上海市上海交通大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期 高二数学期中考试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟，答案一律写在答题纸上.） 命题：崔文鑫 审核：杨逸峰 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 已知，不等式的解集为_____. 2. 已知数列是等差数列，且，则其前7项和_________． 3. 已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 4. 函数的单调递减区间是_____________ 5. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______． 6. 直线的倾斜角的大小为_____. 7. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为_____. 8. 下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为______. 10. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的取值范围_____. 11. 已知实数，满足，则的取值范围是______. 12. 若直线交椭圆（，且、为整数）于点、．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知a，，，则下列不等式中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 15. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（ ） A. ①是假命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①②都是假命题 D. ①②都是真命题 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 17. 已知数列，其前项和为.数列满足，. （1）求数列、的通项公式； （2）若数列满足，求数列前项和. 18. 如图，已知是正三角形，都垂直于平面，且是的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 19. 已知函数的最小正周期为π． （1）求的单调递减区间； （2）先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 20. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中. （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； （3）设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，. （1）求椭圆的方程； （2）求动点的轨迹方程； （3）过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？ 2025-2026学年度第一学期 高二数学期中考试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟，答案一律写在答题纸上.） 命题：崔文鑫 审核：杨逸峰 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】4 【4题答案】 【答案】和 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】①②③ 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 【18题答案】 【答案】(1)见解析；（2）见解析 【19题答案】 【答案】（1），． （2） 【20题答案】 【答案】（1）； （2）证明见详解，定点坐标为； （3）证明见详解，定点坐标为. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）为定值，证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $