第09讲第四章一次函数的图象与性质2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第09讲 一次函数的图象与性质 知识清单 知识点01 正比例函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知一点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，0），交x轴于点（0，0）； 4）过象限、增减性 y=kx 过原点（0，0）的一条直线 k值 大致图象 经过象限 经过第一、三象限 经过第二、四象限 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 知识点02 一次函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 知识点03 一次函数的平移 “上加下减”——针对y的平移；“左加右减”——针对x的平移，是对x整体的变化. 题型精讲 题型01 正比例函数的图象和性质 1．关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 2．关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有 题型02 画一次函数的图象 3．已知一次函数，请回答下列问题：    (1)请用描点法画出它的图象： 解：列表： 0 4 0 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；连线：把这两点连接起来，得到的图象；表格中的值为___________；请在坐标系中画出的图象； (2)若一次函数的图象与一次函数图象关于轴对称，请画出一次函数的图象，并求出它的解析式； (3)若平行于轴的直线分别交的图象，的图象于两点，已知的长为4，则点的横坐标是___________． 4．已知直线的表达式为，点A，B分别在x轴、y轴上． (1)求出点的A，B的坐标，并在下图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移4个单位得到直线，点C，D分别在x轴、y轴上．求出点C，D的坐标及直线的表达式，并在下图中画出直线的图象； (3)若点P到x轴的距离为4，且在直线上，求的面积． 题型03 一次函数的图象和性质 5．关于函数，下列结论成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限 6．关于一次函数的图像与性质，下列说法中不正确的是 （      ） A．y随x的增大而增大 B．当时，该图像与函数的图像是两条平行线 C．若图像不经过第四象限，则 D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限 题型04 已知函数经过的象限求参数范围 7．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 ． 8．若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是 ．（写一个即可） 题型05 根据一次函数增减性求参数 9．已知函数的值随的增大而减小，则的取值范围是 ． 10．若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ． 题型06 比较一次函数值的大小 11．一次函数的图象上有两点和，且，则与的大小关系为 ． 12．已知点A（x1， y1)、B(x2， y2)在直线y=kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为 . 13．已知点，是一次函数图象上两点．请用“>”“=”或“<”填空． (1)若，，，则______； (2)若，，则______； (3)若，，则k______0． 题型07 一次函数图象与坐标轴的交点问题 14．函数的图象与y轴的交点坐标为 ． 15．一次函数与轴的交点坐标为 ． 题型08 一次函数图象的平移问题 16．将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 17．将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 题型09 两个一次函数图象共存问题 18．如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   19．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 20．正比例函数和一次函数在同一个直角坐标系内的图像大致是（    ） A．B．C．D． 素养提升 21．请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n (1)表格中：______，______． (2)根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． (3)观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 课后作业 一、单选题 1．关于一次函数的描述，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象沿y轴向下平移3个单位，可得到正比例函数 C．图象与x轴的交点坐标为 D．函数值随自变量的增大而减小 2．已知一次函数的图像经过三个点、、，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象的是（    ） A．B．C．D． 4．已知点均在一次函数的图象上，点，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象经过二、三、四象限 B．点在第二象限 C． D．与x轴的交点坐标为 二、填空题 5．一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是 ． 6．将直线向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点坐标为 ． 7．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥． （1）y随x的增大而增大的有 ；（2）y随x的增大而减小的有 ；（3）图象互相平行的有 ；（4）与x轴交于正半轴的有 ；（5）与y轴交于正半轴的有 ． 三、解答题 8．在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 一次函数的图象与性质参考答案： 1．D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可． 【详解】解：A、由函数可知，当时，，则图象经过点，该选项错误； B、由函数可知，当时，则随的增大而减小，该选项错误； C、由函数可知，当时，，该选项错误； D、由于函数，，则函数图象经过第二、四象限正确； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，逐一分析四个选项的正误． 