16.3乘法公式（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.3乘法公式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 平方差公式 完全平方公式 ； 型 习 练 题 运用完全平方公式进行运算 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 2．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及完全平方公式的运算法则求解，即可解题． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 3．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了添括号，完全平方公式，掌握去括号与添括号法则以及完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．根据添括号法则以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D正确，符合题意． 故选：D． 4．如果，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，易错点是符号的变化规律，以及偶次方和奇次方的性质．通过计算每个等式的左右两边，发现选项A、B、D在时均不成立，而选项C恒成立． 【详解】解：A、，故本选项错误，不合题意； B、，故本选项错误，不合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，逐项分析判断即可． 【详解】解：A：∵ 与 不是同类项，∴ 不能合并，A错误，不符合题意； B：∵ ，又∵ ，∴ B正确，符合题意； C：∵ ，但右边为 ，∴ C错误，不符合题意； D：∵ ，但右边为 ，∴ D错误，不符合题意； 故选：B． 通过对完全平方公式变形求值 6．若，则a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式配方，通过将二次三项式进行配方后，比较系数求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 比较系数得：， 即； 又， 即， ， 因此，， 故选：C． 7．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的公式变换，熟练应用是关键． 利用完全平方公式展开 ，并代入已知条件求解 ． 【详解】∵ ， 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故答案选：A． 8．若长方形的周长为16，其邻边为整数，且满足则长方形的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．因为边长为a，b，根据周长为16可得，再将原式整理，整体代入求解即可． 【详解】解：依题意得．则， ∴，即， 解得：． 故选：D． 9．已知，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，设，则，，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 10．已知，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式；根据对完全平方公式变形求值，整体计算即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：A． 完全平方公式在几何图形中的应用 11．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． 根据图形表示出两个正方形边长与、的关系，结合乘法公式计算逐个判断即可． 【详解】解：由图形可得，，，故①正确； ∴，故②正确； 由图形可得，，故③正确； ， ∴，即故④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 12．如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形的问题，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 13．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．根据拼图可知大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而得出，，，即可得出答案． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ， ， ， 由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案， ， 故选：C． 14．如图，有两个正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放置在A的内部得到图甲，将A，B并列放置．以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和14，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义，完全平方公式和平方差公式的应用，根据图甲和图乙中阴影部分的面积列出等式，再通过对等式的变形和计算，分别判断每个选项的正确性． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，即，故B选项正确； 图乙中阴影部分的面积为，即，故选项D正确； ∴，故选项C正确； ∴，故选A错误． 故选：A． 15．有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，设还需要取k张C卡片，根据题意可得是一个完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：设还需要取k张C纸片， ∵取纸片张，取纸片张， ∴面积和为， ∵要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，C纸片的面积为， ∴，是一个完全平方式， ∴， ∴（负值舍去） ∴还需张C纸片， 故选：C． 求完全平方式中的字母系数 16．有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，拼成大正方形时，总面积需为完全平方式，现有面积为，需添加张纸片，使 为完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：∵为完全平方式，且， ∴还需要抽取面积为的正方形纸片 4 张， 故选：B． 17．若是完全平方式，则的值是（　　） A．-6 B．6 C． D．±36 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，运用完全平方式的定义进行变形、求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴当时，是一个完全平方式， 故选：C． 18．已知是完全平方式，则的值为（    ） A．±4 B．±2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是要注意积的2倍符号，有正负两种情形，避免漏解．根据完全平方公式，题中的首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2积的两倍，据此即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式，且， ∴， ∴， 故选：A． 19．若是完全平方式，则的值是（   ） A．20 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央， 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解． 【详解】∵ 是完全平方式， ∴， ∴． 故选B． 20．若是完全平方式，则k的值是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征，将给定的代数式与完全平方公式的形式对比，求出的值． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴ 设， ∴ ，解得， ∴ ， 故选：D． 整式的混合运算 21．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 22．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【分析】本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式． 利用完全平方公式、整式的运算法则化简，再代入的值到化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 23．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；1 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用多项式除以单项式，用平方差公式运算，去括号，合并同类项得到最简结果，再把a与b的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的计算方法．根据多项式乘法和完全平方公式，平方差公式可以化简代数式，然后将，代入化简后的式子即可求解． 【详解】解： 当时，原式 25．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，掌握平方差公式，正确计算是本题的解题关键； 用平方差公式和单项式乘多项式的法则进行计算，然后合并同类项. 【详解】解：原式 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3乘法公式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 平方差公式 完全平方公式 ； 型 习 练 题 运用完全平方公式进行运算 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如果，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 通过对完全平方公式变形求值 6．若，则a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 8．若长方形的周长为16，其邻边为整数，且满足则长方形的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．已知，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 10．已知，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 完全平方公式在几何图形中的应用 11．借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图（1）是长，宽分别为a和b的小长方形，用4个这样的小长方形围成图（2）所示的两个正方形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y．观察图形，下列4个结论中，正确的个数是（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，两个正方形边长分别为，．已知，阴影部分的面积为14，则值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 13．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 14．如图，有两个正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放置在A的内部得到图甲，将A，B并列放置．以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和14，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 15．有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 求完全平方式中的字母系数 16．有若干张面积分别为，，的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了张面积为的正方形纸片，张面积为的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为的正方形纸片（　　） A．张 B．张 C．张 D．张 17．若是完全平方式，则的值是（　　） A．-6 B．6 C． D．±36 18．已知是完全平方式，则的值为（    ） A．±4 B．±2 C．2 D．4 19．若是完全平方式，则的值是（   ） A．20 B． C． D． 20．若是完全平方式，则k的值是（   ） A．8 B． C． D． 整式的混合运算 21．先化简，再求值：，其中，． 22．先化简，再求值：，其中，． 23．先化简，再求值：，其中，． 24．先化简，再求值：，其中． 25．计算： 学科网（北京）股份有限公司 $