精品解析：青海省海南藏族自治州高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

青海省海南藏族自治州高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册第九章～第十章，选择性必修第一册第1章～第2章2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于坐标平面对称的点B的坐标为（ ） A. B. C D. 2. 已知直线斜率的绝对值为1，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 2022年月以来我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班名同学捐款的频数分布表，若第分位数为，第分位数为，则（ ） 捐款金额元 频数 A. B. C. D. 4. 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 6. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （    ）． A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（ ） A B. C. D. 8. 袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙、丙、丁这四位同学每人各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，则根据四位同学的掷出点数统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为3 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，极差为4 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 点到平面的距离是定值 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_________． 13. 已知直线与垂直，则_____________． 14 已知向量若共面，则____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求边垂直平分线的一般式方程. 16. 已知空间三点，，. （1）求以，为邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 17. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． （1）若乙投球2次均未命中的概率为，求； （2）若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 18. 某大学随机统计了800名学生一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海省海南藏族自治州高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第二册第九章～第十章，选择性必修第一册第1章～第2章2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 点关于坐标平面对称的点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点的对称特征判定即可. 【详解】关于坐标平面对称的点，横坐标变换为其相反数，纵坐标、竖坐标不变. 即点关于坐标平面对称的点B的坐标为. 故选：B 2. 已知直线斜率的绝对值为1，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】因为直线斜率的绝对值为1，则当斜率为1时，直线的倾斜角为；当斜率为时，直线的倾斜角为. 故选：D. 3. 2022年月以来我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班名同学捐款的频数分布表，若第分位数为，第分位数为，则（ ） 捐款金额元 频数 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的运算法则计算出从而计算出. 【详解】因为，所以按从小到大排列取第、项数据的平均数，其平均数为，所以． 因为，所以按从小到大排列取第、项数据的平均数，其平均数为，所以，所以． 故选：D 4. 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 5. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项. 【详解】A：平行于平面的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确； B：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间基底，错误； C：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：B 6. 已知向量，，向量在向量上投影向量为 （    ）． A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可. 【详解】由题意可知，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 7. 在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以 . 故选：C 8. 袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，由互斥事件的概率性质建立关于的等式，求解即可． 【详解】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， ， 解得：， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由坐标运算，先求出，从而求出；选项B，利用向量的数量积坐标运算求出；选项C，由坐标运算，求出和，从而得解；选项D，利用坐标运算，求出和，使用公式求解即可. 【详解】选项A，，， ，故选项A正确； 选项B，， ，故选项B正确； 选项C，， ， ， 则与不垂直，故选项C错误； 选项D，，，， 则，故选项D正确. 故选：ABD. 10. 甲、乙、丙、丁这四位同学每人各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，则根据四位同学的掷出点数统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为3 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，极差为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】举例即可判断ABD正误；根据出现点数6时方差可判断C. 【详解】对于A，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足平均数为3，中位数为3，可以出现点数6，故A正确； 对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确； 对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差， 所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，故C错误； 对于D，当掷骰子出现的结果为2，2，3，5，6，满足中位数为3，极差为4，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 点到平面的距离是定值 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：利用空间中到定点的距离为定长的点的集合为一个球，在正方体表面上的交线为圆求得的轨迹长度；选项B：可以证得平面，结合平面，所以点到平面的距离是定值；选项C：要求直线与平面所成角的正切值的最大值，则求得在平面的投影为，当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大；选项D：要求的最小值，则利用到直线的距离为，当点落在上时，求得的最小值. 【详解】对于A，因为，即，所以， 即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上， 所以点的轨迹长度为，故A错误； 对于B，在正方体中，， 又平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段， 又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确； 对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角， 因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为， 所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大， 又， 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确； 对于D，到直线的距离为， 当点落在上时，，故D正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线的一方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由所求角与方向向量和法向量夹角互余即可求得结果. 【详解】直线与平面所成角与其方向向量与平面法向量的夹角互余， 直线与平面所成的角为. 故答案为：. 13. 已知直线与垂直，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】由题可得， 解得． 故答案为：. 14. 已知向量若共面，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】由条件，根据空间向量基本定理即可列方程组求解。 【详解】因为共面，所以存在实数，使得， 即， 即，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求边的垂直平分线的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，从而得边上的高所在直线的斜率，然后利用点斜式方程求解； （2）先求出的中点坐标，再求出边的垂直平分线的斜率，然后利用点斜式方程求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为， 又因为边上的高经过点，故其方程为， 所以边上的高所在直线的一般式方程为， 【小问2详解】 因为，所以的中点坐标为， 由（1）得，则边的垂直平分线的斜率为， 故其方程为， 所以边的垂直平分线的一般式方程为. 16. 已知空间三点，，. （1）求以，为邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量数量积的定义和坐标表示计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解； （2）设，则，解之即可. 【小问1详解】 由，， 得，， 所以，由，得， . 【小问2详解】 设， 由或， 或. 17. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． （1）若乙投球2次均未命中的概率为，求； （2）若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 由题意知，，故； 【小问2详解】 用表示“两人共命中2次”， ． 18. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 【答案】（1）； （2）105小时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解； （2）利用频率直方图的中点值结合均值算法，可估计总体平均值； （3）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为； 【小问2详解】 该校学生一个学期自习平均时间 ， 即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时； 【小问3详解】 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有15个样本点， 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 19. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而可证明. （2）分别求出平面和平面的法向量，利用向量法可求解. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以，设， 则，解得，即. 则， 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，所以平面的一个法向量为. 因为，设平面的一个法向量为， 所以即，令，解得， 所以平面的一个法向量为， 又，所以平面平面； 【小问2详解】 ， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，即 令，解得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，所以平面一个法向量为. ， 所以平面和平面夹角的大小为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $