精品解析：浙江省嘉兴市钱塘联盟2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期钱塘联盟期中联考 高二年级数学学科 试题 命题学校：义亭中学 审题学校：塘栖中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，，则直线的斜率为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 2. 若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程所表示圆的圆心与半径分别为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行六面体中，若分别是中点，已知，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C D. 5. 已知圆，圆，若与相交，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面过点，，，点在平面外，则点到平面的距离为（ ） A B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知四棱锥，底面为等腰梯形，，侧面，分别是边长为10，6等边三角形，若动平面交直线，于，两点，且平面平面，则平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共三小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆的焦距为 C. 的周长为 D. 面积的最大值为 10. 已知直线，圆，圆则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定相交 C. 圆与圆公共弦所在直线方程为 D. 直线与圆相交的最长弦长是 11. 在正四棱台中，是正方形的中心，，，，则（ ） A. 平面 B. 正四棱台的体积为 C. 正四棱台的外接球的表面积为 D. 正四棱台存在内切球 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为_____. 13. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且半圆的半径为2，则此圆锥的体积为______. 14. 已知正四面体边长为6，若是正四面体外接球球面上的一点，是内切圆上一点，则的最大值为_____. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点. （1）若与直线平行，求的方程； （2）若与直线垂直，求的方程. 16. 如图，在正方体中，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值. 17. 已知直线过，圆. （1）当直线与圆相切时，求方程； （2）过作圆的两条切线，切点分别为，，求外接圆的方程. 18. 如图所示，已知四棱锥中，底面是平行四边形，侧面为直角三角形，是的中点，是直线上的动点，过直线的平面与侧棱，分别交于，且，其中，. （1）求证：； （2）求异面直线与所成的角； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19. 已知圆，圆与轴交于两点. （1）过的直线与圆交于两点，与圆交于两点，若，求的值； （2）若平面内动点满足：，记的轨迹为. （i）求的方程； （ii）过的射线交圆于，交于，且满足，记直线，直线的斜率分别为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期钱塘联盟期中联考 高二年级数学学科 试题 命题学校：义亭中学 审题学校：塘栖中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，，则直线的斜率为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率的计算公式求解即可. 【详解】因为，， 所以 故选：B. 2. 若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以向量不共面， 因此也不共面，因此可以作为一组基底，即A正确； 对于B，易知，因此向量共面，不能作为基底，即B错误； 对于C，显然，因此共面，不能作为基底，即C错误； 对于D，显然，因此共面，不能作为基底，即D错误； 故选：A 3. 方程所表示圆的圆心与半径分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接化成圆的标准方程，求圆心和半径即可. 【详解】由得，故圆心，半径. 故选：D. 4. 在平行六面体中，若分别是中点，已知，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底依次表示各选项中的向量即可求得结果. 【详解】 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：C. 5. 已知圆，圆，若与相交，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，则圆心距为， 由与相交得，，解得. 故选：D. 6. 已知平面过点，，，点在平面外，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出平面一个法向量，然后由点到平面距离的向量求法求解. 【详解】， 设为平面的一个法向量， 则由得，令，则，， 则点到平面的距离为. 故选：B. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆定义以及勾股定理解方程即可求得离心率大小. 【详解】连接，如下图所示： 由椭圆定义可知，又，可得； 易知， 因此在中可得， 满足，因此， 因此可得，即, 所以离心率. 故选：D 8. 已知四棱锥，底面为等腰梯形，，侧面，分别是边长为10，6的等边三角形，若动平面交直线，于，两点，且平面平面，则平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别取棱的中点，连接，证得平面.所以平面平面.因为平面平面，过点作，垂足为，则平面.由平面平面，所以平面过，即三点共线.建立恰当坐标系，根据二面角余弦值的向量求法，结合函数的最值可得其最大值. 【详解】由题可知，等腰梯形中，且. 分别取棱的中点，连接，则. 连接.则. 所以因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面平面，过点作，垂足为，则平面. 因为平面平面，所以平面过，即三点共线. 连接易知. ，. 所以. 又. 如图以点为坐标原点，所在直线为轴，过M垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的一个法向量. 则，所以， 所以，令，则. 设，因为， 所以， 设平面的一个法向量. 因, 所以，所以. 令，则. 所以. 所以. 当时，； 当时，. 因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 综上所述，平面与平面所成二面角的余弦值的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共三小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆的焦距为 C. 的周长为 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程得出，再应用性质直接分析各个选项即可. 【详解】因为椭圆， ，椭圆C的焦距为，故B错误； 椭圆C的离心率为，故A正确； 的周长为，故C正确； 因为，面积最大时，高度最大为， 所以面积的最大值为，故D正确； 故选：ACD 10. 已知直线，圆，圆则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定相交 C. 圆与圆公共弦所在直线方程为 D. 直线与圆相交的最长弦长是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线过定点的求法可得A正确；利用定点在圆上，且在该点处圆切线斜率不存在可判断出B正确；根据圆与圆的位置关系可判断出两圆相交，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程，知C错误；当直线过圆圆心时，相交弦长最大，知D正确. 【详解】对于A，直线方程可整理为， 由得：，直线恒过定点，A正确； 对于B，，点恒在圆上， 又直线，即直线斜率存在，圆在点处的切线为， 与圆不相切，与圆一定相交，B正确； 对于C，由圆的方程可得：圆心，半径；圆心，半径； ，， 两圆相交，两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为：，C错误； 对于D，当直线过圆圆心时，，解得：， 当时，直线被圆截得的弦长取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD 11. 在正四棱台中，是正方形的中心，，，，则（ ） A. 平面 B. 正四棱台的体积为 C. 正四棱台的外接球的表面积为 D. 正四棱台存在内切球 【答案】AC 【解析】 【分析】易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行判定可得A正确；求出四棱台的高，根据棱台体积公式可求得B错误；假设正四棱台存在外接球，分别讨论球心在正四棱台内部和外部的情况，作出截面，构造方程组可求得外接球半径，代入球的表面积公式可求得C正确；假设存在内切球，根据内切球的定义可知，计算出两角余弦值可知假设错误，知D错误. 【详解】对于A，连接， 四边形，均为正方形，，， ，，； 平面平面，平面，平面， 平面，平面平面，； 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面，A正确； 对于B，设为正方形的中心， 作出截面梯形，作，垂足为，如下图所示， ，，，又，， 正四棱台的高， 正四棱台的体积，B错误； 对于C，记正四棱台外接球的球心为，外接球半径为， 若球心在正四棱台内部，作出截面梯形，连结，如下图所示， 设，则， ，解得：，， 正四棱台外接球表面积； 若球心在正四棱台外部，作出截面梯形，连结，如下图所示， 设，则， ，解得：（舍）； 综上所述：正四棱台外接球表面积，C正确； 对于D，若正四棱台存在内切球，球心为， 则内切球半径； 分别取中点，作，垂足为，作出截面，如下图所示， 平面，平面，， 又，，平面，平面， 若正四棱台存在内切球，则内切球半径， ，， ，，， ，， ，与假设矛盾， 正四棱台不存在内切球，D错误. 故选：AC. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率，由求出倾斜角. 【详解】，，设直线的倾斜角为， ，，，. 故答案：. 13. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且半圆的半径为2，则此圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的相关参数，根据弧长公式求出底面半径，结合母线长利用勾股定理算出高，代入圆锥的体积公式即可. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为， 由题意， ，所以，，所以， 因此该圆锥的体积是. 故答案为：. 14. 已知正四面体边长为6，若是正四面体外接球球面上的一点，是内切圆上一点，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先将正四面体补形为正方体，可得正四面体的外接球半径，则可得点到正四面体外接球球心距离，再计算出外接球球心到内切圆圆心距离与内切圆半径可得点到正四面体外接球球心距离，即当三点共线时可得其最大值. 【详解】如图，正四面体可补形为正方体，设该正方体棱长为， 则，即，则其体对角线长， 则正四面体的外接球半径为， 设球心为，则为中点， 由是正四面体外接球球面上的一点，则， 设内切圆圆心为，则为的高，且、、三点共线， 则， 设内切圆半径为，则有，解得， 由是内切圆上一点，则， 则， 故， 当且仅当、、三点共线且在、之间时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点. （1）若与直线平行，求的方程； （2）若与直线垂直，求的方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线平行的斜率关系，再由直线的点斜式方程直接求解即可； （2）由两直线垂直求得的斜率，再由点斜式方程求解即可； 【小问1详解】 由题意知的斜率为1， 又由，则直线的斜率为1， 又由过，故直线的方程为，即 【小问2详解】 由（1）及，则直线的斜率为， 又由过，故直线的方程为，即. 16. 如图，在正方体中，，分别是，中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可借助线面垂直的判定定理与性质定理得到、，再利用线面垂直的判定定理即可得证；也可建立适当空间直角坐标系，求出平面法向量后利用空间向量计算； （2）可借助二面角定义找到其平面角，再借助三角函数求解；也可求出平面与平面法向量后借助空间向量夹角公式求解. 【小问1详解】 方法一（几何法） 连接， 因为四边形为正方形，为的中点，所以为的中点， ，分别是，中点，， ，，，、平面， 平面，平面，， 连接，则，由正方体性质可得平面， 又平面，， 又，、平面， 平面，平面，， 又，、平面， 平面，，平面； 方法二（向量法） 如图，以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则可得，，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，，则， 由，则，则，则平面； 【小问2详解】 方法一（几何法） 连接交于，连接，则，为的中点， 又，则， 即二面角的补角， 由， 故锐二面角的余弦值为； 方法二（向量法） 由轴垂直平面，故平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 故锐二面角的余弦值为. 17. 已知直线过，圆. （1）当直线与圆相切时，求的方程； （2）过作圆的两条切线，切点分别为，，求外接圆的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分析直线斜率存在，设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，求解斜率即可得解； （2）根据几何关系得，，，四点共圆，该圆也是的外接圆，利用为直径求出圆心和半径，即可求解圆的方程. 【小问1详解】 当直线斜率不存在时，，圆心到直线的距离为， 故直线斜率存在，设直线，即， 设圆心到直线的距离为， 由与圆相切，则，故有，平方化简得，解得， 则直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意，，故，，，四点共圆且以为直径， 该圆也是的外接圆，又和， 故外接圆的圆心为，， 所以外接圆的方程为. 18. 如图所示，已知四棱锥中，底面是平行四边形，侧面为直角三角形，是的中点，是直线上的动点，过直线的平面与侧棱，分别交于，且，其中，. （1）求证：； （2）求异面直线与所成的角； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行性质定理证明可得； （2）由异面直线定义可知直线与所成的角为（或其补角），可求得其为； （3）方法1：根据线面角的空间向量求法求出平面的法向量，再由函数性质可得其最大值； 方法2：由是直线上的动点，结合线面角与二面角之间的关系，求出平面与平面所成锐二面角的大小，可得结果. 【小问1详解】 由题意可知四边形是平行四边形，所以， 即有平面， 又由平面，平面平面，所以， 即得. 【小问2详解】 由（1）知，则直线与所成的角为（或其补角）， 又由为直角三角形，且，所以， 即得异面直线与所成的角为 【小问3详解】 设直线与平面所成角为， 取的中点为，连接，， 由，所以，又由是直角三角形，且，所以，又因为，分别是，的中点，所以可得， 又由，平面，且，所以平面， 又因为平面，所以可得， 又由，所以， 所以平面. 此时分别以，，可为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 则可得，，，，，. 方法1：， 由，可得，即得， 设平面的一个法向量， 又由可得； 令，则，所以， 所以可得， 当且仅当与点重合时取得等号， 所以直线与平面平面所成角的正弦值的最大值为. 方法2：设平面与平面所成锐二面角记为，则有. 由方法1知，平面的一个法向量， 由可得，易知； 设平面的一个法向量， 所以，解得，令，可得； 即， 所以，所以可得， 即得 所以直线与平面平面所成角的正弦值的最大值为. 19. 已知圆，圆与轴交于两点. （1）过的直线与圆交于两点，与圆交于两点，若，求的值； （2）若平面内动点满足：，记的轨迹为. （i）求的方程； （ii）过的射线交圆于，交于，且满足，记直线，直线的斜率分别为，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据圆的方程可确定圆心和半径，利用垂径定理表示出，由可构造方程求得结果； （2）（i）根据椭圆定义可知所求轨迹为椭圆，进而确定的值，得到轨迹方程； （ii）利用弦长公式可表示出，由可整理得到，根据三点共线可得，代入中化简即可得到结果. 【小问1详解】 由题意知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径； 点到直线的距离，点到直线的距离， ，， ， 令，，， ，解得：或（舍）， ，解得：. 【小问2详解】 （i）由题意知：，， ，点轨迹为椭圆，其长轴长，焦距， ，，， 点轨迹的方程为：. （ii）设，，由对称性，不妨设，， 由三点共线得：； 直线方程为：，，， ， 由对称性，不妨设，，则， ，， 代入中可得：， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $