精品解析：江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中调研测试数学试题

2025~2026学年（上）高二年级期中调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平行，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 若方程：表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若空间向量，则下列向量能与构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是空间三个两两不共线的向量，则“向量共面”是“存在三个均不为零的实数，使得”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 8. 已知直线和圆交于两点，设线段的中点为为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 已知圆与圆，则（ ） A. 圆心距 B. 两圆的公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公共弦长为 D. 直线是两圆的一条公切线 11. 在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则（ ） A. B. 当且仅当为中点时， C. 存在，使得 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则__________. 13. 过点作圆的切线，则切线长为__________. 14. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点为. （1）求边上的中线的长； （2）求的外接圆方程. 16. 如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且. （1）用向量表示； （2）求； （3）求向量与夹角的余弦值. 17. （1）过点作直线的垂线，垂足为. ①求点的坐标； ②求以为直径的圆被轴截得的劣弧的长度； （2）已知点和直线（不同时为零），证明：点到直线的距离. 18. 如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. （1）证明：； （2）若平面平面，求的值； （3）设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 19. 已知曲线. （1）求曲线围成的平面图形的面积； （2）若是曲线上的两个动点，求的最大值； （3）是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年（上）高二年级期中调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角． 【详解】可化为：， ∴直线的斜率为，设直线的倾斜角，则， ∵，∴． 故选：A． 2. 已知直线与平行，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件列式求解即可. 【详解】由直线与平行， 得，所以. 故选：D. 3. 若方程：表示圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可. 【详解】因为方程：表示圆， 则有，解得：， 故选：B. 4. 若空间向量，则下列向量能与构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A不是； 对于B，，向量共面，B不是； 对于C，，向量共面，C不是； 对于D，假设，则，于是，方程组无解， 即向量不共面，能构成空间的一个基底，D是. 故选：D 5. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C 6. 已知是空间三个两两不共线的向量，则“向量共面”是“存在三个均不为零的实数，使得”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面的基本定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解. 【详解】因为实数均不为零，所以， 此时向量共面，故必要性成立； 因为是空间三个两两不共线的向量，若向量共面， 则存在非零实数、使得，则， 取，即有，故充分性成立； 所以“向量共面”是“存在三个均不为零的实数，使得”的充要条件. 故选：A 7. 在正三棱柱中，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正三棱柱的性质计算出，，，再根据夹角公式即可求解. 【详解】由题意，同理可得， 因为平面，平面，所以， 即， 所以 ， 所以， 故直线与所成角的余弦值为. 故选：B 8. 已知直线和圆交于两点，设线段的中点为为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知直线l过定点，且点在圆内，结合垂直于，可得动点的轨迹方程为，由此容易得出的最大值． 【详解】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为， 直线，易知直线恒过定点 又,所以点在圆内，如图所示： 由于垂直于，则点的轨迹为以为直径的圆， 线段的中点坐标为，， 所以动点的轨迹方程为， 又，， 可得， 即的取值范围为， 所以的最大值为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 10. 已知圆与圆，则（ ） A. 圆心距 B. 两圆的公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公共弦长为 D. 直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则（ ） A. B. 当且仅当为中点时， C. 存在，使得 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为原点，建立坐标系，设，根据，求得，由，可判定A正确；由，求得，可判定B正确；由，列方程方程组，可判定C错误；过作，证得即为直线与平面所成角，求得，利用换元法和函数的单调性，可判定D正确. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 设，其中可得， 因为，则， 可得，所以， 对于A，由， 可得，所以A正确； 对于B，由，可得 若，可得，所以，解得， 即分别为的中点，所以B正确； 对于C，由， 若，可得，则存在实数使得， 可得，可得，因为，所以不存在， 所以不存在使得，所以C错误； 对于D，过点作，连接， 在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以即为直线与平面所成角， 在直角中，由，可得， 所以 在直角中，可得， 令，其中， 可得，且，所以， 由函数在上单调递减， 所以当时，，所以的最大值为， 所以的最大值为，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行可知存在实数，使得，结合向量坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 若，则存在实数，使得， 可得，解得. 故答案为：. 13. 过点作圆的切线，则切线长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可. 【详解】方程可化为，圆心，半径， 所以切线长为. 故答案为： 14. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点为. （1）求边上的中线的长； （2）求的外接圆方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可. （2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可. 【小问1详解】 由中点坐标公式得的中点， 由两点间距离公式得. 【小问2详解】 设三角形外接圆方程为， 因为点在所求的圆上，可得，解得， 则外接圆的方程为. 16. 如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且. （1）用向量表示； （2）求； （3）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）利用向量的模与数量积的关系求解即可； （3）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 【小问3详解】 因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 17. （1）过点作直线的垂线，垂足为. ①求点的坐标； ②求以为直径的圆被轴截得的劣弧的长度； （2）已知点和直线（不同时为零），证明：点到直线的距离. 【答案】（1）①；②； （2）法一：设，过点作直线的垂线，垂足为， 则过点和直线垂直的直线方程为. 联立，解得， 所以点的坐标为. 所以 当时， . 当时， . 所以点到直线的距离. 法二：过点作，垂足为. 当时， 过点分别作轴､轴的垂线， 分别与相交于. 由， 得， 所以， 因为是斜边上的高， 所以， 即点到直线的距离. 当时， . 当时， . 综上，点到直线的距离. 【解析】 【分析】（1）①求得直线的方程，联立方程求解即可；②求得圆的方程，由勾股定理可得，计算即可求解； （2）方法一：求得过点和直线垂直的直线方程，联立方程组求得交点坐标，由平面中两点间的距离公式即可得证；方法二：过点分别作轴､轴的垂线，分别与相交于，由等面积法计算即可得证. 【详解】（1）①因为直线的斜率， 所以其垂线的斜率， 所以直线的方程为. 联立，解得. ②因为， 所以以为直径的圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 设圆与轴交于两点，则， 所以， 所以，所以所求弧长为. （2）略 18. 如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. （1）证明：； （2）若平面平面，求的值； （3）设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 【答案】（1） 因为平面平面，平面平面， 在矩形中，平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，进而利用线面垂直的性质可得，建立空间直角坐标系，利用向量法可得结论； （2）求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求的值； （3）设，求得，利用向量法可求得，进而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 . 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 若平面平面，则， 得，解得， 因为，所以. 【小问3详解】 设，则，所以. 由（2）可知，平面的一个法向量，所以， 得，解得. 所以，所以， 所以. 19. 已知曲线. （1）求曲线围成的平面图形的面积； （2）若是曲线上的两个动点，求的最大值； （3）是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 当时，研究直线与曲线在第一象限的公共点. 联立，得（*）. 因为， 所以方程（*）只有一个正根，则直线与曲线在第一象限只有一个公共点. 同理，直线与曲线在第三象限也只有一个公共点. 因此，当时，直线与曲线只有两个公共点. 当时， 一方面，直线与曲线在第二象限的部分至多两个公共点. 另一方面，由，得（*）. 因为， 所以方程（*）无正根，即直线与曲线在第一象限无公共点. 同理，直线与曲线在第三象限无公共点. 所以当时，直线与曲线至多两个公共点. 所以时，直线与曲线至多两个公共点. 由对称性可知，时，直线与曲线也至多两个公共点. 综上，不存在直线与曲线至少有三个不同的公共点. 【解析】 【分析】（1）根据对称性，由三角形面积及扇形面积公式计算即可求解； （2）分都在第一象限（或坐标轴正半轴），不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时，不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时，三种情况求解即可； （3）根据对称性，分，两种情况，讨论求解即可. 【小问1详解】 曲线既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称. 当时，曲线方程为. 记圆心为，与轴分别交于两点， 则，过点作， 则， 所以， 所以. 所以， 所以，同理. 由对称性可知，曲线围成的平面图形的面积 . 【小问2详解】 记曲线在第一象限的圆心为，第二象限的圆心为， 第三象限的圆心为､第四象限的圆心为. 情况1：不妨都在第一象限（或坐标轴正半轴），. 情况2：不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为6. 情况不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时 等号成立），此时最大值为. 综上，根据对称性可知最大值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $