精品解析：广东省肇庆市高要区第一中学、第二中学教育共同体2025-2026学年八年级上学期期中 数学 试题

2025～2026学年第一学期期中学业水平联合测 八年级数学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中具有稳定性的是（　　） A. B. C. D. 2. 世界环境日为每年的6月5日，它的确立反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，表达了人类对美好环境的向往和追求．下列有关环境保护的图案中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 3. 如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（ ）     A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4. 如图，与相交于点O，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上的高，，若 ，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（ ）． A. 40 B. 30 C. 28 D. 16 8. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 9. 雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，在中，，，，，点，，三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出命题“若，则．”的逆命题：__________． 12. 如图，在中，延长至点D，，，_____． 13. 若三角形两边的长分别为2和7，且第三边的长为奇数，则这个三角形的周长为______． 14. 如图，，，，则______． 15. 如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，在中，，D是边上的中点，，求和的度数． 17. 在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，．若与关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为点，，． （1）请在图中作出，并写出点，，的坐标． （2）求的面积． 18. 如图，在中，于点，为上一点，且． （1）求证：≌ （2）若，试求的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足．求证： （1）； （2）是等边三角形． 20. 如图，为的角平分线，点E，F分别在，上，且，连接交于点O． （1）求证：． （2）求证：垂直平分． 21. 如图，在中， （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点D，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若，，求的周长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 23. 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． （1）【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． （2）【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，求证：． （3）【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期期中学业水平联合测 八年级数学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中具有稳定性的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断． 【详解】解：A、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项不符合题意； B、图形是五边形，不具有稳定性，故本选项不符合题意； C、图形是两个长方形，不具有稳定性，故本选项不符合题意； D、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是利用三角形的稳定性判断． 2. 世界环境日为每年的6月5日，它的确立反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，表达了人类对美好环境的向往和追求．下列有关环境保护的图案中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐一分析即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形是轴对称图形，符合题意； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 3. 如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（ ）     A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据可得，再根据等式的性质并结合图形即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四个点，，，在同一直线上， ∴， 故选：A． 4. 如图，与相交于点O，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行排除选项即可． 【详解】解：∵，， ∴添加无法判定，故A选项不符合题意； 添加可根据“”判定，故B选项符合题意； 添加无法判定，故C选项不符合题意； 添加无法判定，故D选项不符合题意； 故选B． 5. 如图，在中，，是边上的高，，若 ，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再求出，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（ ）． A. 40 B. 30 C. 28 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴的周长； 故选B． 8. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 9. 雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．证明，又由，，即可证明． 【详解】解：∵，点分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， 故选：C 10. 已知：如图，在中，，，，，点，，三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． ①由 ，利用等腰三角形的性质得到夹角相等，从而得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，本结论正确；②由与全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本结论正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本结论正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①， ，即， 在 和 中，， ， ，本结论正确； ②为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，本结论正确； ③， ， ， 即，本结论正确； ④， ，本结论正确； 综上，①②③④正确． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出命题“若，则．”的逆命题：__________． 【答案】若，则 【解析】 【分析】本题主要考查了命题和逆命题的知识，正确写出逆命题是解题关键．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．根据题目中给出的命题，结合逆命题的定义解答即可． 【详解】解：命题“若，则．”的逆命题：若，则． 故答案为：若，则．． 12. 如图，在中，延长至点D，，，_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键． 直接根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 若三角形两边的长分别为2和7，且第三边的长为奇数，则这个三角形的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】第三边的长为x，根据三角形的三边关系，可得，再由第三边的长为奇数，可得，即可求解． 【详解】解：设第三边的长为x，根据题意得： ， 即， ∵第三边的长为奇数， ∴，即第三边的长为7， ∴这个三角形的周长为． 故答案为：16 【点睛】本题主要查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 14. 如图，，，，则______． 【答案】##96度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 先利用三角形的内角和定理求得，再根据全等三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长交于点，根据角平分线的定义及垂直的定义得，，利用可证明，得出，，可得，根据等角对等边得出，即可得的长． 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，在中，，D是边上的中点，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，直角三角形的特征；由等腰三角形的性质，，由三角形内角和及直角三角形的特征，即可求解；能熟练利用等腰三角形的性质，三角形内角和，直角三角形的特征进行求解是解题的关键． 【详解】解：，D是边上的中点， ，， ， ； 故：，． 17. 在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，．若与关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为点，，． （1）请在图中作出，并写出点，，的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点，，的坐标，描出点，，，并顺次连接点，，即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 18. 如图，在中，于点，为上一点，且． （1）求证：≌ （2）若，试求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ∴≌（HL）； （2）20 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法； （1）利用HL即可证明； （2）根据，可得，进而求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵≌， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足．求证： （1）； （2）是等边三角形． 【答案】（1） 证明∵， ∴． ∵， ∴． ∵D是边的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2） 证明：由（1）得，， ∴， ∴, ∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定等知识点，熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质是解题的关键． （1）先利用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）得、，求出，进而得到即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，为的角平分线，点E，F分别在，上，且，连接交于点O． （1）求证：． （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：由（1）知：， ∴， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）角平分线得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中， （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点D，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若，，求的周长． 【答案】（1） 解：如图所示为所求： （2）10 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质及三角形周长的计算． （1）分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两个交点作直线即为的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长的定义计算出的周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连结， ∵点A与点B关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B； 活动二： ①； ②如图所示，点F即为所求； 的最小值为4； 活动三：的最小值为． 【解析】 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示， ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． （1）【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． （2）【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，求证：． （3）【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）50 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再证明，即可证明结论； （2）在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $