精品解析：山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期模拟考试（一模）数学试题

参照秘密级管理★启用前 师大附中2025—2026学年度第一学期高三模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数z的模为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. 7 C. 12 D. 5. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知平行四边形中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域均为，是奇函数，且 ，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. D. 8. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 已知函数，若，则 C. 函数的值域是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积的最小值为 B. 最小时，弦长为 C. 最小时，弦所在直线方程为 D. 直线过定点 11. 对于平面内的一个有限点集由有限个点组成的集合若该点集内的每个点都恰有三个与之距离最近的点这三个点也在点集内则称这样的点集为“对称集”，记作其中n表示该点集内点的个数.如集合不存在；集合存在，该集合内16个点的一种分布方式为如图所示，则使存在的n还可以为（ ） A. 20 B. 24 C. 4 D. 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分． 12. 《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布__________尺． 13. 若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的最小正数值为_________． 14. 过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求参赛学生成绩的众数、中位数； （2）按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在的概率. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，. （1）求的值； （2）求. 17. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线； （2）讨论函数的单调性. 18. 如图，已知平面，底面为矩形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”. （1）设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由； （2）设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由； （3）设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参照秘密级管理★启用前 师大附中2025—2026学年度第一学期高三模拟考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数z的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算法则对进行化简，再由复数的模长公式即可求得复数z的模. 【详解】因为，所以． 故选：C. 2. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分析x的取值，然后判断两个集合的包含关系，由包含关系可得. 【详解】因为，所以，即， 又，所以，所以. 故选：B 3. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. 7 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的数量积为0求解即可. 【详解】由题意，，又，故， 即，，解得. 故选：A 5. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围． 【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为， 抛物线的焦点为， 设，则，， 由可得：， 整理可得：， ， ， ， 则：， 由可得：. 故选：B. 6. 已知平行四边形中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用向量表示向量，再结合数量积的运算律计算即得. 【详解】平行四边形中，由，得， 由，得， 因此， 整理得，即，所以. 故选：B 7. 已知函数的定义域均为，是奇函数，且 ，则（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据已知条件推出是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数，，故A错误；C选项，推出，，，从而求出；B选项，由得，故B错误；D选项，计算出，，故，结合函数的周期得到答案. 【详解】A选项，因为，所以， 又，则有， 因为是奇函数，所以， 可得，即有与， 即， 所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数. 因为且. 所以， 所以为偶函数. 故A错误， C选项，由是奇函数，则， 因为，所以， 又，是周期为4的周期函数， 故， 所以，所以C错误； B选项，由得，故不是奇函数，所以B错误； D选项，因为，所以， . 所以， 所以，所以D选项正确 故选：D 【点睛】设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 8. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】即，则圆心为，半径， 直线，令，解得，即直线恒过定点， 又，所以点在圆内， 设，，，由， 消去整理得，显然，则， 则， 所以，， 则， 则， 又直线的斜率不为，所以不过点， 所以动点的轨迹方程为（除点外）， 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 已知函数，若，则 C. 函数的值域是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据两函数的定义域不同，即可求解； 对于B，求函数解析式，代入即可求解； 对于C，结合函数解析式求值域，即可求解； 对于D，由复合函数的定义域的求法，即可求解． 【详解】函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数，A选项错误； 函数，令，得， 若，解得，B选项正确； 由，有，则，所以函数的值域是，C选项正确； 若函数的定义域为，由，解得，则函数的定义域为，D选项错误. 故选：BC 10. 已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积的最小值为 B. 最小时，弦长为 C. 最小时，弦所在直线方程为 D. 直线过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】利用和等面积法判断AB；设，，，利用两条切线方程联立得到直线关于的方程，求出最小时点坐标代入即可判断C；由含参直线方程过定点的求法计算D即可. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 对于AB，四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离，所以， 此时，A正确； 又，所以此时，B错误； 对于C，设，，， 则过作圆的切线，切线方程为：， 过作圆的切线，切线方程为：， 又为两切线交点，所以， 则两点坐标满足方程：， 即方程为：； 当最小时，，所以直线方程为：， 由得，即， 所以方程为：，即，C错误 对于D，由C知：方程为：； 又，即， 所以方程可整理为：， 由得，所以过定点，D正确. 故选：AD 11. 对于平面内的一个有限点集由有限个点组成的集合若该点集内的每个点都恰有三个与之距离最近的点这三个点也在点集内则称这样的点集为“对称集”，记作其中n表示该点集内点的个数.如集合不存在；集合存在，该集合内16个点的一种分布方式为如图所示，则使存在的n还可以为（ ） A. 20 B. 24 C. 4 D. 5 【答案】AB 【解析】 【分析】理解题意，分析出n需要满足的特征即可. 【详解】根据题目定义，对称集要求每个点有三个最近的邻点， 且这些邻点均在点集内.结合图论中的正则图每个顶点度数为需满足边数为整数， 故 n必须为偶数.题目中已给出存在的例子，而不存在.几何构造分析表明， 在平面中满足每个点有三个等距邻点的有限点集需要高度对称的结构， 如蜂窝状或特殊网格排列，但此类构造仅对特定偶数可行.最终答案所有可能的n值为偶数且 所以或者. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分． 12. 《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布__________尺． 【答案】90 【解析】 【分析】每日织布数看作等差数列，利用等差数列求和公式计算出答案. 【详解】每日织布数可看作等差数列，其中， 故30天共织布尺. 故答案为：90 13. 若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的最小正数值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再由三角函数的变换规则计算可得. 【详解】因为， 将函数的图象向左平移个单位长度 得到的图象， 依题意得，所以， 所以的最小正数值为. 故答案为： 14. 过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设为上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转到，根据旋转关系，可得点的轨迹为等轴双曲线，从而得到曲线也是等轴双曲线，由双曲线的性质结合几何关系即可求解. 【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到， 则，由于，则， 化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且； 所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示. 因为点分别是和的中点，故， 而，由于， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求参赛学生成绩的众数、中位数； （2）按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在的概率. 【答案】（1）众数为65，中位数为65 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图确定众数与中位数即可； （2）根据古典概型求解基本事件总数与所求事件总数即可得答案. 【小问1详解】 由题图可知众数为65， 因为的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为； 的频率为； 所以设中位数为，则，解得，所以中位数为； 【小问2详解】 按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，则分别抽取了3人，2人，1人. 设这6人分别为，，，，，. 再从其中抽取2人，这一共有，，，，，，，，，，，，，，，总共15种情况. 两人都在有，，三种情况， 则求这两人都是在的概率为. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算可得； （2）由正弦定理计算可得； 【小问1详解】 由余弦定理， 所以，即， 解得或（舍去），所以． 【小问2详解】 由正弦定理， 所以， 所以． 17. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出导数，按，，，分类讨论即得函数的单调性. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. 18. 如图，已知平面，底面为矩形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1) 若为中点，连接，易证为平行四边形，则，根据线面平行的判定即可证明； (2)建立空间直角坐标系，易知是面的一个法向量，求出平面的法向量量，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 若为中点，连接，又､为､的中点，底面为矩形，所以且，而且，所以且，故为平行四边形， 故，又面，面，则面. 【小问2详解】 由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，所以，，，， 则，，， 若是面的一个法向量，则， 令，故， 又是面的一个法向量， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值. 19. 差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”. （1）设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由； （2）设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由； （3）设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）不是“绝对差异数列”， 是“累差不变数列”，理由见解析 （2）都是等差数列，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“绝对差异数列”和“累差不变数列”的定义判断即可； （2）分别求出数列的通项，再根据等差数列的定义即可得出结论； （3）根据等差数列的性质以及新定义求解出，运用基本不等式求解出的范围，从而得出的最值. 【小问1详解】 对于数列， 可得：一阶差分数列为，不满足， 所以不是“绝对差异数列”， 二阶分差数列为，满足， 所以是“累差不变数列”； 【小问2详解】 因为， 所以，所以， 因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 因为， 所以数列数列是首项为，公差为的等差数列； 【小问3详解】 由题意得， 对，都有， 所以， 所以， 所以，所以数列是等差数列， 设数列的公差为，则， 当时，，与矛盾； 当时，当时，， 与数列的各项均为正数矛盾，故， ， 则， ， 因为，所以， 所以， 则当时，不等式恒成立， 另一方面，当时，令， 则， ， 则 ， 因为， 所以当时，， 即有，与恒成立矛盾. 综上所述，实数的最大值为. 【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题，关于新定义问题的常见思路为： （1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等； （2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用； （3）对于不等式恒成立问题要结合均值不等式进行求解最值，把握好分类讨论的时机. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $