15.1图形的轴对称（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.1图形的轴对称 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形. 对称的性质： ①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线. ②对称的图形都全等. 两个图形成轴对称 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称. 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①点关于轴对称的点的坐标为. ②点关于轴对称的点的坐标为. 线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 基本方法 ⑴做已知直线的垂线： ⑵做已知线段的垂直平分线： ⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形： ⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短. 型 习 练 题 轴对称图形的识别 1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图标是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 成轴对称的两个图形的识别 3．视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 4．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 根据乘轴对称图形的特征进行判断 5．如图，若与关于直线l对称，分别交l于点M，O，N，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B．直线 C． D． 6．如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 根据成轴对称图形的特征进行求解 7．如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 8．如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 轴对称中的光线反射问题 9．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 10．无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 折叠问题 11．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（　　） A． B． C． D． 12．如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 线段垂直平分线的性质 13．如图，在中，垂直平分线段，，的周长为13，则的周长为（    ） A．16 B．13 C．19 D．23 14．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若的周长为13，，则的周长为（    ） A．7 B．14 C．17 D．20 线段垂直平分线的判定 15．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（   ） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 16．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小亮说得对，可添条件为“” B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 写出命题的逆命题 17．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 18．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．钝角三角形中有两个锐角 B．对顶角相等 C．全等三角形的三条边对应相等 D．全等三角形的面积相等 判断是否是互逆命题 19．下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（   ） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 20．下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 作已知线段的垂直平分线 21．如图，线段与线段交于点，现要在内部作一点，连接、，使得点到的距离与点到的距离相等，且，请你利用尺规作图法找出点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 22．如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 画对称轴 23．画出下列图形的对称轴 24．指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1图形的轴对称 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形. 对称的性质： ①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线. ②对称的图形都全等. 两个图形成轴对称 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称. 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①点关于轴对称的点的坐标为. ②点关于轴对称的点的坐标为. 线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的性质： ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 基本方法 ⑴做已知直线的垂线： ⑵做已知线段的垂直平分线： ⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形： ⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短. 型 习 练 题 轴对称图形的识别 1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2．下列图标是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键，据此解答即可． 【详解】解：轴对称图形是沿某直线折叠后直线两旁部分重合的图形．A、B、C均无对称轴，不符合轴对称图形的定义；D符合轴对称图形的定义． 故选：D． 成轴对称的两个图形的识别 3．视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键． 根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意； B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意． 故选：A． 4．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答 【详解】解：A、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； B、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； C、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意； D、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 故选：C ． 根据乘轴对称图形的特征进行判断 5．如图，若与关于直线l对称，分别交l于点M，O，N，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B．直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，利用轴对称的性质一一判断即可． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴，直线，， 故选项A，B，D正确，无法判断选项C成立， 故选：C． 6．如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可．， 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，，， 故选项A、B、C判断正确，不符合题意，选项D判断错误，符合题意， 故选：D． 根据成轴对称图形的特征进行求解 7．如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴的周长； 故选B． 8．如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质； 先根据三角形内角和定理求出，再根据轴对称的性质得出的度数，然后可计算的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是轴对称图形， ∴， ∴， 故选：B． 轴对称中的光线反射问题 9．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 10．无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由光的反射定律可知，，再由平行线的性质推出，从而得出结论． 【详解】解：如图： 由光的反射定律可知， ， ， 两平面镜平行， 两直线平行，内错角相等， 由光的反射定律可知， 故选：C． 折叠问题 11．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高：正确理解三角形的高的定义是解决问题的关键．为三角形的高，则．所以，然后对各选项进行判断． 【详解】解：是的高的是： 故选：D． 12．如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题关键在于掌握知识点的合理应用； 由折叠得到，由平行线的性质，可得，进而求得，再由角的和差关系即可解答． 【详解】解：由折叠得到， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：D． 线段垂直平分线的性质 13．如图，在中，垂直平分线段，，的周长为13，则的周长为（    ） A．16 B．13 C．19 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质，得到，，再结合的周长，得到，即可求出的周长． 【详解】解：垂直平分线段，， ，， 的周长为13， ， 的周长为， 故选：C． 14．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若的周长为13，，则的周长为（    ） A．7 B．14 C．17 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，即可得． 【详解】解：由题意知是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：D． 线段垂直平分线的判定 15．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（   ） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【详解】解：A、可添条件为“”才能说：“直线是的垂直平分线．”，故小明说的不对，该选项正确； B、添条件为“”，则，不能证明，故该选项错误； C、添条件为“”，在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； D、添条件为“平分”， 在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； 故选：B． 16．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小亮说得对，可添条件为“” B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【详解】解：A、添条件为“”， 在和中，， 则， ， 直线是的垂直平分线，故该选项正确，不符合题意； B、添条件为“”，则，不能证明，故该选项错误，符合题意； C、添条件为“”，在和中，， 则， ， 直线是的垂直平分线，故该选项正确，不符合题意； D、添条件为“平分”， 在和中，， 则， ， 直线是的垂直平分线，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 写出命题的逆命题 17．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换即可． 【详解】解：∵原命题为“如果，那么”， ∴逆命题为如果 ，那么 ， 故选：B 18．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．钝角三角形中有两个锐角 B．对顶角相等 C．全等三角形的三条边对应相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题、三角形的分类、对顶角、全等三角形的判定，正确写出逆命题是解题关键．先写出各命题的逆命题，再根据三角形的分类、对顶角、全等三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、逆命题：有两个锐角的三角形是钝角三角形，是假命题；反例：直角三角形有两个锐角，则此项不符合题意； B、逆命题：相等的角是对顶角，是假命题，则此项不符合题意； C、逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等，是真命题，则此项符合题意； D、逆命题：面积相等的两个三角形全等，是假命题，则此项不符合题意； 故选：C． 判断是否是互逆命题 19．下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（   ） A．成轴对称的两个图形全等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题、轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．先写出原命题的逆命题，再根据轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质、对顶角的性质判断原命题与逆命题的真假即可得． 【详解】解：A、原命题：成轴对称的两个图形全等，是真命题；逆命题：全等的两个图形是轴对称图形，是假命题；则此项不符合题意； B、原命题：直角三角形两锐角互余，是真命题；逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形（理由是三角形内角和，若两锐角互余，则第三个角为），是真命题；则此项符合题意； C、原命题：对顶角相等，是真命题；逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；则此项不符合题意； D、原命题：全等三角形的面积相等，是真命题；逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；则此项不符合题意； 故选：B． 20．下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意； B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意； C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意； D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意， 故选：D． 作已知线段的垂直平分线 21．如图，线段与线段交于点，现要在内部作一点，连接、，使得点到的距离与点到的距离相等，且，请你利用尺规作图法找出点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线，作线段垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．结合角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，作的平分线和线段的垂直平分线，交点即为所求的点． 【详解】解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 22．如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点E，使点E到点B，C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线的步骤． 由点E到点B，C的距离相等可得点是线段的垂直平分线与的交点，然后作出线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 画对称轴 23．画出下列图形的对称轴 【答案】图象见解析 【分析】本题考查图形的轴对称．根据轴对称的定义画出直线即可． 【详解】解：如图： 24．指出如图所示的图形中各有多少条对称轴，并在各个轴对称图形上画出它们所有的对称轴． 【答案】对称轴分别有：2条，1条，1条；图见详解． 【分析】此题主要考查了轴对称变换，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质分别分析得出答案． 【详解】图（1）对称轴2条， 作图如下： ； 图（2）对称轴1条， 作图如下： ； 图（3）对称轴1条， 作图如下： ． 学科网（北京）股份有限公司 $