精品解析：湖北省武汉市水果湖第二中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025年九年级上学期11月期中试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 3. 若二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 则抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A 没有实数根 B. 有且只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A 1 m B. 2 m C. 3 m D. 6 m 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（，，都是实数），满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，当时，，则值为（ ） A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 2 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 方程的根为______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 13. 若抛物线与轴无交点，则的取值范围是________． 14. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数（x，-2x）放入其中，得到-1，则x=_______ ． 15. 如图，在中，， ，分别以、为直角边，C为直角顶点向外作等腰和等腰，连接、．在的边变化的过程中，当最大时，的长是_______． 16. 抛物线（，是常数，）经过点，下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③若，两点均在抛物线上，且，则；④若方程有四个根，则至少有两个正根．其中正确的是________，（填序号） 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，一面墙长18m，借助这面墙用长32m的篱笆围成面积为的矩形花园（墙的长度大于花园的长）．求矩形的宽的长． 19. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）当时，的取值范围是________． 20. 如图，在四边形中，，，． （1）将绕点逆时针旋转得，求的度数； （2）若，，求的长． 21. 如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． （1）在图中，将线段向上平移个单位长度，点对应点，点对应点，画出平移后的线段，再将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段； （2）在图中，点是格线上一点，先作点关于点对称的点，再过点作直线分别交于点，使得． 22. 某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，这种中性笔的月销售量（支）是售价（元/支）的一次函数，其售价（元/支）、月销售量（支）、月销售利润（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润月销售量（售价进价）] 售价元/支） 30 32 月销售量（支） 200 180 月销售利润（元） 2000 2160 （1）中性笔的进价为________元，关于的函数关系式为________； （2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价的值，若不存在，请说明理由； （3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠元利润给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，求的取值范围． 23. 在等边中，，于D，点E为边上一点，点F为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． （1）当点E与点A重合时， ①如图1，连接，若的延长线过点C，连接，则线段________； ②如图2，若，连接、． M、N分别为、的中点，连接、和，求线段的长； （2）如图3，点E不与点A、B重合，若，的延长线交边于点H，连接、．当的周长最小时， _________． 24. 抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C． （1）如图1，当时，直接写出点A、B、C的坐标； （2）在（1）的条件下，若点P在抛物线上，，求P点的坐标； （3）如图2，当时，若H是抛物线上B、C之间的一点（不与B、C重合），直线，分别交y轴于M、N两点，在点H运动过程中，总有，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级上学期11月期中试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：． 3. 若二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 则抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，根据对称性可求出对称轴为直线，再结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值为， ∴顶点坐标为， 故选：C． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有且只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解决问题的关键． 通过计算判别式的值来判断方程的根的情况即可． 【详解】解：∵方程， ∴，，， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查配方法解一元二次方程，配方法就是通过配成完全平方形式来解一元二次方程方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．此题中，将常数项移到右边，并同时加上一次项系数一半的平方，即，即得到，最后配成完全平方形式即完成求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 6. 某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，关键是正确列出方程并求解． 设平均每月增长的百分率为，根据从10月到12月共两个月增长，列出方程求解． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为， ， ， 则， 解得或（舍去）， 因此，平均每月增长的百分率是， 故选：B． 7. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：． 故选：B． 8. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 6 m 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点， 则O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5， ∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2， 当水面下降2.5米， 把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x2+2， 解得：x=±3， 2×3﹣4=2， 所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米， 故选B． 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 根据旋转的性质即可得到，，，，再根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理得出，再根据平角的定义求出，进而可求出． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵，，三点在同一条直线上， ∴ ∴ 故选D． 10. 已知二次函数（，，都是实数），满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，当时，，则的值为（ ） A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数中求参数，由题中关系列式求解即可得到答案． 由对任意实数，都有，且当时，有成立，取时，两个不等式同时取等号，得到抛物线过点；再结合当时，，代入二次函数解析式，通过解方程组求解即可得到答案． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴ 当时，； ∵当时，有成立， ∴当时，； 综上所述，二次函数图象过点， ①； 当时，， ②； 由①②得：， 化简得：， 解得， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用因式分解法求解方程即可． 【详解】解：， 提取公因式，得， 所以或， 因此，． 故答案为：，． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 13. 若抛物线与轴无交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由抛物线与轴交点情况与判别式的关系求参数，熟记抛物线与轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键． 抛物线与轴无交点，则对应的一元二次方程无实数根，即判别式小于零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴无交点， 一元二次方程无实数根， 则 解不等式得， 故答案为：． 14. 小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数（x，-2x）放入其中，得到-1，则x=_______ ． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据新定义得到x2﹣2（﹣2x）+3=﹣1，然后把方程整理为一般式，然后利用配方法解方程即可． 【详解】解：根据题意得x2﹣2（﹣2x）+3=﹣1， 整理得x2+4x+4=0， （x+2）2=0， 所以x1=x2=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解题的关键． 15. 如图，在中，， ，分别以、为直角边，C为直角顶点向外作等腰和等腰，连接、．在的边变化的过程中，当最大时，的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等腰直角三角形的性质证明可得，确定，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线，即点在上时，最大，如图所示： ， 最大值为， 过点作于，如图所示： 由等腰三角形“三线合一”得， ， ∴BC， 故答案为：． 16. 抛物线（，是常数，）经过点，下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③若，两点均在抛物线上，且，则；④若方程有四个根，则至少有两个正根．其中正确的是________，（填序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，①根据函数图像经过点的意义，只要得到即可；②由①得，结合判断出的正负即可；③得出对称轴为直线，根据,，则，即可求解；④将两个根转化为交点的横坐标，即可求解． 【详解】解： 抛物线经过点， ， ， ∴， 当时，， ， 该抛物线一定经过，故①正确． ②由①得：， ， ， ， ， ．故②正确． ③抛物线的对称轴为直线， ，， ， 解得：，故③错误． ④方程即， 设， ∵， ∴， ∵方程有四个根， ∴， 此时有两个根，一正一负； 有两个根，均满足； ∴当时，的根均为负，仅有一个正根，结论不成立，错误； 故答案为：①②． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）方程左侧为完全平方式，可利用因式分解法求解． （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 解得． 【小问2详解】 解： ， 解得，． 18. 如图，一面墙长18m，借助这面墙用长32m的篱笆围成面积为的矩形花园（墙的长度大于花园的长）．求矩形的宽的长． 【答案】10米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找出等量关系列出方程并求解． 设矩形的宽为米，那么长为米，根据矩形面积公式列出方程，求解后结合墙的长度进行取舍． 【详解】解：设矩形的宽的长为米，则长的长为米． 由题意可得方程： 解得， 当时，米，因为墙长18米，，不符合题意，舍去， 当时，米，，符合题意， 所以矩形的宽的长为10米． 19. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法直接求出值，即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中求得的抛物线的解析式为，求出点，再由待定系数法列方程组求出，即可得到直线的解析式； （3）由（1）知，，由二次函数图象与性质可得最大值；当时，取得的最小值，是在与时所得值中小的那个；从而得到的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点， 将点代入得， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 抛物线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，即， 将、代入，得 ， 解得， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ，对称轴为， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 而当时，取得的最小值，是在与时所得值中较小的那个， 当时，；当时，； ， 的最小值是， 综上所述，当时，的取值范围是， 故答案为：． 20. 如图，在四边形中，，，． （1）将绕点逆时针旋转得，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转性质得到，，，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，进而等量代换得到，从而得到，最后在中，由三角形内角和定理计算即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的延长线于点，如图所示，由旋转性质及四边形内角和得到，从而得到是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解得到，在中，由勾股定理求出，再由旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理列方程求解得到． 【小问1详解】 解：将绕点逆时针旋转得， ，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的延长线于点，如图所示： ，，，， 在四边形中，，， ∴， ， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， ， ，即， 解得， ∴， ， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查几何综合，难度较大，涉及旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、四边形内角和为、邻补角求角度、勾股定理等知识，灵活运用旋转性质构造等腰直角三角形是解决问题的关键． 21. 如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． （1）在图中，将线段向上平移个单位长度，点对应点，点对应点，画出平移后的线段，再将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段； （2）在图中，点是格线上一点，先作点关于点对称的点，再过点作直线分别交于点，使得． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】（）根据平移和旋转的性质作图即可； （）如图，连接并延长交格线于点，由平行线等分线段定理可得，同理作点关于点的对称点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，易得四边形是平行四边形，即得，进而可证，得到，故点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，线段和即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求． 【点睛】本题考查了平移和旋转作图，平行线等分线段定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 22. 某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，这种中性笔的月销售量（支）是售价（元/支）的一次函数，其售价（元/支）、月销售量（支）、月销售利润（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润月销售量（售价进价）] 售价元/支） 30 32 月销售量（支） 200 180 月销售利润（元） 2000 2160 （1）中性笔的进价为________元，关于的函数关系式为________； （2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价的值，若不存在，请说明理由； （3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠元利润给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）设进价为元/支，由销售表列方程求解即可得到答案；设关于的函数关系式为，将代入关系式列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）由题意，得到，根据二次函数图象与性质求最值即可得到答案； （3）由题意，得到新的销售利润，由二次函数图象与性质得到当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设进价为元/支， 则由销售表可得， 解得； 设关于的函数关系式为， 将代入关系式可得， 解得， 则关于的函数关系式为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：存在， 由题意可得 ， ， 二次函数图象开口向下，当时，函数值有最大值； 【小问3详解】 解：要求在售价不超过37元， ， 新的销售利润 ， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 则当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大， ， 解得， 的取值范围． 【点睛】本题考查综合应用题，涉及一元一次方程解应用题、一次函数解应用题、二次函数解应用题、由二次函数图象与性质求最值、由二次函数图象与性质解不等式等知识，综合性强，难度较大，理解题意，根据要求准确列出得出方程、函数及不等式分析是解决问题的关键． 23. 在等边中，，于D，点E为边上一点，点F为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段． （1）当点E与点A重合时， ①如图1，连接，若的延长线过点C，连接，则线段________； ②如图2，若，连接、． M、N分别为、的中点，连接、和，求线段的长； （2）如图3，点E不与点A、B重合，若，的延长线交边于点H，连接、．当的周长最小时， _________． 【答案】（1）①6；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得是等边三角形，当E和A重合时，可证，得出，根据三角形外角的性质等可求出，，根据等角对等边得出，根据含角的直角三角形的性质得出，则 ，即可求解； ②由①可求，，过点N作交于点K，证明，根据相似三角形的性质可求出，，根据勾股定理求出，由①知： ，则，，证明，得出，，则，进而可证为等边三角形，最后根据等边三角形的性质求解即可； （2）根据旋转的性质，等边三角形的判定与性质可求出，，则，故A、E、F、H四点共圆，根据圆周角定理可得出 ， ，，根据含角的直角三角形的性质，根据勾股定理求出，可求的周长为，故当时，最小，即的周长最小，此时可证明是等边三角形，得出，进而可证垂直平分，根据三线合一可求出，然后证明，得出，然后根据含角的直角三角形的性质，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①等边中，， ，， ， ，， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， 当E和A重合时，， ， 又，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ； ②由①知， 又， ，则， 过点N作交于点K，     ，， ， ， ， 点 N为的中点， ， ， ，， ， 在中，， 由①知： ， ，， M、N分别为、的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形， ； 【小问2详解】 解：线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接， 为等边三角形， ，， ， ，为等边三角形， ，， ， A、E、F、H四点共圆，如图所示， ， ，， ， ， 的周长为， 当时，最小，即周长最小， 如图， 又， ， 又， 等边三角形， ， ， ， 垂直平分， 平分， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、勾股定理解直角三角形、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线． 24. 抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C． （1）如图1，当时，直接写出点A、B、C的坐标； （2）在（1）的条件下，若点P在抛物线上，，求P点的坐标； （3）如图2，当时，若H是抛物线上B、C之间的一点（不与B、C重合），直线，分别交y轴于M、N两点，在点H运动过程中，总有，求m的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 分析】（1）当时，，即可求出； （2）可得，当点在直线下方抛物线上时，记为，可得，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点分别做平行线的垂线，垂足为点，则，求出，继而可求直线，则与抛物线解析式联立即可求解；当点在直线下方抛物线上时，记为，过点作轴的垂线交直线于，，则，则，同理可求直线，即可同上求解； （3）本题可先设出点，其中，再分别求出直线，的解析式，进而得到​M、N的纵坐标、，结合，最后根据列出等式求解​m的值． 【小问1详解】 解：当时，． 令，则； 令，则， 解得，或． ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点在直线下方抛物线上时，记为 ∵， ∴， 过点作交于点，过点作轴的平行线，过点分别做平行线的垂线，垂足为点， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线，则， 解得， ∴直线， 则 则， 解得或（舍） ∴； 当点在直线下方抛物线上时，记为， 过点作轴的垂线交直线于 ∴ ∵，， ∴， ∴， 对于直线，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 同理可求直线， 则， 解得，（舍）， ∴， 综上：P点的坐标为或； 【小问3详解】 解：设，其中． 对， 令，则． ∴． ∴． 解得． 令，得． ∵A在B左侧， ∴，． 设直线的解析式为， 把，代入可得： ．​​ ，得． 解得．​ 把代入①，得． ∴． ∴直线的解析式为． 令，可得． 设直线的解析式为​， 把，代入可得 ． ，得． 解得．​ 把代入③，得． ∴． ∴直线的解析式为． 令，可得． ∵， ∴设C的纵坐标为． ∵，， 且，H在B、C之间， ∴． 即． ∴． ∵， ∴． 约分，得． ∴． ∴． ∵方程对任意t（H运动过程中）恒成立， ∴含t的系数必须为 0． ∴． 解得：． 故m的值为．​​ 【点睛】本题考查了二次函数综合题．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图像和性质，二次函数、一次函数与坐标轴的交点，二次函数、一次函数与线段综合，正确构造“一线三等角”的基本图形解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $