18.3分式的加法与减法（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.3分式的加法与减法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 同分母分式加减法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为： 异分母分式加减法则： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分 式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： 型 习 练 题 同分母分式加减法 1．计算的结果是（    ） A． B． C．0 D．1 2．若，则□中的数是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数 3．计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．计算：（   ） A． B．1 C．a D． 异分母分式加减法 6．化简的结果是（   ） A．m B． C． D． 7．计算： A． B．1 C．a D． 8．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（　　） A．0 B． C． D． 10．化简：等于（    ） A． B． C． D． 分式加减的实际应用 11．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 12．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 13．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 14．节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 15．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 分式加减乘除混合运算 16．计算： (1)； (2)． 17．计算： (1) (2) 18．计算： (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)． 20．计算 (1) (2) 分式化简求值 21．先约分，再求值：，其中，． 22．先化简，再求值：，其中． 23．先化简，再求值：，其中． 24．先化简，再求值：，其中． 25．先化简，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.3分式的加法与减法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 同分母分式加减法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为： 异分母分式加减法则： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分 式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： 型 习 练 题 同分母分式加减法 1．计算的结果是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2．若，则□中的数是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 将等式右侧的分式移项至等号左侧，与左侧分式进行计算即可求得□中的数． 【详解】解：由等式的性质可得， ， ， 当时，上式， 当时，分式无意义， 所以． 故选：B． 3．计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是关键；直接把分子相减，分母不变即可求解． 【详解】解：原式， 故选：A． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算法则，是解题的关键．根据同分母分式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．计算：（   ） A． B．1 C．a D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式化简，掌握通分化简是解题的关键．根据题意化为同分母，再加减求值即可． 【详解】． 故选：B． 异分母分式加减法 6．化简的结果是（   ） A．m B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的运算是解题的关键． 先将分式进行通分，再进行分式的加减运算即可． 【详解】解： ， 故选A． 7．计算： A． B．1 C．a D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加减，掌握知识点是解题的关键． 先将分母化为同分母，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故选B． 8．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是熟悉运算法则． 根据，再合并同类项即可． 【详解】由， 故选：B． 9．计算的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，解题关键是牢记分式加减的步骤． 先通分，再将分子相加减，最后化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选C． 10．化简：等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 先通分，然后合并，即可得到答案． 【详解】解： 故选A． 分式加减的实际应用 11．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 12．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式（分式），通过设距离比较时间，利用速度、路程和时间的关系，得出甲先到达的结论，与速度v无关，设从A地到B地的距离为，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项． 【详解】解：设A到B的距离为，则中点为s． ∵甲的速度为v， ∴甲所用时间． ∵乙先用速度到达中点，再用速度到达B地， ∴乙第一段时间，乙第二段时间， ∴乙总时间． ∵， ∴， ∴甲先到达B地． 故选：B． 13．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据题意可得甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再相加即可． 【详解】解：甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队完成一项工程需天， 甲工程队的效率为，乙工程队的效率为， 两队共同工作一天完成这项工程的， 故选：D 14．节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查分式减法的应用，根据题意列出喷灌方式每天用水量，用漫灌方式每天用水量减去喷灌方式每天用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】解：漫灌方式每天用水量：吨， 喷灌方式每天用水量：吨， 现在比原来每天少用水：吨， 故选C． 15．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 分式加减乘除混合运算 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算． （1）通分并利用同分母分式的减法法则计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)1 【分析】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方，合并同类项，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算单项式乘单项式，幂的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）先整理括号内，再运用乘法运算律，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了分式的加减乘混合运算，解题的关键是掌握同分母分式减法法则、分式乘法法则，以及“先括号后乘除”的运算顺序，运算中注意因式分解与约分简化过程． （1）利用同分母分式减法法则，分子相减、分母不变，再对分子因式分解后约分； （2）先计算括号内的减法，通分转化为同分母分式运算，化简后与括号外分式相乘，通过因式分解约分得出结果． 【详解】（1）解： （2）解： 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算和分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式运算的法则，注意符号的处理和因式分解的应用． （1）先将分母化为相同，再进行分式的加减运算，最后约分； （2）先对括号内的分式进行通分计算，再对分母进行因式分解，然后进行分式的乘法运算并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据同分母分式的加法进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 分式化简求值 21．先约分，再求值：，其中，． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了分式化解求值，先用完全平方公式展开，然后约分，最后代入数值计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时对分子因式分解，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先利用完全平方公式和因式分解法化简分式，再代入求值． 【详解】解：原式 当 时，原式． 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式= ． 25．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号，再运算除法，最后运算减法，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 学科网（北京）股份有限公司 $