13.2与三角形有关的线段（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2与三角形有关的线段 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. （钝角三角形三条高的交点在三角形外，直角三角形的三条高的交点在三角形上，锐角三角形的三条高在三角形内） 中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. （三条中线的交点叫重心） 角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点到三边距离相等） 三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. （例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性） 型 习 练 题 构成三角形的条件 1．下列各组长度的线段能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度和与较长线段的长度的大小关系，即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 2．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（   ） A．3，6，8 B．4，4，8 C．3，6，10 D．6，7，14 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断各选项是否满足条件即可． 【详解】选项A：，满足； 选项B：，不满足； 选项C：，不满足； 选项D：，不满足， ∴能组成三角形的是A． 故选：A． 确定第三边的取值范围 3．已知1、3、a分别为三角形的三边，则的值可以是() A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，根据三角形三边关系，列出不等式求解的范围． 【详解】解：三角形的三边分别为、、， 的取值范围为． 的值可以是． 故选：C． 4．若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求三角形第三边的范围，根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：设第三边的长为，由题意，， ∴， 故第三边长可能为； 故选B． 三角形三边关系的应用 5．将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，由三角形的任意两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，故本选项不符合题意； B、，不符合三角形的三边关系，故本选项不符合题意； C、，不符合三角形的三边关系，故本选项不符合题意； D、，符合三角形的三边关系，故本选项符合题意； 故选：D 6．如图，用一根长14厘米的吸管弯折两次做一个等腰三角形，第一次弯折在5厘米处，第二次弯折的位置可以是（    ） A．④ B．③ C．② D．① 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系．分别以5厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当5厘米为腰时，则底为厘米，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处弯折， 当5厘米为底时，则腰为厘米，图形上的四个位置都是整数点，则没有符合题意的点， 综上，第二次可以在③处弯折， 故选：B． 三角形的稳定性 7．被称为“横竖”都是世界第一的贵州花江峡谷大桥于2025年9月28日正式建成通车，据了解，大桥横跨被誉为“地球裂缝”的花江大峡谷，全长2890米，主桥跨径1420米，桥面到水面高度625米，大桥仍为双塔双索面斜拉桥，如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】A 【分析】本题考查三角形稳定性，解题的关键是掌握要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 故选A． 8．如图，为了使用人字梯的安全，人们常在人字梯的两个梯脚间拉一根绳子，这里所用的几何原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及其应用，熟记三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：人字梯是三角形具的稳定性在生活中的应用． 故选：C． 根据三角形中线求长度 9．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：、、分别是的高、角平分线、中线， 结合选项可知，，， 故A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 10．如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是中线的定义，解题关键是熟练掌握三角形中线的定义． 根据中线的定义得，再结合的周长及，，即可得到的周长． 【详解】解：是中线， ， ， ， 又，， ， ． 故选：． 根据三角形中线求面积 11．如图，已知中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于12，则的面积等于（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质、三角形的面积等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点，的面积等于12， ， ∵D是的中点， ． 故选B． 12．如图，在△中，点、分别是边、的中点，连接、，若的面积为8，则△的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形的中线求三角形的面积． 根据三角形的中线与面积的关系即可得到结论． 【详解】解：∵点是边的中点，的面积为8， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：C． 重心的概念 13．下列说法正确的是（   ） A．三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的重心 B．三角形的中线是射线 C．三角形的三条高一定交于三角形内部一点 D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，都是需要熟记的内容． 根据三角形的中线，角平分线的性质即可作出判断． 【详解】解：A．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的重心，故选项错误； B．三角形的中线是线段，故选项错误； C．直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形的边上，故选项错误； D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项正确． 故选：D． 14．如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A．画出三角形三条角平分线的交点 B．画出三角形三条高线的交点 C．画出三角形三条垂直平分线的交点 D．画出三角形三条中线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心的定义；对于质地均匀的三角形薄板，其重心与几何重心一致，而三角形的几何重心是三条中线的交点． 【详解】解：∵ 三角形的重心是三条中线的交点，且均匀薄板的重心即为几何重心， ∴ 应画出三角形三条中线的交点． 故选：D． 三角形角平分线的定义 15．如图在中，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的中线 B．是的高线 C．是的角平分线 D．是的角平分线 【答案】C 【分析】本题考查三角形中线、高线、角平分线的判断，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是的角平分线 故选：C． 16．如图，，，分别是的中线、角平分线和高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高线，掌握相关定义及结论即可求解； 【详解】解：∵是的中线， ∴，不是，故A错误； ∵是的角平分线， ∴，故D正确； ∵是的高线， ∴，不是，故C错误； 无法推出，故B错误； 故选：D ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2与三角形有关的线段 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. （钝角三角形三条高的交点在三角形外，直角三角形的三条高的交点在三角形上，锐角三角形的三条高在三角形内） 中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. （三条中线的交点叫重心） 角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点到三边距离相等） 三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. （例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性） 型 习 练 题 构成三角形的条件 1．下列各组长度的线段能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（   ） A．3，6，8 B．4，4，8 C．3，6，10 D．6，7，14 确定第三边的取值范围 3．已知1、3、a分别为三角形的三边，则的值可以是() A．1 B．2 C．3 D．4 4．若三角形两边长分别为和，则第三边长可能为（   ） A． B． C． D． 三角形三边关系的应用 5．将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，用一根长14厘米的吸管弯折两次做一个等腰三角形，第一次弯折在5厘米处，第二次弯折的位置可以是（    ） A．④ B．③ C．② D．① 三角形的稳定性 7．被称为“横竖”都是世界第一的贵州花江峡谷大桥于2025年9月28日正式建成通车，据了解，大桥横跨被誉为“地球裂缝”的花江大峡谷，全长2890米，主桥跨径1420米，桥面到水面高度625米，大桥仍为双塔双索面斜拉桥，如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形任意两边之和大于第三边 8．如图，为了使用人字梯的安全，人们常在人字梯的两个梯脚间拉一根绳子，这里所用的几何原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 根据三角形中线求长度 9．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 根据三角形中线求面积 11．如图，已知中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于12，则的面积等于（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 12．如图，在△中，点、分别是边、的中点，连接、，若的面积为8，则△的面积等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 重心的概念 13．下列说法正确的是（   ） A．三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的重心 B．三角形的中线是射线 C．三角形的三条高一定交于三角形内部一点 D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形 14．如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A．画出三角形三条角平分线的交点 B．画出三角形三条高线的交点 C．画出三角形三条垂直平分线的交点 D．画出三角形三条中线的交点 三角形角平分线的定义 15．如图在中，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的中线 B．是的高线 C．是的角平分线 D．是的角平分线 16．如图，，，分别是的中线、角平分线和高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $