精品解析：上海市华东师范大学第一附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

华东师大一附中 2025学年第一学期 高一年级 期中考试 数学 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分.) 1. 对数函数 的反函数是_______. 2. 若指数函数的图像经过点，则其解析式为__________． 3. 若，是方程的两个根，则______． 4. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 5. 当时，幂函数的图象总在的图像上方，则a的取值范围为_______ 6. 已知函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为________ . 7. 已知非空集合，则＝_________ 8. 已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是____________. 9. 已知均为正实数，若，则的值为______. 10. 已知，，若，则的取值范围是______． 11. 已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 12. 若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13题至第14题每题4分，第15题至第16题每题5分.） 13. 集合，,则（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 14. 若、为非零实数，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 16. 已知关于的不等式的解集是，不等式的解集是，有下列两个结论：①存在，使；②对任意的，都有；则（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知集合． （1）若是的真子集，求的范围； （2）若，且是的子集，求实数的取值范围． 18. 记函数的定义域为,的定义域为. （1）求; （2）若,求实数的取值范围. 19. 某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) （1）根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； （2）已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 20. （1）已知，用比较法证明：； （2）已知，用基本不等式证明：，并注明等号成立条件； （3）已知，用反证法证明：． 21. 已知函数 . （1）解不等式 （2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的值； （3）若对任意 ，函数 在区间 上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大一附中 2025学年第一学期 高一年级 期中考试 数学 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分.) 1. 对数函数 的反函数是_______. 【答案】 【解析】 【分析】用x表示y，再把互换即得反函数. 【详解】由得， 故的反函数为， 故答案为：. 2. 若指数函数的图像经过点，则其解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设指数函数的解析式为，(且)，代入计算即可得解. 【详解】设指数函数的解析式为，(且)， 因指数函数的图像经过点， 则，即，则其解析式为. 故答案为：. 3. 若，是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数运算法则利用韦达定理即可求得结果. 【详解】根据题意由根与系数的关系可知，， 所以， 即. 故答案为： 4. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，对于方程，， 解得，则实数的取值范围为， 故答案为：. 5. 当时，幂函数的图象总在的图像上方，则a的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为不等式恒成立问题，利用不等式的性质，结合幂函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为当时，幂函数的图象总在的图像上方， 所以当时，恒成立， ， 因此要想时，恒成立，只需， 因此a的取值范围为， 故答案为： 6. 已知函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为________ . 【答案】 【解析】 【分析】分析函数在区间上为减函数，由已知条件可得出关于的等式，结合可求得实数的值. 【详解】因为，所以函数在区间上为减函数， 所以，，所以，， 因为，因此，. 故答案为：. 7. 已知非空集合，则＝_________ 【答案】 【解析】 【分析】由可得或，联立方程和求解即可得出. 【详解】由集合A可得，由可得或， 联立方程，可解得或， 联立方程，可解得或（舍去）， 综上可得. 故答案为：. 8. 已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是____________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据得到时不等式不成立，即或，然后解不等式和方程即可. 【详解】因为，所以或，即或，解得或. 故答案为：或. 9. 已知均为正实数，若，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】对等式同取对数，代换出基本关系，将全部代换为，结合对数运算和换底公式化简求解即可. 【详解】对同取对数可得， 结合换底公式可得， 即， ， 故. 故答案为：1 10. 已知，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：，，且， 当时， 当且仅当或时等号成立， ，当且仅当或时等号成立， 当时，不妨设，则，满足题意， 当时，, , , 当且仅当，，或，时等号成立， , 综上所述，的取值范围是． 故答案为． 11. 已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】将点代入函数并相加可得，化简后可得，从而可求解. 【详解】根据题意，，即， 去分母化简得，所以，因为，所以. 故答案位：. 12. 若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值. 【详解】设，，则不等式变为， 若，则， 若，则， 即，， 作出的图象，实线部分即为， 要想保证，只需最小值大于等于1， 由图可知：，故只需即可，即，解得：. 故答案为：3 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13题至第14题每题4分，第15题至第16题每题5分.） 13. 集合，,则（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系. 【详解】,, 表示奇数，表示整数，所以. 故选：B 14. 若、为非零实数，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用绝对值三角不等式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，则，A对； 对于B选项，取，，则无意义，B错； 对于C选项，由绝对值三角不等式可得，C错； 对于D选项，由绝对值三角不等式可得，D错. 故选：A. 15. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质判断． 【详解】，当或时，，，排除AD， 当时，，，排除C， 故选：B． 16. 已知关于的不等式的解集是，不等式的解集是，有下列两个结论：①存在，使；②对任意的，都有；则（ ） A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得，根据，若，则，结合函数的图象，可判断① 由，转化为对任意的，有，求得，只需作差比较与的大小可判断②. 【详解】由已知得，所以不等式的解集是， 不等式的解集是，所以， 若，则，结合函数的图象，不可能是， 故①错误； 因为， 则对任意的，有，解得， 即， 现比较与的大小， ，因为， 所以，所以对任意的，都有，②对. 故选：D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知集合． （1）若是的真子集，求的范围； （2）若，且是的子集，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据是的真子集可得得解； （2）由是的子集对集合进行讨论可求解. 【详解】（1）∵若是的真子集 ∴， ∴， ∴； （2）， ∵，∴，，，， ，则，∴； 是单元素集合，，∴此时 ，符合题意； ，不符合. 综上，． 【点睛】本题考查了集合的基本运算，分类讨论集合的包含关系求参数，属于基础题. 18. 记函数的定义域为,的定义域为. （1）求; （2）若,求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列不等式组求解即可; （2）先根据真数大于零,求出函数的定义域,再由列出不等式,结合求出的范围即可. 【小问1详解】 由题意得,解得或, 即或. 【小问2详解】 根据题意, 因为，所以, 则, 即, 因为, 所以或, 解得或, 又, 所以或, 即实数的取值范围是. 19. 某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润（单位：万元）随销售收入（单位：万元）的变化情况如下表所示： (万元) 2 3 5 (万元) （1）根据表中数据，分别用模型（且）与建立关于的函数解析式； （2）已知当时，，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：） 【答案】（1），； （2） 当时，模型对应的； 模型对应的， 当时，显然， 所以模型更合理. 【解析】 【分析】（1）将表格中的数据代入两模型解方程组可求得函数解析式； （2）将自变量代入两模型计算求得，得出与更接近的模型即可. 【小问1详解】 对于模型（且）， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； 对于模型， 将表格中数据代入可得， 解得； 所以； 【小问2详解】 略 20. （1）已知，用比较法证明：； （2）已知，用基本不等式证明：，并注明等号成立条件； （3）已知，用反证法证明：． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析；（3）证明见解析 ． 【解析】 【分析】（1）计算，得到证明； （2） ，利用均值不等式计算得到证明. （3）假设，则，得，计算得到，不成立，得到证明. 【详解】（1），，故； （2） ，当且仅当时取等号； （3）假设，则，得， ，又，所以， 即，，矛盾，故． 21. 已知函数 . （1）解不等式 （2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的值； （3）若对任意 ，函数 在区间 上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求 的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可； （2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求解； （3）对任意，函数在区间上总有意义，得对恒成立，求得.根据题意得出，即对任意恒成立，利用二次函数在区间上恒成立求得的范围. 【小问1详解】 由有：， 所以，即， 所以； 【小问2详解】 由有：， 所以，即， 当时，，满足题意， 当时，由， 所以，满足题意， 当时，方程有两个不等的实根，不妨设为， 由有，因为，所以， 所以，所以都满足，不满足题意， 综上所述，或； 【小问3详解】 因为对任意 ，函数 在区间 上总有意义， 所以对恒成立， 因为在上为减函数，故只需对任意恒成立， 所以只要，故，解得， 对任意，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上最大值为，最小值为， 所以， 所以对任意恒成立， 令， 当时，对任意不恒成立， 当时，在单调递增，不满足题意， 当时，对任意恒成立，有三种情况： 第一种：当，所以， 第二种：，又，所以无解， 第三种：，无解， 所以实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $