵是的直径，弦于点E， ∴， 故选B 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接，若，则等于 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由垂径定理得到E为的中点，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴E为的中点，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：16． 【经典例题一 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，弦的长为6，圆心O到的距离，则的半径长为（   ）    A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键，先根据垂径定理求得的长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：， 故选：C． 1．（2025·广西防城港·模拟预测）目前，体育运动已成为了青少年成长路上的“健康必修课”．为了促进青少年身心健康全面发展，某校成立了铅球兴趣小组．爱好铅球的苏阳同学在一次掷铅球时，铅球落地后在水平地面上砸出一个坑，经过坑的最低点的竖直截面如图所示（点、、均在上，且于点），已知坑的最大深度为，则铅球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，垂径定理的实际应用，设，由垂径定理得出，利用勾股定理得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：设 ， ， ， ， ， 则铅球的半径为5． 故选：C． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图为球形灯笼的截面图，过圆心的直线垂直弦于点，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．设的半径为r，则，根据垂径定理可求，再运用勾股定理可求半径r． 【详解】解：设的半径为r， 依题意，，，， 在中， ∴ 解得：， 故答案为：． 3．（2025·广西南宁·模拟预测）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器．图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图．若烧瓶中液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为 ； 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵在中，， 即， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，直径垂直弦于点E． (1)求证：； (2)若,，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟练的利用垂径定理进行求值是解本题的关键． （1）利用垂径定理证明，再利用线段的垂直平分线的性质可得答案； （2）先求解，再利用勾股定理求解，连接，设圆的半径为r，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）∵直径垂直弦于点E， ∴， ∴直线垂直平分线段，点A在线段的垂直平分线上， ∴． （2）∵， ∴， ∴， 连接，设圆的半径为r， 则， ∴， 解得：． 【经典例题二 求圆弧的度数】 【例2】（2025·山东日照·模拟预测）如图，已知直线交⊙O于A，B两点，是的直径，作的角平分线交于点D，过D作，垂足为E，且，，则的长等于（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边对等角，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由以及角平分线的定义得，则，故，证明四边形是矩形，根据，得出，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点O作，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在中，， 即， 解得， ∴， 故选：D． 1．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，若路面，净高，则此圆的半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 由勾股定理得，， ∴， 解得． 故选：A． 2．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，是的直径，于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 由垂径定理可得，由勾股定理可得，然后根据即可得解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，于点， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，的半径为3，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．过点O作于H，连接，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 【详解】解：如图所示，过点O作于H，连接， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)的直径是 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 【经典例题三 根据垂径定理求半径】 【例3】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，点，，在上，若，，则的度数是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点E，根据可得，根据，即可得． 【详解】设、交于点E，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角定理，根据，得到，是解答本题的关键． 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，OE⊥AC，垂足为E，BD＝2OE．若∠BOD＝110°，则∠A的度数是（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】A 【分析】作OF⊥BD，得∠BOF=55°，证明得∠A=∠BOF，即可得到结论． 【详解】解：作OF⊥BD，垂足为点F，如图， ∴ ∵ ∴ 又 ∴(HL) ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查的是垂径定理及直角三角形全等的判定、解答此题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠OAC的度数为 度． 【答案】30 【分析】根据垂径定理可得OA＝AB，结合等边三角形的性质即可求出∠OAC的度数． 【详解】解：∵弦AC与半径OB互相平分， ∴OA＝AB， ∵OA＝OC， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， 故答案为30． 【点睛】本题考查了圆的问题，掌握垂径定理、等边三角形的性质是解题的关键． 3．（2025九年级·安徽·模拟预测）如图，为的直径，，为上的两点，且为的中点，若，则的度数为 ．    【答案】55° 【分析】先根据垂径定理得出，从而可得出，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得． 【详解】为的直径，为的中点 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，利用垂径定理得出是解题关键． 4．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图1，在中，直径垂直弦于点G，，连接交于点F． (1)若，，求的长； (2)连接，如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考出了圆的垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图1：连接，由垂径定理的推理可得，再结合已知条件可得，设，则．然后在运用勾股定理求解即可． （2）如图2，连接交于点H，由（1）知，则，易证可得，即，进而得到，最后由三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质可得即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， 直径弦， ． ， ， ， ． 设，则． 在中，，即，解得， ∴． （2）解：如图2，连接交于点H， 由（1）知， ． ，， ， ， ， ， ． 【经典例题四 根据垂径定理求长度】 【例4】（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设的半径为，则，先由勾股定理构建方程求出半径的长，再由三角形面积和垂径定理即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 设的半径为，则， 是的直径，，， ， 在中，， 解得：， 的面积， ， ， 的面积的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理，属于中考常考题型． 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在位于轴右侧且半径为6的，从的位置沿直线向上平移，交直线于点，且是与轴的一个公共点，若，则四边形的面积是（    ） A．42 B．64 C．68 D．48 【答案】D 【分析】作轴交轴于，作交于，与相交于点，连接，根据题意可得四边形为矩形，为等腰直角三角形，从而得到，进而得到，再由垂径定理结合勾股定理即可得到，设点的坐标为，则，列出方程，求出的值，即可求出面积． 【详解】解：如图所示，作轴交轴于，作交于，与相交于点，连接， ， 根据题意可得：轴，轴， 四边形为矩形， 点在直线上， 设点的坐标为，即， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设点的坐标为， 由图象可知， 则， ， ， 点坐标为， 四边形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂径定理等知识点，添加恰当的辅助线是解题的关键． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的直径，弦，且于E，则的面积 . 【答案】8或32/32或8 【分析】根据描述画出图形，连接OC，根据勾股定理求得OE的长，从而求得AE的长，再利用三角形面积公式即可求得． 【详解】①如图所示，连接OC， 由题知，， ，， ， ， ； ②如图所示，连接OC， 同①可得， ， ； 故答案为：8或32． 【点睛】本题考查圆的垂径定理和勾股定理，解题的关键是构造直角三角形运用勾股定理，注意分类讨论． 3．（2025·广东珠海·模拟预测）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ． 【答案】40 【分析】由，得，结合，推出是的中位线，是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，得到的长，再根据直径所对的圆周角是直角知道，从而利用即可求得面积． 【详解】 为的中位线 又 ，点是中点 即为中点 是的中位线 是直径 的面积 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线，圆周角定理及其推论，勾股定理，二项式的化简等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是， 点是的中点，过圆心， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 【经典例题五 根根据垂径定理求角度】 【例5】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论. 【详解】如图 作OE⊥AB于点E，交CD于F ∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1 ∴OE=0.8m ∵水管水面上升了0.2米， ∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m ∴m ∴CD=1.6m 故选C 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键. 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 2．（2025·黑龙江·模拟预测）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为 ． 【答案】4 【分析】先利用垂径定理可得，，再根据三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形形的中位线定理，得到是的中位线是解题的关键． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【分析】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【详解】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 【经典例题六 根据垂径定理求面积】 【例6】（2025·重庆·模拟预测）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 3．（24-25九年级·浙江杭州·）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 4．（2025·广西钦州·模拟预测）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题七 利用垂径定理求平行弦问题】 【例7】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理可得：，，进而得到，无法得到，即可得到答案． 【详解】解：是的直径，为弦，于点E， ，， B、D选项结论成立，不符合题意； ， ， A选项结论成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题关键． 1．（24-25九年级上·四川广安·期末）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，根据垂径定理求得OC，利用圆的半径求得CD即可. 【详解】如图，连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D， ∵AB=24， ∴AC=12， ∵OA=13， 在直角三角形OAC中， OC==5， ∴CD=OD-OC=13-5=8， 故选C. 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键. 2．（2025·宁夏·模拟预测）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为 ．    【答案】． 【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果． 【详解】解：解：连接OA，设半径为x，   将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D， ，， ， ， ， 解得，． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程． 3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6 ，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值． 【详解】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC， ∵DE＝6， ∴OC＝3，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小， 连接OM，∵OM＝3， ∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值， 作CF⊥AB于F， ∴G和F重合时，MN有最大值， ∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝＝10， ∵AC•BC＝AB•CF， ∴CF＝4.8， ∴OG＝4.8−3＝， ∴MG＝= ∴MN＝2MG＝ 故填：． 【点睛】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OG⊥AB于G，作CF⊥AB于F，连接OC，OM，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在弧上描出了三个点，并连接了和，请你用尺规作图法，帮小明继续完成，找出该弧所在圆的圆心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线和垂径定理，属于基础题型，熟练掌握垂径定理和线段垂直平分线的尺规作图是关键． 根据垂径定理的推论可知：弦的垂直平分线过圆心，尺规作线段和的垂直平分线，其交点即为所求． 【详解】解：如图，点O即为所求． 【经典例题八 利用垂径定理求同心圆问题】 【例8】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在半径为5的中，点是弦的中点，长为3，则 弦长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及中点定义、垂径定理的推论、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理的推论可知，在中，由勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 点是弦的中点， 由垂径定理的推论可知，且， 在中，，则由勾股定理可得， ， 故选：D． 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理以及垂直平分线的性质．过点作于点，由点在的垂直平分线上可知，直线必过圆心，再根据直角三角形的性质求出的度数；根据得出的度数，根据等腰三角形的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，连接，   点在的垂直平分线上， ∴，直线必过圆心，， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】3 【分析】连接，根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵B是的中点，， ∴，， ∴在中，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论、勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论是解答的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为 m． 【答案】/ 【分析】根据垂径定理可得设圆的半径为x，则在Rt中，根据勾股定理列方程即可求出x的值. 【详解】∵点C是 的中点 ∴，且 设圆O的半径为x，则 在Rt△中， 解得（舍去) ∴   故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理及一元二次方程.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.熟练掌握垂径定理是解题的关键. 4．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在中，弦与半径交于点． (1)的半径为5， ，，垂足为E，则______． (2)在中，，，，则______． (3)的半径为5，，垂足为E，，则弦=______． (4)，，弦，求的半径． 【答案】(1) (2)5 (3)6 (4)5 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先由垂径定理求，再对运用勾股定理求解即可； （2）连接，利用垂径定理的推论得到，再对运用勾股定理求解即可； （3）连接，由垂径定理得，然后对运用勾股定理求解，即可求解； （4）连接，由垂径定理得，设半径为，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． （2）解：连接， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：5． （3）解：连接， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：连接， ∵，过圆心， ∴， 设半径为，则， ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴的半径为5． 【经典例题九 利用垂径定理求解其他问题】 【例9】（2025·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 1．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了弧与圆心角，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．根据弧与圆心角的关系可得，由此即可得． 【详解】解：∵是直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则弧的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，在直径为20的中，与是互相垂直的两条弦，垂足为点F．已知，求OF的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 过点作于点，于点，连接，先证明四边形是正方形，然后根据垂径定理求出即可解答． 【详解】解：过点作于点，于点，连接，如图， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形正方形， ， 直径为20， ， 在中，， ， 在中，， 即的长为． 【经典例题十 垂径定理的推论】 【例10】（24-25九年级上·天津北辰·期末）如图，，则的是（    ）． A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角与弧的关系即可求解． 【详解】解：根据同圆或等圆，相等的弧所对的圆周角相等，只有C选项符合题意； ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角与弧的关系，掌握同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC 2CD（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】连接AB、BC，根据题意得AB=BC=CD，再根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：如图，连接AB、BC， ∵弧AB＝弧BC＝弧CD， ∴AB=BC=CD， ∵ ， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键． 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是 填序号． 【答案】①②③④ 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：∵在⊙O中，=， ∴AB=CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴=，故④正确； ∴AC=BD，故②正确； ∴∠AOC=∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．    (1)求证：； (2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)结论仍然成立，证明见解析 【分析】该题考查了角平分线的性质定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． （1）如图②过点作于点，于点，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； （2）同（1）的作图方法分为如图③，当点在上时，和如图④，当点在内时，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明； 【详解】（1）证明：如图②过点作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∴；    （2）解：结论仍然成立． 理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知． ∴， 如图④，当点在内时，由（1）知． ∴． 【经典例题十一 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例11】（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 1．（2025·广东惠州·模拟预测）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF，弯道为以点O为圆心的一段弧，且，，，所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法正确的是（　　） A．甲车从F口出，乙车从G口出 B．甲车驶出立交桥时，乙车在上 C．甲乙两车同时在立交桥上的时间为10s D．图中立交桥总长为140m 【答案】B 【分析】结合题意函数图象可分析出在直道AB，CG以及EF上的行驶时间均为3s，在弯道BC，CD，DE上的行驶时间均为2s，从而结合速度进行逐项分析即可． 【详解】A、分析图2可知，甲车先驶出立交桥，乙车后驶出，因此甲车从G口出，乙车从F口出，原说法错误，不符合题意； B、根据图2甲的图象可知甲车在立交桥上由A到G共计用时5+3=8s，其中由B到C用时2s，由于甲乙的速度相同，则乙从A到D用时3+2×2=7s，从A到E用时3+3×2=9s，因此第8s时，乙车在上，原说法正确，符合题意； C、根据B选项的分析可知，两车同时在立交桥上的时间为8s，原说法错误，不符合题意； D、根据题意，立交桥总长为：，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】考本题考查函数图象与实际行程问题，涉及到圆心角等相关知识点，理解函数图象对应的实际意义是解题关键． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，，，则的度数为 ．    【答案】144°/144度 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 【经典例题十二 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例12】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（　　） A．45° B．60° C．72° D．90° 【答案】C 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：求解． 【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数为72°， ∴劣弧AB的度数是72°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键． 1．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； （2）解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 【拓展训练一 垂径定理综合】 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径是多少？ 【分析】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得(米)，再证四边形是，则米，(米，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程或方程组，解方程(组)可得_米． 【答案】门洞的半径长为米 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识；过作于，过作于，由垂径定理得米，再证四边形是矩形，则米，米，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：过作于，过作于，如图所示：    则米，， ， ， 四边形是矩形， 米，米， 设该圆的半径长为米， 根据题意得， 解得： 即门洞的半径长为米， 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在学习了垂径定理后，同学们开始探索用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作： 请利用直尺和圆规四等分    小亮的作法如下： ①连接； ②作的垂直平分线交于点，交于点； ③分别作线段，线段的垂直平分线，，交于，两点． 那么，，三点把四等分．    (1)小明否定了小亮四等分作法的正确性，请你帮小明简要说明判断小亮作法错误的理由； (2)请你利用直尺和圆规四等分所给的（仿照小亮，写出简要的作法步骤，保留作图痕迹）．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用垂径定理判断即可； （2）以为圆心，大于为半径画弧，交于两点，连接两点交于点，再连接，再以同样的作法作出的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：理由：直线，平分的是线段，，但，不是，对应的圆上的弦，所以作法错误； （2）解：如图，    ①连接； ②作的垂直平线交于点； ③连接，； ④分别作，的垂直平分线交于点，点；那么点，，是四等分点． 【点睛】本题考查了作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、垂径定理等知识，熟练掌握线段垂直平分线的作法、线段垂直平分线的性质、垂径定理是解题的关键． 3．（2025九年级·安徽·专题练习）利用勾股定理或垂径定理解决下列问题： （1）如图，是的弦，是的中点．连接并延长交于点．若，则的半径是 ． （2）如图，弦直径于点．若，则 ． （3）如图，是的直径，弦，垂足为点．若，则的直径为 ． （4）如图，在中，于点．若，则的长为 ． 【答案】 5 12 10 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （2）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （3）连接半径，由垂径定理列出方程即可； （4）根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接、，设的半径为 是的中点， ， ， 即 解得： 故的半径为． （2）如图，连接， 的半径为 弦直径 则由垂径定理有， 即 ． （3）如图，连接，设的半径为 是的直径，弦， 则由垂径定理有， 解得： 则 故的直径为． （4）， 由勾股定理可得 则在中，由勾股定理可得 解得：． 【拓展训练二 垂径定理的实际应用】 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．    (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？ 【答案】(1)圆弧所在圆的半径的长为； (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． （1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【详解】（1）解：连接，设圆弧所在圆的半径为， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 解得； 答：圆弧所在圆的半径的长为； （2）解：连接，   ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． ． ， 不需要采取紧急措施． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）作，推出，进而得平分，即可求证； （2）证得，，进而得，再证即可； 【详解】（1）证明：作， ， ， ∴平分， ， （2）证明：如图所示： ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由侧面为矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩相应边的中点，如图2）．                  素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点（不在花岗岩的顶点处），B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．            素材3 如果没有带测量工具，可以用身体上的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和高（如图5）．                  解决问题 任务1 获取数据 通过观察计算，得到B，C两点之间的水平距离为 肘，铅垂距离（高度差）为 肘． 任务2 分析计算 通过观察、计算，得到石拱桥拱圈的半径为 肘． 任务3 预测判断 若水平面位于点C处，一艘宽6肘，水面之上的高为7肘的货船是否能顺利通过此石拱桥？请说明理由． 注：在测量、计算时，都以“肘”为单位． 【答案】任务1：5，5；任务2：；任务3：货船不能顺利通过此石拱桥 【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，根据素材1、素材2，观察图形，得出B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）即可； 任务2：作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于点D，记圆心为O，连结，．观察图形，得出，，的长，设，则，根据勾股定理，，，半径，得到方程，求解方程得出，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径； 任务3：根据垂径定理可知（肘），利用勾股定理求出，的长，即可判断答案． 【详解】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘， 根据素材1、素材2，观察图形，B，C两点之间的水平距离有块花岗岩的长，则（肘）， B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有5块花岗岩的宽，则（肘）， 故答案为：5，5． 任务2：如图，作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于点D， 记圆心为O，连结，， A是拱圈的最高点， 圆心O在的延长线上， 观察图形，（肘），（肘），（肘）， 设，则， ，，， ， 解得：， ， 石拱桥拱圈的半径为肘， 故答案为：． 任务3： 货船不能通过此石拱桥．理由如下： 由垂径定理得，（肘）， （肘）， （肘）， ， ， 即（肘）， 所以货船不能通过此石拱桥． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键． 【拓展训练三 垂径定理中的最值问题】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 【答案】(1)为中点位置； (2) 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理； （1）连接，如图，利用勾股定理得，利用垂线段最短得到当时，最小； （2）根据（1）得出、重合进而根据，求出即可． 【详解】（1）解：连接 又为半径是一个定值， 越小，越大 当为垂线段时，为最小值，则取最大值 为中点位置时，的长取得最大值． （2）由（1）知 、重合 的最大值是． 2．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，，是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M． (1)当时，求四边形的面积； (2)当AB变化时，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质．熟练掌握垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作于，于，连接，则四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，则 ，即为直径，，根据，计算求解即可； （2）如图1，设，由勾股定理得，，即，，，则，，，则，当时，四边形的面积最大，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：如图，作于，于，连接，则四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得，， ∴，即为直径， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：如图， 设， 由勾股定理得，，即，，， ∴，，， ∴， ∴当时，四边形的最大面积是． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 【答案】(1) (2)点P位置建详解； 【分析】（1）连接，分别求出和的长，进而即可求解； （2）连接交于点P，连接，作于点G，的长即为的最小值． 【详解】（1）连接， ∵，，是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连接交于点P，连接，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴， ∴． ∴，即的值最小值为． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及其推论． 根据垂径定理，平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧． 【详解】A． 平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误； B． 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确； C． 平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误； D． 垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误； 故选：B． 2．（25-26九年级上·西藏林芝·期中）如图，是的弦，若，则弦所对的圆心角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据同圆的半径相等，得到等腰三角形，根据等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知、、、是圆上的点，，、交于点，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，根据可得，根据弧与弦的关系可得结论． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，的半径长为4，将沿折叠，恰好经过的中点，且，则折痕长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于E点，连接，根据垂径定理可得，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出其长度即可． 【详解】解：延长交于E点，连接， ∵， ∴E为的中点， ∵的半径长为4，恰好经过的中点， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【详解】如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 6．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）若弦长等于半径，则弦所对弧的度数是 ． 【答案】或 【分析】由于弦长等于半径，则可判断由弦和经过弦的端点的两半径组成等边三角形，所以弦所对的圆心角的度数是；由于弦所对弧有劣弧和优弧，而弧的度数定义它所对的圆心角的度数，所以弦所对弧的度数是或． 【详解】解：∵弦长等于半径， ∴由弦和经过弦的端点的两半径组成等边三角形， ∴弦所对弧的度数是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定和性质，熟练掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那它们所对应的其余各组的量都分别相等的关系是解决问题的关键． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也相等．根据圆心角、弧、弦的关系定理直接推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2025·四川内江·模拟预测）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 9．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键． 的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标． 【详解】解：， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得， 故答案为：. 10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图2所示，三点在圆上，圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，七巧板，正方形的性质，确定圆的条件，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，延长交于，设圆心，连接，先求出七巧板各个图形的边长，进而可求出的长，由小鱼图案外轮廓是轴对称图形，得到垂直平分，得到圆心在上，，再在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于，设圆心，连接， ∵边长为的正方形纸板做出如图1所示的七巧板， ∴大等腰直角三角形的直角边长为，中等腰直角三角形的直角边长为，小等腰直角三角形的直角边长为，小正方形的边长为，平行四边形的边长为和， ∴是平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成，即， ∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形， ∴垂直平分， ∴圆心在上，， 由题意可得， 设，则， ∵中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆的半径是， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，直径，，，求的半径． 【答案】的半径为5 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，连接，由垂径定理可知，设的半径为，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接． 直径， ，， 设的半径为，则的长为， 在中，， ， 解得：，即的半径为5． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的两条弦，与相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系．利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 即． ∴． 14．（2025·吉林长春·模拟预测）在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．    (1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） (2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 【答案】(1) (2)存在，见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后利用等式的性质可得答案； （2）先证明，然后根据证明即可求解； （3）分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况求解即可． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵是等边三角形， ∴，． ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当顺时针旋转时，如图，作于H，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（2）得：， ∴； 当逆时针旋转时，如图，作于H，    同理可求． 综上可知，的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 15．（2025·江苏泰州·模拟预测）综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 【答案】（1）圆心到弦的距离；（2）①证明见解析，②；（3）． 【分析】（1）连接，过点作于点，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解； （2）过点作于点，延长交于点，则，由平称的性质可得，，则四边形是平行四边形，再证明四边是矩形，得到，即可得出结论； ②连接，过点分别作于点，于点，则，由（1）知，，由（2）同理可得，得到四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出，即可求解； （3）由题意，对称轴经过圆心，翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，得到为矩形，且，易得或，所以点在以为圆心，或为半径的圆上，当时，，当时，，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∴， 在中，， ∴圆心到弦的距离； （2）过点作于点，延长交于点，则，如图： 由平称的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形； ②连接，过点分别作于点，于点，则，如图： 由（1）知，，由（2）同理可得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）由题意，对称轴经过圆心， ∴翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，所得图形如图1和图2， 由（2）同理可得：为矩形，且， ∴或， ∴点在以为圆心，或为半径的圆上， 当时，， 当时，， 综上：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称等知识，掌握相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $