15.3等腰三角形（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3等腰三角形 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 等腰三角形的基本概念 等腰三角形的基本性质 新课探索 等腰三角形的基本判定 等边对等角 讲义内容 三线合一 证明等腰三角形 根据等角对等边求边长 含30度角的直角三角形 题型练习 等腰三角形的性质和判定 等边三角形的性质 等边三角形的判定 等边三角形的判定和性质 新 课 探 索 等腰三角形基本概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫 做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做 底角 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 等腰三角形基本性质 ①等腰三角形两腰相等， ②等腰三角形两底角相等（等边对等角）· ③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合. ④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一(1条)· 等边三角形的性质： ①等边三角形三边都相等. ②等边三角形三个内角都相等，都等于60° ③等边三角形每条边上都存在三线合一 ④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一(3条)· 等腰三角形基本判定 (1)等腰三角形的判定： ①有两条边相等的三角形是等腰三角形 ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对 等边)· (2)等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形， ②三个角都相等的三角形是等边三角形， ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， 题 型 练 习 等边对等角 1.如图，在Rt△ABC中，AD=ED,∠CDE=72°，则∠B的大小是() B E D C A.108° B.64° C.54° D.36° 2.如图，在ABC中，AB=AC,AD,BE分别是ABC的中线和角平分线.若 ∠CAD=20°，则∠ABE的度数为() A.20° B.35 C.40° D.70° 三线合一 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=12,D为BC边上一点，连接AD,且AD=AC ,若CD=2,则BD的长为() B D A.4 B.5 C.6 D.8 4.如图，在ABC中，AB=AC,小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取BC的中点 D,连接AD,则AD为∠BAC的平分线，她这样做的依据是() 中mm 0 12 345 A. 垂线段最短 B.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C.等腰三角形"三线合一" D.角的平分线上的点到角两边的距离相等 证明等腰三角形 5.如图，在ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2LC.若AB=5,BC=6,则△ABD的 周长为() D A.8 B.10 C.11 D.12 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=75°，D是BC上一点，连接AD,若 ∠DAC=60°，AC=8,则BD的长为() A D A.6 B.8 C.12 D.16 根据等角对等边求边长 7.如图.在ABC中，BC=10,∠B=∠BAC=15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D,则 AD的长为() C D A.4 B.5 C.6 D.8 8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,若 AD=5.则DC=() B A.5 B.7 C.8 D.10 含30度角的直角三角形 9.如图，在ABC中，∠A=30°，AB=BC,点D,E分别在边AB,AC上，若沿直线 DE折叠，点A恰好与点B重合，且CE=6,则AC的长为() A.D B A.10 B.9 C.8 D.10 10.一个等腰三角形，顶角是150°，腰长是6厘米，则这个等腰三角形的面积等于（) cm2 A.36 B.18 C.9 D.4 等腰三角形的性质和判定 11.如图，四边形ABCD中，∠BCD+∠BAD=180°，BD平分∠ADC,BE⊥CD于E. B (I)求证：AB=BC; (2)若DE=10,BE=4,求四边形ABCD的面积. I2.如图，ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，点E在AC上，AE=DE.求证： B D (I)DE∥AB; (2)ACDE是等腰三角形. 等边三角形的性质 13.如图，在ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E,延长 ED和CA,交于点F. F A D B E (I)求证：AD=AF; (2)若∠C=60°，BD=4,EC=6,求AF的长. 14.已知，在等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，BE=CD,连接AE、 BD相交于点F. D H F /F E B E 图1 图2 (1)如图1，求证：BD=AE: (②)如图2，过点A作AH⊥BD于H,若EF=HD,求证：F为BH中点. 等边三角形的判定 15.已知：如图，∠B=∠C,BD=CE,AB=DC, E 0 (I)求证：ADE为等腰三角形 (2)若∠B=60°，判断ADE的形状并说明理由 I6.如图，点B,C,D在同一条直线上，ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于 点F,AD交CE于点H,连接FH,求证： (I)△BCE≌△ACD; (2)CF=CH (3)FCH是等边三角形. 等边三角形的判定和性质 17.如图，在△ABD与△BCD中，AB=AD,CB=CD,∠DAB=60°，过点C作 CE∥BA,交AD于E,交BD于F,连接AC,交BD于H. A E F B H (1)判断aDEF的形状，并说明理由. (2)求证：AC平分∠DAB. (3)若AD=12,CE=8,求CF的长. I8.如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC于C,AE⊥AB于A,连接 BE交CD于点G. D B (1)求∠DCE的大小； (2)求证：△CEG是等边三角形， 15.3等腰三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 等腰三角形基本概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫 做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做 底角. 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 等腰三角形基本性质 ①等腰三角形两腰相等. ②等腰三角形两底角相等（等边对等角）. ③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合. ④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）. 等边三角形的性质： ①等边三角形三边都相等. ②等边三角形三个内角都相等，都等于60° ③等边三角形每条边上都存在三线合一. ④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）. 等腰三角形基本判定 ⑴等腰三角形的判定： ①有两条边相等的三角形是等腰三角形. ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对 等边）. ⑵等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 型 习 练 题 等边对等角 1．如图，在中，，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形的外角性质，直角三角形的性质．三角形的外角性质结合等边对等角求得，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解：是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 三线合一 3．如图，在中，，，为边上一点，连接，且，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是含的直角三角形性质、三线合一，解题关键是作出正确的辅助线． 作交于点，由含的直角三角形性质求出，再根据三线合一得出，则． 【详解】解：作交于点， ，又， ， ， ， ，，， ， ． 故选：． 4．如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点，连接，则为的平分线，她这样做的依据是（    ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形"三线合一" D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一定理，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线三线合一，在中，，点是的中点，可知为的平分线． 【详解】解：在中，， 点是的中点， 根据等腰三角形的三线合一定理， 可知为的平分线． 故选：C． 证明等腰三角形 5．如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质、等角对等边的性质，根据直角三角形两锐角互余可知，根据直角三角形的性质可得，根据、可以求出，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得：． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ． 故选：D． 根据等角对等边求边长 7．如图．在中，，，交的延长线于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，由，得，根据三角形外角性质可得，最后通过所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 8．如图，在中，，，的平分线交于点，若．则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，由直角三角形锐角互余可得，又平分，则，通过直角三角形性质可得，最后通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 含30度角的直角三角形 9．如图，在中，，，点，分别在边，上，若沿直线折叠，点恰好与点重合，且，则的长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质．由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，由折叠可得，，求出，再由含角的直角三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 由折叠可得：，， ， ， ， ， 故选：B． 10．一个等腰三角形，顶角是，腰长是6厘米，则这个等腰三角形的面积等于（   ） A．36 B．18 C．9 D．4 【答案】C 【分析】通过作腰上的高构造直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半求出高，进而计算三角形的面积即可； 本题主要考查了等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质，作腰上的高构造含角的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图， 等腰中，，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴． 故选C． 等腰三角形的性质和判定 11．如图，四边形中，，平分，于E． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)40． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中线平分面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）在上取一点F，使，连接，证明，则．而，，故，则，那么； （2）可求，由三线合一性质得． 则．而，故，那么． 【详解】（1）证明：如图，在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴． 在与中 ∴． ∴． ∵， 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵于点， ∴． 由（1）得， 又∵于E， ∴由三线合一得． ∴． 又由（1）得， ∴ ∴ ． 12．如图，中，，是边上的中线，点E在上，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，余角的性质，解题的关键是证明． （1）根据等腰三角形的性质，得出，，根据余角的性质得出，即可得出，根据平行线的判定得出答案即可； （2）根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． 等边三角形的性质 13．如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后由直角三角形的锐角互余得到，结合对顶角相等，即可根据等角对等边证得结论； （2）根据已知条件可知是等边三角形，进而得到，由30度角所对直角边等于斜边的一半得到，然后根据线段的和差运算即可求得的长，从而得到的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 14．已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作于，若，求证：F为中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，结合，利用可证明，则； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， 又， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴，， ， 又， ∴， ， ∴， ， ，即， ，即F为中点． 等边三角形的判定 15．已知：如图，，，， (1)求证：为等腰三角形． (2)若，判断的形状并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求证，得； （2）由，得，再结合三角形外角性质，得出，由（1）知，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，，． ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴为等边三角形． 16．如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，交于点F，交于点H，连接．求证： (1)； (2)； (3)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据题意可得，，，从而得到，即可求证； （2）根据点，，在同一条直线上以及可得，从而得到，即可求证； （3）由（2）可得，，即可求证． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）证明：由（2）可得，， ∴是等边三角形． 等边三角形的判定和性质 17．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 18．如图，是等边三角形，D是的中点，于C，于A，连接交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等基础知识，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）根据是等边三角形，得出，结合，求出，根据角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， ∵是的中点， ， ， ， ． （2）证明：∵是等边三角形， ， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ∴垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， ∴是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $