15.1图形的轴对称12题型3重难（培优讲义）新八年级数学新教材人教版

15.1图形的轴对称（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 5 题型1 轴对称图形的识别 5 题型2 成轴对称的两个图形的识别 6 题型3 轴对称性质的应用 9 题型4 台球桌面上的轴对称问题 11 题型5 轴对称中的光线反射问题 14 题型6线段垂直平分线的性质 17 题型7 线段垂直平分线的判定 20 题型8 写出命题的逆命题 24 题型9 判断逆命题的真假 25 题型10 互逆定理 27 题型11 求对称轴条数 30 题型12 画对称轴 32 释疑惑·重难拓展 36 题型1 作线段的垂直平分线 36 题型2 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用 39 题型3 轴对称中的综合题 43 知中考·真题探源 50 练好题·提分培优 56 课标要点 1. 通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 2.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。 3.理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。 4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。 5.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反之，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 6.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。 析知识·讲要点 知识点01 轴对称图形 ◆1、轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． ◆2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． ◆3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点02 轴对称 ◆1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. ◆2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 图形 区别 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． 知识点03 轴对称图形和轴对称的性质 轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的性质 轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. ◆找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． 知识点04 线段的垂直平分线 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′， AP=A′P.直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如右图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. ◆3、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ★★应用格式：（如上图） ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． ★★作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识点05 线段的垂直平分线的画法 ◆作线段的垂直平分线 已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD， CD 即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 知识点06 互逆命题与互逆定理 ●互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. ●互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理， 称这两个定理互为逆定理. ◆1、对互逆命题的理解： ①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反； ②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系. ③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式. ◆2、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理. 剖题型·讲技巧 题型1 轴对称图形的识别 方法技巧 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 1．（25-26九年级下·四川资阳·学业考试模拟）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，那么这样的图象就是轴对称图形，选项中只有A符合题意． 2．（2026·湖北武汉·一模）以下四款常用的人工智能大模型的图标，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据沿一条直线折叠后能够互相重合的图形是轴对称图形进行判断即可． 【详解】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意． 3．（2026·贵州黔东南·二模）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具备对称性，下列汉字是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：由题可知“中”字是轴对称图形． 4．（2026·浙江·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A可以找到沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；选项B、C、D找不到沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形． 题型2 成轴对称的两个图形的识别 方法技巧 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键． 根据成轴对称的定义，看图中的两个字母沿直线对折后能否完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两个字母沿直线对折后能够完全重合，所以组合中的两个字母关于直线成轴对称，符合题意； B、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； C、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意； D、两个字母沿直线对折后不能完全重合，所以组合中的两个字母不关于直线成轴对称，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意； D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称． 故选：B． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称，根据轴对称图形的概念一一判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 题型3 轴对称性质的应用 方法技巧 2.轴对称的性质:如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 1．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解： 与关于直线对称， ， ， ，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 2．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，与交于点，与关于直线对称，点，的对称点分别是，，交于点．下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由轴对称的性质可得，，，， ∴， 故说法中不一定正确的是． 3．（25-26七年级下·全国·期末）如图，与关于直线对称，连接、，以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与关于直线对称， ∴，，，，故B、C正确 ， 即，故D正确． 不能得出，故A选项错误，符合题意． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中，，． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据对称的性质得到，，然后等量代换求解即可； （2）首先根据对称的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴，， ∴的周长； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴的面积． 题型4 台球桌面上的轴对称问题 方法技巧 1.台球边界可看作对称轴，击球反射遵循轴对称规律，对应点连线与边界垂直且被边界平分。 2.实操技巧：无实物镜面 / 边界时，可将图形画在透明纸上，从纸张反面观察，模拟反射后的效果。 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【答案】C 【分析】根据题意画出图示可直接得到答案． 【详解】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【答案】675 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， 因为， 故它与边的碰撞次数是 （次）． 题型5 轴对称中的光线反射问题 方法技巧 1.光线反射等价于轴对称变换，反射光线、入射光线关于反射面（对称轴）对称。 2.解题思路：作出入射光线端点关于反射面的对称点，连接对称点与反射点，即可确定反射光线。 3.多次反射问题：依次以每一处反射面为对称轴，反复作对称点求解。 1．（2026·河南濮阳·二模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反射定律得到，再利用直角三角形的内角和，算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ， ． 2．（2026·河北张家口·二模）如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射原理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； 【详解】解：如图，设平面镜所在直线与y轴交于点C，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴， 则， 故， 因为， 故， 故， 根据正方形的性质，得是小正方形的对角线， 所以， 所以是小正方形的对角线， 故， 故, 故反射光线与轴交于点； 3．（2026·福建三明·二模）如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设光线在上方平面镜的反射点为点A、在下方平面镜的反射点为点B， 根据光的反射性质，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ， 两个平面镜平行， ， 根据光的反射性质、光线在点B处再次反射， ， ． 4．（2026·山西吕梁·二模）如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据题意以及三角形的外角的性质求得，结合平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，， ∴． 题型6线段垂直平分线的性质 方法技巧 1.核心结论：线段垂直平分线上任意一点，到线段两个端点的距离相等，可直接用来证明两条线段相等。 2.解题用法：看到垂直平分线，优先转化出相等线段；结合等腰三角形、角度计算综合解题。 3.辅助线技巧：题目出现线段垂直平分线，常连接平分线上的点与线段端点。 1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，DE是中边的垂直平分线．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为，代入数据计算即可． 【详解】解：是中边的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在乡村振兴项目中，农户要沿边给三角形农田（）安装滴灌系统，工程师计划在边的垂直平分线上铺设管道，交于E、交于D．已知，其中区域的滴灌管道总长为，则整个农田（）的滴灌管道总长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，，将的周长转化为的周长加上的长即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， 区域的滴灌管道总长为， ， 的滴灌管道总长． 3．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，的垂直平分线交于，则的周长是_______． 【答案】8 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长是． 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ， ∵是的角平分线，， ， ∵在和中， ， ， ． (2)2 【分析】（1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）根据（1）可知，结合已知条件得到，进而得到． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可知， ， ∴， ∴． 题型7 线段垂直平分线的判定 方法技巧 1.核心判定：若一个点到一条线段两个端点的距离相等，则这个点在该线段的垂直平分线上。 2.解题步骤：先证明两条线段长度相等，再依据判定定理，判断点在线段垂直平分线上。 3.拓展：两点都到线段两端距离相等时，两点连线即为这条线段的垂直平分线。 1．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【答案】C 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 2．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 【答案】证明：如图，连接， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)， 同理：， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， ∴边的垂直平分线经过点P． 【分析】如图，连接，利用垂直平分线的性质以及等量代换可得，即点 P在线段的垂直平分线上，从而证明结论． 【详解】略 4．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用“”，得出，再利用“”，得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得出，，进一步得，结合，得出点和点在的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明： ， ， 即． ，， ． 又 ， ， ． 又 ， ， ． （2）证明：由（1）可知，，， ，， ， 即． 又 ， 点和点在的垂直平分线上， 是的中垂线． 题型8 写出命题的逆命题 方法技巧 1.先拆分原命题，分清题设和结论，可先把命题改写为 “如果……，那么……” 的标准形式。 2.交换题设与结论的位置，即可得到原命题的逆命题。 3.注意：改写时保证语句通顺，不改变原有语义。 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 2．（2026·江苏无锡·二模）请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 【答案】如果，那么 【详解】解：原命题的题设为，结论为， 交换原命题的题设与结论，可得逆命题为：如果，那么． 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）命题“若，那么”的逆命题是______． 【答案】若，那么 【分析】交换原命题的条件与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“若，则”的条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：若，则. 4．（23-24八年级下·宁夏银川·阶段检测）全等三角形的面积相等．该命题的逆命题是______．原命题是______命题，逆命题是______命题（后两空填“真”或“假”）． 【答案】 面积相等的三角形是全等三角形 真 假 【分析】根据逆命题的概念交换原命题的条件和结论得到逆命题，再结合全等三角形的性质与判定分别判断原命题和逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题“全等三角形的面积相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形的面积相等”，交换条件和结论得到逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，根据全等三角形的性质可知，全等三角形的面积一定相等，因此原命题是真命题；但面积相等的三角形不一定是全等三角形，例如底为高为的三角形和底为高为的三角形面积相等，但不全等，因此逆命题是假命题． 题型9 判断逆命题的真假 方法技巧 1.判定依据：两个命题的题设和结论恰好互换，则二者为互逆命题。 2.解题步骤：分别拆解两个命题的题设、结论，对比位置关系。 3.补充：只需看结构互换，无需判断命题本身真假。 1．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三个内角相等 C．四边形是多边形 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先根据逆命题定义交换原命题的条件和结论得到各选项的逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出正确答案． 【详解】解：A、原命题为对顶角相等，逆命题为相等的角是对顶角，∵相等的角不一定是对顶角，∴逆命题为假命题，A错误； B、原命题为等边三角形的三个内角相等，逆命题为三个内角相等的三角形是等边三角形，∵三角形内角和为，三个内角相等则每个内角为，∴三个内角相等的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，B正确； C、原命题为四边形是多边形，逆命题为多边形是四边形，∵多边形可以是边数大于4的多边形，∴逆命题为假命题，C错误； D、原命题为全等三角形的面积相等，逆命题为面积相等的三角形是全等三角形，∵面积相等的三角形形状不一定相同，不一定全等，∴逆命题为假命题，D错误． 2．（25-26八年级下·广东茂名·期中）下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】A 【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再逐项判断真假即可． 【详解】解：A．原命题的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等，∴该逆命题是真命题，符合题意； B．原命题的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意； C．原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，不符合题意； D．原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，反例：∵和的绝对值相等，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）． A．互为邻补角的两个角的和为 B．若，，则 C．全等三角形的对应角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再根据初中数学的相关定义判断逆命题的真假，即可得到正确答案． 【详解】解：选项A原命题为：如果两个角互为邻补角，那么这两个角的和为，逆命题为：如果两个角的和为，那么这两个角互为邻补角， ∵和为的两个角不一定相邻，不一定是邻补角， ∴逆命题为假命题； 选项B原命题为：若，，则，逆命题为：若，则，， ∵当，时，，但， ∴逆命题为假命题； 选项C原命题为：全等三角形的对应角相等，逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形， ∵边长不同的两个等边三角形，对应角相等，但不全等， ∴逆命题为假命题； 选项D原命题为：同位角相等，两直线平行，逆命题为：两直线平行，同位角相等， ∵这是平行线的性质定理，命题成立， ∴逆命题为真命题． 4．（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列命题的逆命题是真命题的个数为（） （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 （2）对顶角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余 （4）全等三角形的对应角相等 （5）角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据逆命题的定义交换原命题条件和结论得到各命题的逆命题，再逐一判断即可． 【详解】解:（1）原命题逆命题为：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行．这是平行线的判定定理，是真命题． （2）原命题逆命题为：相等的角是对顶角．它是假命题，例如等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角． （3）原命题逆命题为：若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形．因为三角形内角和为，则第三个角为，即三角形是直角三角形，故逆命题是真命题． （4）原命题逆命题为：对应角相等的两个三角形全等．它是假命题，例如边长为1和边长为2的等边三角形，对应角相等但不全等． （5）原命题逆命题为：角平分线上的点到角的两边距离相等．这是角平分线的性质定理，是真命题． 综上，逆命题为真命题的共3个． 题型10 互逆定理 方法技巧 1.前提：两个命题首先是互逆命题。 2.判定规则：若一个定理的逆命题经过证明为真命题，则它也是定理，二者互为逆定理。 3.关键点：所有定理都有逆命题，但逆命题不一定为真，因此定理不一定有逆定理。 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 2．（23-24八年级上·河南南阳·阶段检测）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的判断，核心是理解逆定理的定义：若一个定理的逆命题为真命题，则该定理存在逆定理；若逆命题为假命题，则该定理没有逆定理．据此逐项分析即可． 【详解】解：选项A：原定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，该逆命题是假命题，故原定理没有逆定理； 选项B：原定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项C：原定理“等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合”的逆命题是“若一个三角形一边上的高、中线和该边所对顶角的平分线互相重合，则这个三角形是等腰三角形”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项D：原定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 故选：A． 4．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 题型11 求对称轴条数 方法技巧 1.定义判断：沿某条直线折叠，图形两边能完全重合，这条直线就是 1 条对称轴。 2.常见图形规律： 等腰三角形：1 条；长方形：2 条；正方形：4 条；圆：无数条；正n边形：n条。 3.技巧：对称点连线的垂直平分线数量，即为图形对称轴总条数。 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【详解】解：如图所示： 该图形有3条对称轴． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据对称轴的定义解题即可． 【详解】解：如图，对称轴一共有5条． 3．（2025·福建漳州·模拟预测）下列四个轴对称图形中，对称轴条数最少的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的知识，要求掌握好轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，图形折叠后直线两旁的部分能够互相重合．根据轴对称图形的概念求解，确定各个图形有几条对称轴，然后即可得出答案． 【详解】解：选项A的图形有1条对称轴，选项B的图形有无数条对称轴，选项C的图形均有2条对称轴，选项D的图形有3条对称轴， 所以对称轴条数最少的图形是A． 故选：A． 4．（25-26七年级上·山东淄博·期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的对称轴的条数，熟练掌握此知识点是关键．逐项分析轴对称图形的对称轴的条数，即可得出答案． 【详解】解：A.是轴对称图形，共有4条对称轴； B.是轴对称图形，共有3条对称轴； C.是轴对称图形，共有4条对称轴； D.是轴对称图形，共有6条对称轴， 对称轴条数最多的是D选项的图形． 故选：D． 题型12 画对称轴 方法技巧 一、两个图形成轴对称 1.任选一组对应点，连接两点得到线段。 2.作出这条线段的垂直平分线，该直线就是两个图形的对称轴。 二、单个轴对称图形 1.找出两组对称点，分别连接对称点。 2.作出连线的垂直平分线，两条垂线重合的直线即为对称轴。 3.尺规作图：严格使用圆规 + 直尺作垂直平分线，保留作图痕迹。 1．（25-26七年级下·江苏常州·期中）按要求用无刻度直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，作的平分线； (2)如图②，作直线l，使得点A与点P关于直线l对称． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据对称性，连接，作线段的垂直平分线即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）如图，射线即为所求． . 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）利用无刻度的直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴．连接、交于点，延长、交于点，连接，所在直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）解决下列问题： (1)平移，使点A移到点的位置，画出平移后得到的； (2)与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在图中作出直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点即可； （2）根据对称轴的定义作出直线l即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求； （2）解：如图2中，直线l即为所求． 释疑惑·重难拓展 题型1 作线段的垂直平分线 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，请用尺规作图在四边形内求作一点P，使得C，点P到的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】解：如图所示为所求： 【分析】先作线段的垂直平分线，的角平分线，交于点即可． 【详解】略 2．（贵州六盘水市2025-2026学年度第二学期期中考试试题卷八年级数学）如图，在中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点，与边交于点，连接．若，求的度数． 【答案】(1)解：如图所示： 上图即为所求作； (2) 【分析】（1）分别作的平分线及作边的垂直平分线即可； （2）由垂直平分线性质及角平分线定义得到，结合已知条件，由三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图所示： 垂直平分边， ，，， 平分， ， 则， ，， ， 即，解得． 3．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，． (1)利用直尺和圆规作直线，使点，关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线交于点，连结，求的周长． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求， (2)13 【分析】（1）即尺规作图作出线段的中垂线即可； （2）由作图可知：，则的周长为即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：由作图可知：， ∴的周长为． 4．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，在中，E是的中点． (1)尺规作图：作，交于点D，连接； (2)在（1）的情况下，若，的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂线段的作法作图即可； （2）根据题意得出是线段的垂直平分线，确定，再由三角形的周长进行等量代换求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：E是的中点，， 是线段的垂直平分线， ． ， ． 的周长为13， ． 的周长为． 题型2 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用 1．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 2．（25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测）已知：如图，，与相交于点P． (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，再根据“角角边”得出答案； （2）根据全等三角形的性质得，即可得点P在线段的垂直平分线上．再根据，进而得出点A在线段的垂直平分线上，则此题可解． 【详解】（1）证明：∵, ∴， ∴， 即． ∵， ∴； （2）解：连接，延长，交于点F， ∵， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， 即． 3．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 题型3 轴对称中的综合题 1．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）如图，在中，平分，于D，于E，． (1)求证：； (2)求证：点C在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明即可； （2）在上取点F，使，连接、，先证明，可得，再证明，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：在上取点F，使，连接、，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C在的垂直平分线上． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如下图，在中，，是上一点，，过点作的垂线交于点，连接，，交于点求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）利用证明，进而可得， （2）根据到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可得出结论; （3）由同角的余角相等可得，再由可得，由此得出. 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ， ． （2），， 是的垂直平分线， ． （3） ，， ，， ， 又∵， ∴， ． 3．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，是的角平分线． (1)如图①，于点E，于点F，连接．求证：所在直线是的垂直平分线； (2)如图②，当有一点G从点D向点B运动时，于点E，于点F，此时（1）中的结论是否成立？请证明； (3)如图③，当点G沿方向从点D沿的延长线运动时，（或其延长线）于点E，（或其延长线）于点F，此时（1）中的结论是否成立？不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)成立．证明见解析 (3)成立 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质及证得，进而得到，，利用线段垂直平分线的判定定理可求证结论； （2）根据角平分线的性质及证得，进而得到，，利用线段垂直平分线的判定定理可得结论； （3）根据角平分线的性质及证得，进而得到，，利用线段垂直平分线的判定定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图①平分，，， ，则点D在线段的垂直平分线上； 在和中， ， ， ，则点B在线段的垂直平分线上； ∴所在直线是的垂直平分线； （2）解：成立，即，理由如下： 平分，，， ，则点G在线段的垂直平分线上； 在和中， ， ， ,则点B在线段的垂直平分线上， ∵点G在直线上， ∴所在直线是的垂直平分线； （3）解：成立，即，理由如下： 平分，，， ，则点G在线段的垂直平分线上； 在和中， ， ， ，则点B在线段的垂直平分线上， ∵点G在直线上， ∴所在直线是的垂直平分线． 4．（25-26七年级下·吉林·期中）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． (1)【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． (2)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． (3)【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】(1)，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 (2)9 (3) 【分析】（1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （3）设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】（1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是“两点之间线段最短”，或“三角形两边之和大于第三边”； （2）解：如图，直线m与交于点D，连接 ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称，， ∴ ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． （3）解：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， ∴由轴对称的性质可得，，， ∴． 知中考·真题探源 1．（2025·山东德州·中考真题）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 3．（2025·西藏·中考真题）下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（   ） A．田 B．忌 C．赛 D．马 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形）依次对各选项逐一判断，据此解答即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 5．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而，从而即可解答． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 7．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 9．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 10．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 练好题·提分培优 1．（2026·湖北武汉·一模）以下四款常用的人工智能大模型的图标，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据沿一条直线折叠后能够互相重合的图形是轴对称图形进行判断即可． 【详解】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（    ）． A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质、全等三角形与轴对称图形的关系及等腰三角形、线段的对称轴定义，需逐项分析各选项的正误． 【详解】解：∵全等的两个三角形仅形状大小完全相同，不一定关于某条直线成轴对称，例如随意摆放的两个全等三角形， ∴A选项错误． ∵成轴对称的两个图形能够完全重合， ∴关于某条直线成轴对称的两个三角形是全等三角形， ∴B选项正确． ∵等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，并非任意一条边上的中线，且对称轴是直线而中线是线段， ∴C选项错误． ∵一条线段的对称轴是经过线段中点且垂直于该线段的直线以及线段本身所在的直线，并非所有经过线段中点的直线， ∴D选项错误． 故选：B． 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2026·河北唐山·二模）如图，四边形与四边形关于直线对称，交于点R，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形与四边形关于对称， 与是对应边， ，选项A正确； 与是对应角， ，选项B正确； 与是对应点，且对称轴是对应点连线的垂直平分线， 垂直平分，即，选项C正确； 与不一定平行，选项D错误． 5．（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得出，，再得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 7．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，某快递公司计划在主干路上设一个机器人配货总部，在主干路同侧有与两个机器人配送点，若使配货总部到两个配送点的距离和最小，则下列示意图中配货总部的位置符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质将折线转化为直线即可． 【详解】解：A．不符合要求； B．不符合要求； C．不符合要求； D．作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，根据两点之间线段最短，此时为最小值，符合要求； 8．（2026·山东临沂·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用角平分线的定义得，再由垂直平分线性质推出，，通过证明得到，最后根据的值求出四边形各边长度，进而算出周长． 【详解】解：设与交点为 ∵平分， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴，，且． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形的周长为． 9．（2026·江苏无锡·一模）命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】先写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 10．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为_____°． 【答案】 【分析】本题考查了基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分线段，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得． 【详解】，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 11．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形面积，先求解的面积为，的面积为，进一步可得答案． 【详解】解：∵的面积为8，的面积为5， ∴的面积为， 由折叠可得：的面积为， ∴的面积为， ∴， 故答案为： 12．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，由题意得，， 进而根据线段垂直平分线的判定得到是的垂直平分线，再根据得到，代入已知计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，设与相交于点， 由题意知，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ ， ∵，四边形的面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，与关于直线l对称．如果，，，求的长与的度数． 【答案】， 【分析】利用轴对称的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与关于直线对称，，， ， ． 15．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)在边上求作点P，使沿射线所在直线翻折后点的对应点落在边上； (2)在上作一点，使． 【答案】(1)解：如图，点即为所求 (2)解：如图，点即为所求 【分析】（1）在上截取，连接，作的中垂线交于点即可； （2）作的中垂线交于点，则，即可得到. 【详解】（1）略 （2）略 16．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，然后求出 的周长； （2）根据轴对称的性质可得，，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点， ，， △的周长， ； 的周长等于8； （2）解：如图，连接， ∵点M，N分别是点P关于的对称点， ，， ． ． 17．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，据此求出长； （2）由（1）知，的周长为，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长为35， ， ， ． ； （2）解：由（1）知，的周长为． 18．（2026七年级下·上海·专题练习）如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交的延长线于E，根据可知，再根据点为的中点，可证得，结合全等三角形的性质可知，，再由是线段的垂直平分线，可得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； （2）由（1），根据梯形面积公式，列方程，求的长． 【详解】（1）证明：延长交的延长线于E， ∵， ∴， ∵取中点P， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵，， ∴四边形面积 ， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1图形的轴对称（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 5 题型1 轴对称图形的识别 5 题型2 成轴对称的两个图形的识别 6 题型3 轴对称性质的应用 7 题型4 台球桌面上的轴对称问题 9 题型5 轴对称中的光线反射问题 10 题型6线段垂直平分线的性质 11 题型7 线段垂直平分线的判定 13 题型8 写出命题的逆命题 15 题型9 判断逆命题的真假 15 题型10 互逆定理 16 题型11 求对称轴条数 17 题型12 画对称轴 18 释疑惑·重难拓展 20 题型1 作线段的垂直平分线 20 题型2 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用 22 题型3 轴对称中的综合题 24 知中考·真题探源 28 练好题·提分培优 30 课标要点 1. 通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 2.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。 3.理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。 4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。 5.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反之，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 6.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。 析知识·讲要点 知识点01 轴对称图形 ◆1、轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． ◆2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． ◆3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点02 轴对称 ◆1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. ◆2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 图形 区别 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． 知识点03 轴对称图形和轴对称的性质 轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的性质 轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线. ◆找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． 知识点04 线段的垂直平分线 ◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′， AP=A′P.直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. ◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ★★应用格式：（如右图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ★★作用：证明线段相等. ◆3、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ★★应用格式：（如上图） ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． ★★作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识点05 线段的垂直平分线的画法 ◆作线段的垂直平分线 已知线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线 CD， CD 即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 知识点06 互逆命题与互逆定理 ●互逆命题：如果两个命题题设、结论正好相反.那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. ●互逆定理： 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理， 称这两个定理互为逆定理. ◆1、对互逆命题的理解： ①“题设、结论正好相反”是指位置相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论，第二个命题的题设是第一个命题的结论，而不是指它们的意义相反； ②每个命题都有逆命题，只有将原命题的题设改写成结论，并将结论改成题设，就可以得到原命题的逆命题，但原命题是否为真命题与逆命题是否为真命题没有关系. ③写某个命题的逆命题时要先认真分析命题结构，分清命题的条件和结论，再改写成“如果……那么……”的形式. ◆2、每个命题都有逆命题，但并不是每个定理都有逆定理，只有当一个定理的逆命题为真命题时，它才有逆定理，也就是说定理一定有逆命题，但不一定有逆定理. 剖题型·讲技巧 题型1 轴对称图形的识别 方法技巧 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 1．（25-26九年级下·四川资阳·学业考试模拟）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·一模）以下四款常用的人工智能大模型的图标，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·贵州黔东南·二模）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具备对称性，下列汉字是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型2 成轴对称的两个图形的识别 方法技巧 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）视力表中的字母“”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“”关于直线成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 题型3 轴对称性质的应用 方法技巧 2.轴对称的性质:如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 1．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，与交于点，与关于直线对称，点，的对称点分别是，，交于点．下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·期末）如图，与关于直线对称，连接、，以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中，，． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 题型4 台球桌面上的轴对称问题 方法技巧 1.台球边界可看作对称轴，击球反射遵循轴对称规律，对应点连线与边界垂直且被边界平分。 2.实操技巧：无实物镜面 / 边界时，可将图形画在透明纸上，从纸张反面观察，模拟反射后的效果。 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 题型5 轴对称中的光线反射问题 方法技巧 1.光线反射等价于轴对称变换，反射光线、入射光线关于反射面（对称轴）对称。 2.解题思路：作出入射光线端点关于反射面的对称点，连接对称点与反射点，即可确定反射光线。 3.多次反射问题：依次以每一处反射面为对称轴，反复作对称点求解。 1．（2026·河南濮阳·二模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上．若，则度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北张家口·二模）如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建三明·二模）如图，光线经两个平行放置的平面镜反射，若，则的度数为______． 4．（2026·山西吕梁·二模）如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 题型6线段垂直平分线的性质 方法技巧 1.核心结论：线段垂直平分线上任意一点，到线段两个端点的距离相等，可直接用来证明两条线段相等。 2.解题用法：看到垂直平分线，优先转化出相等线段；结合等腰三角形、角度计算综合解题。 3.辅助线技巧：题目出现线段垂直平分线，常连接平分线上的点与线段端点。 1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，DE是中边的垂直平分线．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在乡村振兴项目中，农户要沿边给三角形农田（）安装滴灌系统，工程师计划在边的垂直平分线上铺设管道，交于E、交于D．已知，其中区域的滴灌管道总长为，则整个农田（）的滴灌管道总长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，的垂直平分线交于，则的周长是_______． 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型7 线段垂直平分线的判定 方法技巧 1.核心判定：若一个点到一条线段两个端点的距离相等，则这个点在该线段的垂直平分线上。 2.解题步骤：先证明两条线段长度相等，再依据判定定理，判断点在线段垂直平分线上。 3.拓展：两点都到线段两端距离相等时，两点连线即为这条线段的垂直平分线。 1．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 2．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 4．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知，，，，，与相交于点，连接．求证： (1)； (2)是的中垂线． 题型8 写出命题的逆命题 方法技巧 1.先拆分原命题，分清题设和结论，可先把命题改写为 “如果……，那么……” 的标准形式。 2.交换题设与结论的位置，即可得到原命题的逆命题。 3.注意：改写时保证语句通顺，不改变原有语义。 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 2．（2026·江苏无锡·二模）请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）命题“若，那么”的逆命题是______． 4．（23-24八年级下·宁夏银川·阶段检测）全等三角形的面积相等．该命题的逆命题是______．原命题是______命题，逆命题是______命题（后两空填“真”或“假”）． 题型9 判断逆命题的真假 方法技巧 1.判定依据：两个命题的题设和结论恰好互换，则二者为互逆命题。 2.解题步骤：分别拆解两个命题的题设、结论，对比位置关系。 3.补充：只需看结构互换，无需判断命题本身真假。 1．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．等边三角形的三个内角相等 C．四边形是多边形 D．全等三角形的面积相等 2．（25-26八年级下·广东茂名·期中）下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）． A．互为邻补角的两个角的和为 B．若，，则 C．全等三角形的对应角相等 D．同位角相等，两直线平行 4．（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列命题的逆命题是真命题的个数为（） （1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 （2）对顶角相等 （3）直角三角形的两个锐角互余 （4）全等三角形的对应角相等 （5）角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型10 互逆定理 方法技巧 1.前提：两个命题首先是互逆命题。 2.判定规则：若一个定理的逆命题经过证明为真命题，则它也是定理，二者互为逆定理。 3.关键点：所有定理都有逆命题，但逆命题不一定为真，因此定理不一定有逆定理。 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 2．（23-24八年级上·河南南阳·阶段检测）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 4．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 题型11 求对称轴条数 方法技巧 1.定义判断：沿某条直线折叠，图形两边能完全重合，这条直线就是 1 条对称轴。 2.常见图形规律： 等腰三角形：1 条；长方形：2 条；正方形：4 条；圆：无数条；正n边形：n条。 3.技巧：对称点连线的垂直平分线数量，即为图形对称轴总条数。 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的图案，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2．（2026·辽宁抚顺·一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 3．（2025·福建漳州·模拟预测）下列四个轴对称图形中，对称轴条数最少的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山东淄博·期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 题型12 画对称轴 方法技巧 一、两个图形成轴对称 1.任选一组对应点，连接两点得到线段。 2.作出这条线段的垂直平分线，该直线就是两个图形的对称轴。 二、单个轴对称图形 1.找出两组对称点，分别连接对称点。 2.作出连线的垂直平分线，两条垂线重合的直线即为对称轴。 3.尺规作图：严格使用圆规 + 直尺作垂直平分线，保留作图痕迹。 1．（25-26七年级下·江苏常州·期中）按要求用无刻度直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，作的平分线； (2)如图②，作直线l，使得点A与点P关于直线l对称． 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）解决下列问题： (1)平移，使点A移到点的位置，画出平移后得到的； (2)与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在图中作出直线． 释疑惑·重难拓展 题型1 作线段的垂直平分线 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，请用尺规作图在四边形内求作一点P，使得C，点P到的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 2．（贵州六盘水市2025-2026学年度第二学期期中考试试题卷八年级数学）如图，在中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点，与边交于点，连接．若，求的度数． 3．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，． (1)利用直尺和圆规作直线，使点，关于直线对称；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设直线交于点，连结，求的周长． 4．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，在中，E是的中点． (1)尺规作图：作，交于点D，连接； (2)在（1）的情况下，若，的周长为13，求的周长． 题型2 线段垂直平分线的性质与判定的综合应用 1．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 2．（25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测）已知：如图，，与相交于点P． (1)求证：． (2)连接，求证：． 3．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 题型3 轴对称中的综合题 1．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）如图，在中，平分，于D，于E，． (1)求证：； (2)求证：点C在的垂直平分线上． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如下图，在中，，是上一点，，过点作的垂线交于点，连接，，交于点求证： (1)； (2)； (3)． 3．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，是的角平分线． (1)如图①，于点E，于点F，连接．求证：所在直线是的垂直平分线； (2)如图②，当有一点G从点D向点B运动时，于点E，于点F，此时（1）中的结论是否成立？请证明； (3)如图③，当点G沿方向从点D沿的延长线运动时，（或其延长线）于点E，（或其延长线）于点F，此时（1）中的结论是否成立？不需证明． 4．（25-26七年级下·吉林·期中）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． (1)【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称， 直线是的垂直平分线． ________，________ ________＝________． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． (2)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． (3)【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 知中考·真题探源 1．（2025·山东德州·中考真题）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 3．（2025·西藏·中考真题）下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（   ） A．田 B．忌 C．赛 D．马 4．（2025·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（    ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 7．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 10．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 练好题·提分培优 1．（2026·湖北武汉·一模）以下四款常用的人工智能大模型的图标，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（    ）． A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2026·河北唐山·二模）如图，四边形与四边形关于直线对称，交于点R，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，直线交于点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 7．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，某快递公司计划在主干路上设一个机器人配货总部，在主干路同侧有与两个机器人配送点，若使配货总部到两个配送点的距离和最小，则下列示意图中配货总部的位置符合要求的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·山东临沂·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．12 B． C． D． 9．（2026·江苏无锡·一模）命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 10．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为_____°． 11．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______． 12．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 13．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，与关于直线l对称．如果，，，求的长与的度数． 15．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)在边上求作点P，使沿射线所在直线翻折后点的对应点落在边上； (2)在上作一点，使． 16．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 17．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 18．（2026七年级下·上海·专题练习）如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $