精品解析：天津市南开大学附属中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段检测（11月）数学试题

天津市南开大学附属中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段检测（11月）数学试题 一、单选题 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A 单位向量都相等 B. 若，则的长度相等而方向相同或相反 C. 若向量，满足，则 D. 相等向量其方向必相同 4. 已知，，且，则（ ） A. -6 B. 5 C. 4 D. 6 5. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 6. 设是空间四边形（如图），分别是的中点，则满足（ ） A. 共线 B. 共面 C. 不共面 D. 可作为空间基向量 7. 已知直线与垂直，则实数值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 8. 直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图，是的重心，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知，，当时，实数的值为____________． 12. 直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 13. 过点直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 14. 向量，，则在上的投影向量的坐标为_________ 15. 若，点到直线距离是，则这条直线的斜率是______. 三、解答题 16. 已知直线，，其中为实数． （1）当时，求的值； （2）当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 17. 在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知. （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若，求sinC的值. 18. 已知的顶点的中点为的中点为所在直线的方程为所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求的面积. 19. 如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）求点到面的距离. 20. 如图，四棱锥中，平面平面中点，是上一点. （1）当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开大学附属中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段检测（11月）数学试题 一、单选题 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，，可得：， 故选：A. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系，即可求得倾斜角. 【详解】直线的斜率是， 设倾斜角为，则， ∴. 故选：C. 3. 下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A. 单位向量都相等 B. 若，则的长度相等而方向相同或相反 C. 若向量，满足，则 D. 相等向量其方向必相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 4. 已知，，且，则（ ） A. -6 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 5. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 6. 设是空间四边形（如图），分别是的中点，则满足（ ） A. 共线 B. 共面 C. 不共面 D. 可作为空间基向量 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，根据向量平行关系即可得出结论. 【详解】取中点，连接, 因为分别是的中点，是中点， 所以, 因为共面， 所以共面. 故选：B 7. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 8. 直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】令表示出，得到直线的纵截距．令表示出，得到直线的横截距，根据题意列方程求解． 【详解】直线， 令，解得，令，解得， 由题意得：，解得． 故选：B 9. 如图，是的重心，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是的重心，可知，再根据向量加法、减法法则即可求解. 【详解】∵是重心，∴. ， . 故选：D. 10. 如图所示，体积为的半圆柱的轴截面为平面是圆柱底面的直径，为底面的圆心，为一条母线，点为棱的中点，且和的弧长为．则三棱锥的体积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出点到面的距离，利用三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】 设中点为，中点为，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由题：， 又弧长为，所以， 所以， 设平面的法向量为，则 即，令，则，取， 则E到面距离为， 又， 所以三棱锥的体积为， 故选：C. 二、填空题 11. 已知，，当时，实数的值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意依次算得的值，然后根据列方程即可求解. 【详解】因为，， 所以 ， 因为， 所以， 解得. 故答案为：6. 12. 直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，求出异面直线与所在直线的方向向量，由空间向量夹角的余弦值的坐标公式即可运算求解. 【详解】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别为，由题意分和两类情况讨论，分别求直线方程即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为，则， 若，则直线过原点，又过点，则直线方程为：； 若，则，可设直线方程：， 代入点，可得，解得，则直线方程为：. 综上：所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 向量，，则在上的投影向量的坐标为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 15. 若，点到直线距离是，则这条直线的斜率是______. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求出的值，再结合的范围，求出的大小，即可求出直线的斜率． 【详解】由题意结合点到直线的距离公式可得： 又，故，所以， ，解得，又，故，所以，则这条直线的斜率 故答案为： 三、解答题 16. 已知直线，，其中为实数． （1）当时，求的值； （2）当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，列出关于m的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【小问1详解】 由得，解得，经检验，符合题意, 故； 【小问2详解】 当时，，联立，解得， 即直线的交点为， 又直线的斜率为， 故过直线的交点，且垂直于直线的直线方程为，即． 17. 在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知. （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若，求sinC的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解. 试题解析：（Ⅰ）解：在中，由，可得，又由，得，所以，得； （Ⅱ）解：由，可得，则. 【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 18. 已知的顶点的中点为的中点为所在直线的方程为所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设点的坐标，结合中点在两条直线上，即可求得所设点的坐标，进而求得直线方程； （2）由（1）可以求得，结合点到直线的距离和三角形的面积公式即可求得. 【小问1详解】 由点在上，设点的坐标是， 则的中点在直线上，于是，解得，即点， 设点坐标是，则的中点在直线上，于是，解得，即， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）可得， 又点到直线的距离. 所以的面积. 19. 如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）求点到面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的相关性质，得到各线面之间的关系，最后由线面垂直的性质证明； （2）利用正方体性质，通过线面垂直判定，确定为二面角平面角，根据正方体棱长及中位线、勾股定理，得，的线段长度，用，算出结果 ； （3）利用等体积法求点到面的距离. 【小问1详解】 在正方体中，,,所以. 根据正方形的性质，其对角线互相垂直，所以， 因为正方体中相对面的面对角线平行，所以，故, 又因，, 所以平面； 【小问2详解】 连接，交于点，设与交于点，连接，. 作的中点，连接交于点，， 由（1）得，平面 因为，，，则， 又，所以. 易知平面,则 那么就是二面角的平面角, 由中位线定理得 已知正方体棱长为4，则. 在中，根据勾股定理，得. 根据正弦函数的定义，在中，， 所以，二面角的平面角的正弦值为 . 【小问3详解】 设点到面的距离为，点到面的距离为， 因 所以， 又的面积， 的面积，， 所以，解得：， 所以点到面的距离为. 20. 如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点. （1）当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）以为坐标原点，为轴，为轴，过点作面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，求平面的法向量和直线的方向向量，证得，即可证明平面；（ii）求直线的方向向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. （2）设，求平面与平面的法向量，由二面角的向量公式可求出，即可求出的值. 【小问1详解】 解：如图建立空间直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，过点作 面的垂线为轴，则由题意可得， 由，及即， 可得. （i）设平面的一个法向量为， 则解得 令，得是平面的一个法向量. 因为， 所以.又平面， 所以平面. （ii）由（i）可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 设， 则， 设是平面的一个法向量， 则， 取，则是平面的一个法向量， 则， 解得或（舍去）. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $