第24章 第35课时垂径定理及推论-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

参考答案 (2)△AB,C面积为3×3- ×3×1-号×2×1-号×3 又，∠BAG+∠GAD=90° ∴.∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90°. ×2=3.5. ∠EAG=∠BAD=90°. 【课堂过关】 ,∠EAF=45°， 1.（-3,2) 2.93.(1w3)4.}<m<2 ∴.∠FAG=∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°. 3 ∴.∠EAF=∠GAF. (EA-GA 5.(-3,4) (3,-4)(1,0) -3K 在△EAF和△GAF中，∠EAF=∠GAF, 微专题8旋转与坐标问题 AF-AF, △EAF≌△GAF(SAS)..EF=FG 1.A2.-2√33.(-6，-4)4.(8100,0) ·FD=FG十DG,∴DF=EF+BE 第二十三章《旋转》单元复习 第二十四章圆 【基础过关】 第34课时圆的相关概念 1.(1)D(2)120 〔课标预习】 (1)相等(2)旋转角(3)全等 问题1.⊙0问题2.弦问题3.弧半圆，劣弧，优弧 2.(1)B(2)B(3)B 问题4.重合问题5.互相重合 3.(1)D(2)C(3)D(-x,-y)(x,-y)(-x,y) 4.(1)B(2)(5,1)(3,4) 【典型问题】 解：(1)如答图所示，△ABC1即为所求作； 【例1】(1)BC,AB,AC (2)BC,AC (3)CAB,ABC 【变1】(1)AB,CD,BC(2)BC(3)AB (4)CD或CAD或CBD 【例2】21° 【变2】(1)60°30°(2)2 【例3】证明：OA=OB,.∠A=∠B. (OA-OB, 在△OAC和△OBD中，∠A=∠B, AC=BD, ∴.△OAC≌△OBD(SAS),∴∠AOC=∠BOD. 【变3】证明：AB,CD为⊙O的两条直径， ..OA=OB,OC=OD. 答图 .CE=DF,..OE=OF. (2)如答图所示，△A2B,C2即为所求作. OA=OB, 重难问题 在△AOF和△BOE中， ∠AOF=∠BOE, 1.解：(1)CD2+BD2=2AD OF=OE, (2)(1)中结论成立，理由如下： ∴.△AOF≌△BOE(SAS)..AF=BE. 如答图，将线段AD绕点A逆时针旋 (课堂过关】 转90°得到线段AE,连接DE,CE, △ABC为等腰直角三角形， 1.D2.63.104.(1)AB,AC,BC(2)AB,ACB .AB=AC,∠BAC=90°， 5.证明：取AB的中点O,连接OC,OD,如答图， ∠ABC=∠ACB=45°. ,△ABC和△ABD都为直角三角 由旋转性质可知△ADE为等腰直角 答图 形，且∠C=∠D=90°， 三角形，∴.AD=AE,∠DAE=90°. .DO,CO分别为Rt△ABD和 Rt△ABC斜边上的中线， ∴.∠BAC=∠DAE=90°，DE=√2AD ..OA=OB=OC=OD. ∴.∠BAD=∠CAE.∴.△BAD≌△CAE(SAS), .A,B,C,D四点在同一个圆上 ∴.BD=CE,∠ABC=∠ACE=45° 答图 6.(1)证明：，OA=OB,AD=BE, .∠BCE=∠ACE+∠ACB=90° 在Rt△DCE中，CD2+CE=DE,.CD2+CE=2AD. ..OD=OE ..CD +BD:=2AD; .CD=CE,OC=OC,∴.△OCD≌△OCE(SSS). ∴.∠OD=∠COE. (3)AD的长度为√5或13. 2.解：(1)EF=BE+DF 第35课时垂径定理及推论 (2)DF=EF+BE.证明如下： 如答图所示，：AB=AD,把 【课标预习】 △ABE绕点A逆时针旋转90°至 问题1：解：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆 △ADG,可使AB与AD重合， 的对称轴， ,∠ADC=∠ABE=90°， 问题2：解：是轴对称图形.AE=BE,AC-BC,AD=DB. .点C,D,G在一条直线上 3.平分弧直径垂直于弦直径平分弦 .'△AEB≌△AGD, 平分弦所对的弧 .EB=DG,AE=AG,∠EAB= 4.垂直于孤直径直径平分弦 ∠GAD. 直径垂直于弦平分弦所对的两条弧 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 【典型问题了 课堂过关] 【例1】解：如答图，连接OA, 1.60°2.64°3.2√/2 .OE⊥AB,AB=8cm, 4.解：连接OC,如答图， :AE=合AB=号X8=4(m. .OAI CD 在Rt△AOE中， ∴CM-DM,AC=AD OA=√OE+AE=√3+4=5， 答图 :C为AB的中点， ∴.⊙O的半径为5cm. ∴AC=BC, 【变1】懈：CD是⊙O的直径，点E是AB的中点， ..AC=AD-BC 答图 ∴.CD⊥AB ∴∠A0D=∠A0C=∠B0C=号×180=60 在Rt△AOE中，OA=OC=2+2=4,OE=2, CN⊥BD,∴.∠ONC=90°. ∴.AE=√OA2-OE=2√3，.AB=2AE=4√3. 在Rt△OCN中，.∠CON=60°， 【例2】解：设⊙O的半径为x, .0C=20N=2×2=4. ·C为AB的中点，CD=1,AB=6, .OD⊥AB,AC=3,OC=x-1. 在Rt△0CM中，：∠C0M=60°，OM=2OC=2. 在Rt△AOC中，AC+OC=OA2,即32+(x-1)2=x2, ∴.CM=3OM=2√3.∴.CD=2CM=43 解得x=5,.⊙0的半径为5. 【变2】解：如答图，连接OA,设⊙O的半径为r, 第37课时 圆周角定理(1) 则OA=r,OE=20-r 〔课标预习】 CDLAB.AE-BE-7AB=10. 问题1.顶点 两边 0 在Rt△OAE中， 〔典型问题】 102+(20-r)2=2, 【例1】C 【变1】A 解得-空0A- 21 【例2】解：：AB∥OC,∠OBA=50°， 答图 ∴.∠BOC=∠OBA=50°. 〔课堂过关】 ·∠BAC与∠BOC所对的弧都是BC, 1.④2.2 3.解：如答图，连接OA,OCLAB, ÷∠BAC=合∠B0C=25 【变2】解：AB=AC,∠B=∠C=70° .∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40° 即∠A的度数为40°. 【例3】B【变3V2 【例4】32° 【变4】100° 答图 【课堂过关 .AC=BC=√OA2-OC=√5-32=4. 1.解：45°，40°，30°.2.21°3.48°4.90 ∴.AB=2AC=8. 5.I)i证明：∠ACB=号∠AOB,∠BAC=合∠BOC, 4.证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点 E,则OE垂直平分CD,OE垂直平分 ∠ACB=2∠BAC,∴.∠AOB=2∠BOC, (2)解：如答图，过点O作半径OD⊥AB于点E,连接DB, AB,∴.CE=DE,AE=BE ∴.AE=BE ∴.AE-CE=BE-DE. .∠AOB=2∠BOC, ..AC=BD. D 5.106.1或7 答图 ∠DOB=Z∠A0B, 第36课时弧、弦、圆心角 .∠DOB=∠BOC .'BD=BC. 【课标预习 :AB=8,BC=25, 答图 问题1.重合，圆是中心对称图形 BE=4,DB=25. 问题2.重合，圆是旋转对称图形，具有不对称性. 在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∴.DE=√BD-BE=2, 问题4.(1)弧圆心角弦(2)弦圆心角优弧劣弧 在Rt△BOE中，∠OEB=90°，OB=(OB-2)2+4,解 典型问题】 得OB=5,即⊙O的半径是5. 【例1】110° 【变1】50° 【例2】4 【变2】< 【例3】 第38课时圆周角定理(2) 证明：：AB=AC,∴∠AOB=∠AOC 【课标预习】 ,∠BOC=120°，.∠AOB=∠AOC=∠B0C=120°， ★1.90 ..AB=AC=BC. △ABC是等边三角形 汇典型问题】 【变3】证明：：AB=CD,AB=CD, 【例1】50°【变1】30°【例2】125° 【变2】70 ..AB+AD=CD+AD...BD=AC. 【例3】证明：四边形ABCD内接于⊙O, ∴∠ABC+∠ADC=180°.数学·九年级·全册(R) 第35裸时 垂径定理及推论 课标预 预习教材第81页至82页.思考并完成以下问题. 问题2：如图，AB是⊙O的 问题1：圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？ 条弦，直径CD⊥AB,垂足为 E,如图是轴对称图形吗？你 D 能发现图中有哪些相等的线 段和弧？与同学交流一下为什么 问题3：垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 问题4：把垂径定理中的“垂直于弦”与“平分 平分弦所对的两条 弦”，得到垂径定理的推论（想想为什么）： 此定理的题设（已知）为 ;结论为 平分弦的直径 弦， 并且平分弦所对的两条 几何语言如下： ,此弦非 (想 ,AB⊥CD,且CD为⊙O的直径， 想为什么). ∴AE=BE,AD=BD,AC=BC. 此定理的题设（已知）为 :结论为 D 几何语言如下： 点E为AB的中点，且CD为⊙O的直径， .CD⊥AB,AD=BD,AC=BC 典型同题 例1如图，在⊙O中，弦AB=8c,OE⊥AB于变①如图，CD为⊙O的直径，AB,CD相交于点 点E,OE=3cm,求⊙O的半径. E,且点E是弦AB的中点，CE=OE=2,求AB 的长 >92《。 第二十四章圆 例2如图，AB是⊙O的弦，C为AB的中点，OC 变2如图，CD是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 的延长线与⊙O交于点D,若CD=1,AB=6,求E,AB=20,CE=20,求OA的长. ⊙O的半径. D 课堂母 基础关 1.下列说法正确的有 (填序号) 2.如图，⊙O的弦AB=2√3，M ①过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； 是AB的中点，且OM=1,则 ②弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不 ⊙0的半径为· 定过圆心；③过弦的中点的直径垂直于弦； ④平分弦所对的两条弧的直径平分弦 3.如图，⊙O的半径为5，OC=3,OC⊥AB,求4.如图，两个圆都以点O为圆心，求证：AC= AC及AB的长. BD. O D 素养关 5.(教材九上P90改编)如图，实 6.已知⊙O的半径为5，弦AB∥CD,AB=6,CD 线为一条公路，公路有一段是 =8,则AB与CD间的距离为 圆弧(AB),已知AB=12米， CD=2米，半径OC⊥AB,则 OA的长为 米 ●93《●。