【详解】A、当时，， ∴正比例函数的图象必经过点，选项A不符合题意； B、∵， ∴正比例函数的图象经过第一、三象限，选项B不符合题意； C、∵， ∴随的增大而增大，选项C符合题意； D、当时，，且随的增大而增大， ∴当时，，选项D不符合题意． 故选：C． 3．(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)或 【分析】本题考查了一次函数，轴对称， （1）将代入函数，即可解答，再利用描点法画函数图象，即可解答； （2）得到一次函数与轴的交点，关于轴的对称点，再利用待定系数法，求得一次函数解析式即可解答； （3）设平行于轴的直线为，求得直线与两个函数的交点，利用两交点的横坐标之差的绝对值为4，列方程即可解答． 熟知平行于y轴的线段长度为横坐标之差的绝对值是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入函数，可得， 解得， 函数图象，如图所示：    （2）解：根据（1）可得函数图象与轴的交点为， 关于轴的对称点为， 把，代入， 可得， 解得， ， 函数图像，如图所示：    （3）解：设平行于轴的直线为， 当时，可得，， 可得点的横坐标为，点的横坐标为， 则， 解得， 点的横坐标为或． 4．(1)，点；图象见解答过程； (2)，点，直线的表达式为； (3)4或12． 【分析】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键． （1）对于，当时，，当时，，由此可得点A，点B的坐标，然后画出直线即可； （2）根据一次函数平移的规律得直线的解析式为，然后再分别求出点C，D的坐标，画出直线即可； （3）根据点P在直线上，可设点P的坐标为再根据点P到x轴的距离为4得，由此解出t，进而得点P的坐标，然后再求出的面积即可． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，直线如图1所示： （2）解：对于直线，向上平移4个单位得：， 即直线的解析式为， 对于，当时，，当时，， ∴点C的坐标为，点D的坐标为，直线如图2所示： （3）解：∵点P在直线上， ∴可设点P的坐标为， ∵点P到x轴的距离为4， ， 或， 由解得：，此时点P的坐标为， 由解得：，此时点P的坐标为， ①当点P的坐标为时，如图4所示： ∵点，， 轴，， ， ∵点D的坐标为， ， ； ②当点P的坐标为时，过点P作轴于H，如图3所示： ， 由（1）可知：， ． 综上所述：的面积为4或12． 5．B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴函数图象经过一、二、四象限，随的增大而减小， 当时，， ∴当时，，当时，，图象必过点； 综上：只有选项B成立； 故选B． 6．C 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．两条直线的平行问题：若直线与直线平行，那么．根据一次函数的增减性判断A；根据两条直线平行时，k值相同而b值不相同判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C、D． 【详解】解：A、一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大，故本选项说法正确； B、当时，，一次函数与的图象是两条平行线，故本选项说法正确； C、若图象不经过第四象限，则经过第一、三象限或第一、二、三象限， ，即，故本选项说法错误； D、一次函数中， ∵， ∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，故本选项说法正确． 故选：C． 7． 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．根据一次函数图象与系数的关系得到，，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， 解得， 故答案为：． 8．（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当，时，一次函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键． 先根据一次函数的图象经过一、三、四象限判断出b的符号，再写出符合条件的b的值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴， ∴ ∴b可以等于（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 9． 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据一次函数的增减性列出关于的不等式即可． 【详解】解：∵函数的值随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 解得． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，先根据从一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 12．y1>y2 【详解】分析：直接利用一次函数的性质分析得出答案． 详解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴y随x的增大而减小， ∵x1＜x2， ∴y1与y2的大小关系为：y1＞y2． 故答案为＞． 点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数增减性是解题关键． 13．(1)< (2)> (3)> 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． （1）（2）（3）根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴y的值随x的值增大而增大， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴y的值随x的值增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：； （3）∵，， ∴y的值随x的值增大而增大， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数与y轴的交点为是解题关键．令，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 函数的图象与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，令，代入一次函数解析式，求出自变量的值，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数来说， 当时，， 解得， ∴一次函数与轴的交点坐标为， 故答案为： 16． 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是， 故答案为：； 18．D 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的图象和性质，分m、n同正，同负，一正一负，分别判断出正比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得出答案． 【详解】解：①当时，m、n同号，过一、三象限， m，n同正时，经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限； ②当时，m、n异号，过二、四象限， ，时，经过一、三、四象限；，时，过一、二、四象限； 结合各选项可知D正确， 故选：D． 19．B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象； 分和，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合； 当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合； 故选：B． 20．D 【分析】本题主要考查了正比例函数图像与一次函数图像，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题．分和两种情况讨论：当时，分析两函数图像经过的象限；时，再分析两函数图像经过的象限，即可获得答案． 【详解】解：分两种情况： ①当时，正比例函数的图像过原点，且过第一、三象限， 而一次函数的图像经过第一、三、四象限，无选项符合； ②当时，正比例函数的图像过原点、且过第二、四象限， 而一次函数的图像经过第一、二、三象限，选项D符合． 故选：D． 21．(1)3，5 (2)见解析 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，一次函数的性质，函数的值，正确地识别图形是解题的关键． （1）将和分别代入解析式求得和的值； （2）根据表格已有数据，描点，连线，得到函数图象； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，5； （2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示： （3）解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小， 故答案为：； ②当时，函数值最小，最小值为． 故答案为：； ③直线过点和，如图所示，   当的取值范围是， 故答案为： 课后作业 1．B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、平移变换与坐标变化，利用一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴一次函数经过一、二、三象限，且函数值随自变量的增大而增大， 故A 、D错误，不合题意； 一次函数向下平移3个单位，可得到， 故B正确，符合题意； 把代入得，解得：，所以图象与轴的交点坐标为， 故C错误，不合题意． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，即：当时，y的值随着x的值增大而减小；当时，y的值随着x的值增大而增大，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据，可得y的值随着x的值增大而减小，然后进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴y的值随着x的值增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A可能，符合题意； B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B不可能，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C不可能，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D不可能，不符合题意； 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质直接判断A即可；将A、B代入解析式，求出m、n的值，得出点C的坐标即可判定B；根据m、n的值即可判断C；把代入函数解析式，求出与x轴的交点坐标即可判断D；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 把分别代入得： ，， ∴点C的坐标为， ∴点在第三象限，故B错误，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，符合题意； 把代入得：， 解得：， ∴与x轴的交点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：C． 5．6 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，先求出一次函数与x轴，y轴分别交于，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， ∴一次函数与x轴，y轴分别交于， ∴一次函数的图象与两坐标轴相交而围成的三角形面积是， 故答案为：． 6． 【分析】本题主要考查了坐标的平移、直线与坐标x轴的交点问题等知识点，掌握平移规律“纵坐标向上平移加，向下平移减”是解题的关键． 先根据坐标的平移规律求得函数解析式，然后求得平移后的直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度，所得直线为：， 令，解得：， ∴平移后的直线与x轴的交点坐标为：． 故答案为：． 7． ②③⑥ ①④⑤ ②⑥ ①② ①③ 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小．当时，与y轴交于正半轴，反之与y轴交于负半轴．根据一次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【详解】解：①， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ② ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于正半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ③， ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于正半轴； ④， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，，解得， ∴与x轴交于负半轴， ∵， ∴与y轴交于负半轴； ⑤， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴该函数经过原点； ⑥， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴该函数经过原点； ∵和的k值相等， ∴和互相平行； （1）y随x的增大而增大的有②③⑥； （2）y随x的增大而减小的有①④⑤； （3）图象互相平行的有②⑥； （4）与x轴交于正半轴的有①②； （5）与y轴交于正半轴的有①③． 故答案为：②③⑥；①④⑤；②⑥；①②；①③． 8．(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． ． 16 1 学科网（北京）股份有限公司 $