精品解析：广西南宁市高新中学教育集团2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度南宁高新教育集团期中考试卷 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，其中只有一个是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 真实情境 下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 3. 已知的半径为3，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 4. 工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，分别为的半径，点在圆上，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 8. 小州热爱研究鸟类，每年定期去湿地公园观鸟．年他观测到的鸟有种，年他观测到的鸟有种，设小州从年到年观测鸟的种类数量的年平均增长率为，依据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代铜钱蕴含“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的几何图形，已知为的直径，，四边形是正方形，若的面积为，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（ ） A. B. C. D. 11. 在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②a﹣b＋c＞0；③当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；④5a＋c＝0；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分） 13. 点（-6，8）关于原点的对称点的坐标为________. 14. 图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为______度，旋转后的风车能与自身重合． 15. 如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的口至少要_______． 16. 如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题： （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 19. 为保护学生的身心健康，增强学生的反欺凌、霸凌意识，某校组织全校学生参加以“守护校园，抵制霸凌”为主题的讲座，为了了解讲座的效果，从全校学生中随机抽取了部分学生进行相关测试，将成绩（单位：分，满分12分）统计整理后制作了如图所示的两幅统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽取到的学生人数为________，扇形统计图中m的值为________； （2）求本次抽取到的学生成绩的平均数； （3）若该校共有1420名学生，试估计该校学生中成绩在11分及以上的人数． 20. 如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求线段的长． 21. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 22. 综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 【收集数据】记录的数据如下： 运动时间t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动速度V/（） 10 8.5 7 5.5 4 2.5 … 运动距离y/ 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图像发现，我们可以用一次函数近似地表示v与t的函数关系，用二次函数近似地表示y与t的函数关系．请直接写出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． ①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板A点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 23. 婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． （1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是____________．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 （2）如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，交于，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长． （3）如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知． ①求证：四边形是“婆氏四边形”； ②当时，请直接写出半径的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度南宁高新教育集团期中考试卷 九年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，其中只有一个是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 真实情境 下面四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称的定义，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形计算中心对称图形，即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：C． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是2， 故选：B． 3. 已知的半径为3，，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内． 由的半径为，知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案． 【详解】解：∵的半径为， ∴点到圆心的距离小于半径， ∴点在圆内， 故选：C． 4. 工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析即可得到答案． 【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角， ∴只有B选项正确，其他均不正确． 故选：B． 5. 把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位， ∴平移之后的抛物线的解析式为， 故选； 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，熟记二次函数的平移规律是解题的关键． 6. 如图，，分别为的半径，点在圆上，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转变换和勾股定理，在中，由勾股定理解得的长，再根据旋转的性质得到， ，在 中再利用勾股定理解得的长即可． 【详解】解：， 在中， 由旋转的性质得 在 中， 故选：A． 8. 小州热爱研究鸟类，每年定期去湿地公园观鸟．年他观测到的鸟有种，年他观测到的鸟有种，设小州从年到年观测鸟的种类数量的年平均增长率为，依据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：年平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 9. 我国古代铜钱蕴含“天地合一”的哲学思想，现将铜钱抽象成如图所示的几何图形，已知为的直径，，四边形是正方形，若的面积为，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由题意得，图②所示的图形为轴对称图形，则有，进而将阴影部分的面积转化为，再结合圆的面积为即可求解． 【详解】解：为圆的直径，正方形顶点均在上， 图②所示的图形是轴对称图形， 由轴对称的性质有：， 圆的面积为，， ， 阴影部分的面积． 故选：A． 10. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，瓶内液体最大深度为，则液面宽的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握求解的方法是解题的关键． 过点向下作于点，交于点，连接，根据垂径定理得出，根据计算，利用勾股定理计算，最后根据得出答案即可． 【详解】解：如图，过点向下作于点，交于点，连接， ∴，， ∵半径为，瓶内液体最大深度为， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 11. 在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形的弧长等于圆锥的底圆周长求解即可． 【详解】解：由题意可知： 扇形的弧长 设底面圆半径为r, ∵扇形的弧长等于圆锥的底圆周长 ∴，解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥的底圆周长． 12. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②a﹣b＋c＞0；③当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；④5a＋c＝0；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；图象经过（﹣1，0）即可判断②；由抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0），得出抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），再根据抛物线开口向下得出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5即可判断③；根据对称轴得到b＝﹣2a，且a﹣b＋c＝0即可判断④；由于对称轴为直线x＝2，根据二次函数的性质得到当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，即可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2， ∴b＝﹣4a，即4a＋b＝0，故本结论正确； ②∵图象过点（﹣1，0）， ∴a﹣b＋c＝0，故本结论错误； ③∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故本结论正确； ④∵对称轴为直线x＝﹣＝2， ∴b＝﹣4a， ∵a﹣b＋c＝0， ∴5a＋c＝0，故本结论正确； ⑤∵对称轴为直线x＝2， ∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大， 当x＞2时，y随x的增大而减小，故本结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分） 13. 点（-6，8）关于原点的对称点的坐标为________. 【答案】（6，-8） 【解析】 【详解】解：因为关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数， 所以点（-6，8）关于原点的对称点的坐标为（6，-8） 故答案为：（6，-8）． 14. 图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为______度，旋转后的风车能与自身重合． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了4份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴绕着它的中心旋转，旋转角至少，旋转后的风车能与自身重合， 故答案为： ． 15. 如图，要拧开一个边长的六角形螺帽，扳手张开的口至少要_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、菱形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键．设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，则，得出，则四边形是菱形，得出，，由，即可得出结论． 【详解】解：设正六边形的中心是，其一边是，连接、、、，交于，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质可得，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，四边形面积有最小值， 在中，， ∴， ∴最小时，的值最小， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识的综合，掌握切线的性质得到，当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程． （1）计算乘方、除法和加法即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） （2） ∴ 则或 解得 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题： （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，； （2）如图所示，即为所求，． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转对称的性质找出对应点即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握中心对称作图和旋转作图的方法是解题的关键． 19. 为保护学生的身心健康，增强学生的反欺凌、霸凌意识，某校组织全校学生参加以“守护校园，抵制霸凌”为主题的讲座，为了了解讲座的效果，从全校学生中随机抽取了部分学生进行相关测试，将成绩（单位：分，满分12分）统计整理后制作了如图所示的两幅统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽取到的学生人数为________，扇形统计图中m的值为________； （2）求本次抽取到的学生成绩的平均数； （3）若该校共有1420名学生，试估计该校学生中成绩在11分及以上的人数． 【答案】（1）50名；28 （2）10.66分 （3）估计该校学生中成绩在11分及以上的人数为852名 【解析】 【分析】（1）根据成绩是8分的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用11分人数除以总人数得出所占的百分比，即可得出m值； （2）用调查的总人数乘以成绩是9分人数所占的百分比，得出成绩是9分的人数，再根据加权平均数公式计算即可； （3）用总人数乘以成绩在11分及以上的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：(名)， ， ∴， 故答案为：50；28． 【小问2详解】 解：本次抽取到的学生中成绩为9分的人数为（名）， 本次抽取到的学生成绩的平均数为： （分）． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该校学生中成绩在11分及以上的人数为852名． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，样本估计总体，解题的关键是从统计图获取信息，属于中考常考题型． 20. 如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接． 平分， ， ， ， ， ， ， 直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可； （2）求出，长，可得出，设，则，可得，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，， ， ， ， 在中， ， ， 设，则， ， ， 解之得，或（舍去）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌切线的判定和性质． 21. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 （2）（） （3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【解析】 【分析】（1）根据题意设每件A类特产的售价为元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； （3）结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A类特产的售价为元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价， ∴， 答：（）； 【小问3详解】 解： ． ， ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 22. 综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”又有了新的认识．对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】如图1所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 【收集数据】记录的数据如下： 运动时间t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动速度V/（） 10 8.5 7 5.5 4 2.5 … 运动距离y/ 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图像发现，我们可以用一次函数近似地表示v与t的函数关系，用二次函数近似地表示y与t的函数关系．请直接写出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． ①当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是多少？ ②若黑球到达木板A点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 【答案】【建立模型】；； ①当黑球在水平木板上滚动了64cm时，运动速度是6cm/s； ②解：不能，理由如下： 设黑球与小车的距离为， ， ． ， 抛物线开口向上， 当时，w的最小值为6， ， 黑球不会碰到小车． 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用等知识，关键是明确题意求出函数表达式． 由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数，设关于的函数解析式，代入两组数值即可求解，由表格中数据运动距离与运动时间是二次函数，设运动距离与运动时间之间的函数解析式为，，代入三组数值求解即可； ①把代入（1）中解析式求出，再求即可； ②设黑球与小车的距离为，得即可得到结论． 【详解】解：由表格中数据可知运动速度与运动时间是一次函数， 设关于的函数解析式，把，代入解析式得： ， 解得， ∴， 由表格中数据可知运动距离与运动时间是二次函数， 设运动距离与运动时间之间的函数解析式为， 把，，代入解析式得 ， 解得， ∴， ①由题可知：当时，， 解得：，． 当时，； 当时，（舍去）； ∴当黑球在水平木板上滚动了时，运动速度是． ②略 23. 婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． （1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是____________．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 （2）如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，交于，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长． （3）如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知． ①求证：四边形是“婆氏四边形”； ②当时，请直接写出半径的最小值． 【答案】（1）③ （2）； （3） ①证明：设相交于点E如图所示 ∵，，， ∴， ∴， 即， 又∵四边形是的内接四边形， ∴四边形是“婆氏四边形”； ②半径的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得，从而可证明四边形为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断； （2）根据垂径定理和圆周角定理可得，，设，则，，在中解直角三角形即可； （3）①根据圆周角定理即可得出，从而可得，继而证明结论； ②作，垂足分别为M，N，证明，设，则，，，在中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的最小值． 【小问1详解】 解：如图， ∵平行四边形为的内接四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴矩形为正方形， 故答案为：③； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，为直径， ∴， ∵四边形是“婆氏四边形”， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，根据勾股定理， ，即， 解得，即； 【小问3详解】 解：①略 ②如图，作，垂足分别为M，N， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，则，，， 在中， ， 当时，取得最小值，即半径的最小值为． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定定理、二次函数的性质等．（1）中能正确证明出四边形的一个角是是解题关键；（2）中能正确表示出的三个边是解题关键；（3）中①正确利用圆周角定理是解题关键；②正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $