专题2.1 直线的倾斜角与斜率（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题2.1 直线的倾斜角与斜率 教学目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 教学重难点 重点 根据斜率判定两条直线平行或垂直. 知识点01 直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴_________时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 【即学即练】 1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 2．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 知识点02 直线的斜率 1．定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 2．直线的倾斜角与斜率之间的关系：由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率_________；当在范围内时，直线的斜率_________；当时，直线的斜率为_________；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【即学即练】 1．直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 2．若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 知识点03 斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式_________． 【即学即练】 1．若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 知识点04 两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与_________．由，可得，即． 因此，若，则．反之，若，则． 【即学即练】 1．已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 2．若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 知识点05 两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则_________． 【即学即练】 1．以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型01 直线的倾斜角与斜率定义 【典例1】已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【变式1】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【变式2】已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知角，直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型02 斜率与倾斜角的变化关系 【典例1】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式1】已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例1】已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【变式1】已知点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2 题型04 直线与线段相交关系求斜率范围 【典例1】已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式1】已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型05 直线平行 【典例1】已知直线，点、，设，，比下选项中命题都正确的为（   ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3） 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 【变式1】直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【变式2】若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【变式3】已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 题型06 直线垂直 【典例1】已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． 【变式1】已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】直线，若直线的一个法向量为，则（    ） A．2 B． C． D． 题型07 直线平行、垂直在几何问题的应用 【典例1】如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决． 【变式1】已知正数满足，则 . 【变式2】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 1．已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 2．直线与直线平行，则 . 3．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 4．已知函数，，函数的图象与曲线交于点，与曲线交于点，，点在第一象限，且，四点顺次呈逆时针排列，则直线的斜率与直线的斜率的乘积为 . 5．已知两直线和．若，则 ． 6．已知平面向量与互相垂直，且，，则的坐标为 7．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 9．已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 11．已知直线，若，则实数 . 12．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 13．已知直线与满足.则 . 14．已知，直线和垂直，则的最小值为 . 15．已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率 教学目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 教学重难点 重点 根据斜率判定两条直线平行或垂直. 知识点01 直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 【即学即练】 1．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 2．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由直线方向向量为，则直线斜率为，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为. 故选：C 知识点02 直线的斜率 1．定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 2．直线的倾斜角与斜率之间的关系：由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【即学即练】 1．直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率，再利用正切二倍角求出. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以， 则. 故选：D 2．若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得到方程，求出答案. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 又，故. 故选：C 知识点03 斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 【即学即练】 1．若三点在同一条直线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可. 【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在， 所以，则，解得． 故选：B. 2．若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 知识点04 两直线平行的条件 设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则．反之，若，则． 【即学即练】 1．已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 【答案】D 【分析】由两直线斜率相等可得平行，选项A正确；由两直线平行可得倾斜角相等，选项B正确；由两直线斜率之积等于可得两直线垂直，选项C正确；当两直线垂直时，其中一条直线斜率可能不存在，选项D错误. 【详解】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确. 由，可得，的倾斜角相等，B正确. 由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确. 当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误. 故选：D. 2．若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 知识点05 两直线垂直的条件 设两条直线的斜率分别为．若，则． 【即学即练】 1．以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 2．已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意，直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：D. 题型01 直线的倾斜角与斜率定义 【典例1】已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线倾斜角与斜率关系和方向向量与斜率关系求出即可； 【详解】由直线的倾斜角为可得直线的斜率为， 又方向向量，即，解得. 故选：D. （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【变式1】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 【变式2】已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，利用二倍角公式及齐次式可得结果. 【详解】∵为直线的倾斜角， ∴直线斜率， ∴. 故选：A. 【变式3】已知角，直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系建立方程，结合三角函数的性质，可得答案. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 故角的取值范围是. 故选：D. 题型02 斜率与倾斜角的变化关系 【典例1】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线平行得出正切值为，再应用二倍角正弦及余弦公式结合齐次式计算求值. 【详解】因为角的终边与直线平行， 即角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：D. 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【变式1】已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【变式2】已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出直线的倾斜角再根据夹角范围结合正切函数性质即可求值. 【详解】直线：的倾斜角为，直线：的倾斜角为，则， 所以过原点的直线：，：夹角在内变动时， 可得直线的倾斜角的范围是， 所以，即， 故选：C. 【变式3】已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出a的取值范围. 【详解】因为， 所以，即直线的斜率． 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是． 故选：C． 题型03 已知两点求斜率、已知斜率求参数 【典例1】已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 【变式1】已知点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出相应图形，利用两点斜率公式求得两临界斜率，再数形结合即可得解. 【详解】点，过的直线（不垂直于轴）与线段相交， 如图， ， 且过的直线（不垂直于轴）与线段相交， 直线需绕点逆时针旋转至倾斜角为（不含），此时斜率范围为， 直线需绕点顺时针旋转至倾斜角为（不含），此时斜率范围为． 综上所述，直线斜率的取值范围是． 故选：C. 【变式2】已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的倾斜角为知倾斜角范围为，结合直线方程求m的范围. 【详解】由题设，的倾斜角为，故倾斜角范围为， 所以且，即. 故选：C 【变式3】若过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【解析】由题意可得，故有，由此求得实数的值. 【详解】过两点，的直线的倾斜角为， 则有， 即， 即且， 解得， 故选：D. 题型04 直线与线段相交关系求斜率范围 【典例1】已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式1】已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 【变式2】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式3】已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示，    由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 题型05 直线平行 【典例1】已知直线，点、，设，，比下选项中命题都正确的为（   ） （1）若，则线段的中点在直线上 （2）若，则直线与直线平行 （3）若，则点、分布在直线的两侧 A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3） D．（1）（3） 【答案】D 【分析】根据条件，结合点与直线的位置关系，转化为坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于（1），因为， 所以 ，即，所以（1）正确； 对于（2），当时，满足， 此时有，， 即，均在直线上，所以（2）错误； 对于（3），由，得到， 由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，知选项D正确； 故选：D 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 【变式1】直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【分析】先根据两直线平行的条件列出方程，求出可能的值，再分别代入检验两直线是否重合，从而确定两直线平行的充要条件. 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 【变式2】若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B 【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 【变式3】已知直线，直线，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可. 【详解】根据两直线平行，可知，解得. 故选：C 题型06 直线垂直 【典例1】已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立与的方程，由恒有解判断B；取时，与重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D. 【详解】解：当时，的倾斜角为，此时的方程为，故A正确； 联立方程组，得，此方程恒有解， 故对任意的，与都有公共点，B正确； 当时，，此时与重合，故C错误； 因为的斜率为1，当时，与不垂直； 当时，的斜率，所以对任意的，与都不垂直，D正确； 故选：C. 利用直线平行与垂直的条件解题，主要利用其斜率的关系，当然，在解题时要特别注意斜率不存在的情况，以及分类讨论的思想． 【变式1】已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 【变式2】已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而可得，进而可得. 【详解】由可得， 化简得，解得或（舍去） 又，得， 故选：B 【变式3】直线，若直线的一个法向量为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据法向量求直线斜率，再根据两条直线垂直斜率间关系列式求参. 【详解】直线的一个法向量为直线的斜率． 直线，解得． 故选：B. 题型07 直线平行、垂直在几何问题的应用 【典例1】如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 【答案】A 【分析】首先设正方形的边长是a，则点B的坐标是，设点Q的坐标是，点P的坐标是;然后根据，，推得，再根据，可得，所以其函数图象是线段. 【详解】设正方形的边长是，则点的坐标是， 设点的坐标是，点的坐标是， ， ， ①， ， ， ②， 把①代入②，可得， 整理,可得， ，， ， ， ， ∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段. 故选:A. 解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决． 【变式1】已知正数满足，则 . 【答案】/. 【分析】 如图建立平面直角坐标系，设，由已知条件可得，，可得四边形为正方形，设，从而可求出，进而可求得答案. 【详解】设， 则四边形为矩形， 因为， 所以， 而，即，即， 所以，又是等边三角形，所以过的中点， 所以矩形为正方形，由整个图形的对称性可知. 设，得， ， 所以. 故答案为：. 【变式2】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 【变式3】以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 1．已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则 又因为，且， 即，所以， 故答案为：. 2．直线与直线平行，则 . 【答案】或4 【分析】利用两条直线平行列式求解. 【详解】由直线与直线平行， 若，则直线的方程为，的方程可化为，两直线不平行， 故，所以，解得或. 故答案为：或4 3．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】首先考虑直线过两个端点的情况，再计算直线过线段中间点的情况，利用定比分点的向量公式进行求解即可. 【详解】当直线过点时，，直线过点时，， 当直线与线段的交点在之间时， 设这个交点分的比为， 由定比分点向量公式有， 点的坐标为， 又直线过点，， ，又点在线段上，， ，解得或， 实数的取值范围是. 4．已知函数，，函数的图象与曲线交于点，与曲线交于点，，点在第一象限，且，四点顺次呈逆时针排列，则直线的斜率与直线的斜率的乘积为 . 【答案】1 【分析】由题意点与点关于直线对称，得，同理，代入直线的斜率公式化简即可求解. 【详解】设，则， 由点与点关于直线对称，所以，同理， 所以， 因为， 所以 故答案为：1. 5．已知两直线和．若，则 ． 【答案】 【分析】利用两条直线平行求出参数，再验证得解. 【详解】由直线，得，则，解得， 又0，则，即，因此． 所以当时，． 故答案为： 6．已知平面向量与互相垂直，且，，则的坐标为 【答案】 【分析】运用垂直坐标运算，结合模长公式计算即可. 【详解】设，因为与垂直，所以，即， 又因为，所以，故. 故答案为：. 7．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论，当时，，当时，根据直线方程确定，利用勾股定理得到,结合基本不等式即可求得结果. 【详解】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以， ②当时，直线的斜率为，直线0的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 因为，故的最小值为. 故选：C. 9．已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】当时，可得出，当时，得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，，，此时，所以可以推出， 若，由，解得或， 当，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 10．已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解. 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 11．已知直线，若，则实数 . 【答案】或1 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】，则根据直线垂直的充要条件列式得到， 解得或. 故答案为：或. 12．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒得到等式，再结合基本不等式计算即可. 【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒ 可得，即，所以， 由得．当且仅当取等号. 故答案为：. 13．已知直线与满足.则 . 【答案】2 【分析】根据直线平行求出，再代入直线方程检验即可. 【详解】由，可得， 解得或， 当时，与重合，不符合题意， 当时，与平行，满足题意， 故答案为：2 14．已知，直线和垂直，则的最小值为 . 【答案】8. 【分析】根据两直线垂直的关系可得到关于和的关系式，再根据关系式结合基本不等式求出的最小值即可. 【详解】由题意得，因为直线和垂直， 则，即， 所以， 因为，所以，， 所以根据基本不等式，， 所以， 所以的最小值为8，当且仅当时等号成立， 故答案为：8. 15．已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式求出，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围. 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示，    因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$