第四章 函数的概念及正比例函数与一次函数 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦函数的概念、三种表示方法（列表法、解析法、图象法）及一次函数与正比例函数的定义，构建从函数一般概念到特殊一次函数的学习支架，为后续函数学习奠定基础。 资料通过航模飞行、油箱剩油等情境化题型培养数学眼光，借助函数图象识别、定义判断等辨析题发展推理意识，利用多表示方法与建模问题提升模型意识。课中助力分层教学，课后作业巩固知识，帮助学生查漏补缺。

第07讲 正比例函数与一次函数 模块一 函数 知识点01  函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量． 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值． 知识点02  函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显． ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象． ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确． 【微点拨】 1．判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应． 2．对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个．比如：中，当y的值为4时，的值为±2． 题型精讲 题型01  函数的概念及图象识别 1．下面平面直角坐标系中的曲线不表示 y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A．B．C． D． 题型02  函数的三种表示方法之列表法 3．课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示． t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 … 下列说法正确的是（   ） A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米 B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米 C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同 D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米 4．李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 题型03  函数的三种表示方法之解析式 5．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 6．某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 题型04  函数的三种表示方法之图象法 7．小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 8．将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的图象大致为图中的（    ） ．B．C． D． 题型05  求自变量的取值范围 9．要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为 ，其时间t的取值范围为 ． 10．现有300本图书借给学生阅读，每人5本，则剩下的本数y与学生人数x之间的函数解析式为 ，自变量x的取值范围为 ． 题型06  求自变量的值或函数值 11．国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标与摄氏温标之间的函数关系为，热力学温标与摄氏温标之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为 ． 12．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果质量与售价y（元）之间的关系如下表： 质量 1 2 3 4 售价元 则y与x的关系式为 ，若卖出苹果，售价为 元． 13．已知气温（℃）与海拔高度的函数关系式为． （1）变量是 ，常量是 ； （2）当函数值为时，对应的自变量的值为 ． 题型07  动点问题画函数图象 14．如图1，四边形是长方形，动点E从点B出发，沿匀速运动，到达点A停止运动，速度为，设点E的运动时间为，的面积为，其中S与t的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（　　） A． B．S的最大值为 C．当时，D．当时， 素养提升 题型08  从函数的图象获取信息 15．小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)玲玲的速度为__________千米/分钟，小华返回学校的速度为__________千米/分钟． (2)小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值． 16．为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 课后作业 一、单选题 1．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．1 D．5 2．为了响应新中考体育考试要求，某中学八年级（1）班用200元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，其y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．如图1，在长方形中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度，沿运动至点A 停止，设点 P 运动的时间为，的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则的面积是（    ） A．10 B．20 C．40 D．80 二、填空题 4．一空水池，现需注满水，水池深．现以不变的流量注水，水的深度与对应的注水时间如下表： 水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间 0.5 1 1.5 2 （1）自变量是 ，因变量是 ； （2）能推出注满水的时间是 ． 5．宁化儿童公园的摩天轮可抽象成图中的一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图所示．根据图中的信息，摩天轮的直径为 ． ． 三、解答题 6．一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为（升），行驶路程为（千米） (1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量； (2)用含的代数式表示；（写出自变量的取值范围） (3)当时，是多少？当时，是多少？ 模块二 一次函数与正比例函数 知识清单 知识点01  一次函数的定义 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数． 知识点02  正比例函数的定义 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数． 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立． (2)当时，求的值． 题型精讲 题型01  正比例函数的定义 1．下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列y关于x的函数中，属于正比例函数的是（      ） A． B． C． D． 题型02  一次函数的识别 3．函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 题型03  根据一次函数的定义求参数 5．已知函数是关于x的一次函数，则 ． 6．已知是y关于x的一次函数，则 ． 题型04  求一次函数自变量或函数值 7．若直线经过点，则 ． 8．已知一次函数的图象经过点，则 ． 题型05  列一次函数解析式并求值 9．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 10．某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式： ， ； (2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 题型06  根据正比例函数的定义求函数表达式 11．已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 12．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 素养提升 13．某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示： 品名 甲蔬菜 乙蔬菜 批发价/（元/kg） 零售价/（元/kg） (1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解） (2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式； (3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？ 课后作业 一、单选题 1．下列函数中，正比例函数是（　　） A． B． C． D． 2．下列各点中，在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中：①；②；③；④，其中是的一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．函数中，当时， ． 5．已知一次函数，则 ． 6．直线 经过点，则的值为 ． 三、解答题 7．已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)求当时的函数值 模块一 函数参考答案： 1．C 【分析】本题主要考查了函数的定义，注意掌握在变化过程中对应的唯一性．函数是对于的任意取值，都有唯一确定的值和其对应，结合选项所给图形即可作出判断． 【详解】解：、、都符合函数的定义，只有选项的图象，一个对应的值不止一个，不能表示是的函数． 故选：C 2．C 【分析】根据函数的定义，判断解答即可． 本题考查了函数的定义的理解，正确理解定义中的一一对应原则是解题的关键． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y有唯一一个值与之对应关系， 故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有两个值与之对应关系， 故C符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 故D不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】本题考查函数的表示方法，根据表格中飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律进行逐一判断即可求解． 【详解】解：由表格数据可得，秒过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加，从3秒后，随着飞行时间的增加，飞行高度减小，故A、B不符合题意； 由表格可得，飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同，故C符合题意； 由表格可得，从0秒到2秒飞机飞行的高度是（米），故D不符合题意； 故选：C． 4．C 【分析】根据表格中信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意； B、时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，不符合题意； C、有表格知：该车每行驶耗油，则，故C错误，符合题意； D、当 时，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键． 5．(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 6．(1)，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量 (2) 【分析】本题考查的是函数的应用，函数的定义，理解题意是关键； （1）由加热时间每增加，液体温度升高，可得则每秒液体升高的温度为，从而可得解析式； （2）直接根据每秒液体升高的温度为，再列式计算即可； 【详解】（1）解：由表格可知，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量； 加热时间每增加，液体温度升高， 则每秒液体升高的温度为，得， ∴y与t之间的关系式是，加热时间t是自变量，液体温度y是因变量． （2）解：， 当时，， ∴该液体的沸点是． 7．C 【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 根据函数图象分析即可． 【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断、一定错误； 用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变， 当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化． 故选：B． 9． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以直接写出河道剩水量（立方米）和水泵抽水时间（小时）的函数关系式，然后再令求出的值，即可写出的取值范围．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式． 【详解】解：由题意可得， ， 当时，，可得， 的取值范围为， 故答案为：，． 10． 【分析】根据总本数减去借出的本数等于余下的本数，可得函数关系式，根据总本数除以每人借的本数，可得答案．本题考查了一次函数的应用，利用了总本数减去借出的本数等于余下的本数． 【详解】解：∵现有300本图书借给学生阅读，每人5本 ∴余下的本数和学生人数之间的函数表达式为， 其中自变量是， 故答案为：，． 11． 【分析】本题考查求自变量或函数值，先将T值代入中求得c值，再将c值代入中求解即可． 【详解】解：由题意，将代入中，得， 将代入中，得， 故答案为：． 12． 12.1 【分析】本题考查了函数关系式，解题的关键是从表中所给信息中推理出x与y的关系，推理时要注意寻找规律．再代入求值． 根据表中所给信息，判断出卖出1千克苹果元，每增加1千克增加1.2元，列出函数关系式即可；再代入已知量，可求未知量． 【详解】由表中信息可知，卖出1千克苹果元，每增加1千克增加1.2元， 所以，卖出的苹果数量x（千克）与售价y（元）之间的关系是：． 当时，． 故答案为：， 12.1． 13． 和 和 【分析】本题考查函数的概念及求自变量的值，熟练掌握定义是解题关键． （1）根据变量与常量的定义即可得答案； （2）把代入求出的值即可得答案． 【详解】解：（1）在中，随的变化而变化，、是常数，不发生变化， ∴变量是和，常量是和， 故答案为：和，和 （2）当时，， 解得：， 故答案为： 14．B 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图2中各个关键点的横坐标判断出动点在图1中的位置是解决本题的关键．理解当时，点可能在边上，也可能在边上是解决本题的易错点． 由图2中各个关键点的横坐标可得动点从点运动到点、、所用的时间，根据点的速度可得动点在相应时间内行走的路程，那么可得长方形各边长，即可判断A选项的正误；易得点在边上时，的面积最大，那么可得的最大值，可判断B选项的正误；当时，点在边上，可得的长，进而可得的值，可判断C选项的正误；当时，点可能在边上，也可能在边上，分别求得点的运动路程，除以速度即可得到t的值，即可判断D选项的正误． 【详解】解：由题意得：点从点运动到点、、所用的时间分别是， ∵点的速度为， ∴． ∴． ∵四边形是长方形， ∴．故A错误，不符合题意； 当点在边上时，的面积最大． ．故B正确，符合题意． 当时，点在边上，． ∴．故C错误，不符合题意． 当时，点可能在边上，也可能在边上． ①点在边上时， ， ， ②点在边上时， ∴点运动的路程为． ， 故D错误，不符合题意． 故选：B． 15．(1)0.125；0.5 (2) 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系： （1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：玲玲的速度为：千米/分钟， 小华返回学校的速度为：千米/分钟． 故答案为：0.125；0.5； （2）由题意，得：， 解得：． 16．(1)离开家的时间，离家的距离 (2)900；4 (3)李老师家访完后到学校的骑车速度为150米/分 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． （1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）观察图象计算李老师家访完后到学校的骑车路程除以所用的时间即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离开家的时间，因变量是离家的距离， 故答案为：离开家的时间，离家的距离； （2）解：由图象可知：李老师家到小明家的路程是900米， 李老师在小明家停留了（分钟）， 故答案为：900；4； （3）解：由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为（米/分）． 课后作业 1．D 【分析】本题考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．将自变量代入该函数解析式进行计算求解． 【详解】解：当自变量时， 因变量， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查函数的常量与变量、列函数关系式，根据题目中的数量关系与自变量、因变量的定义即可求解． 【详解】解：函数关系式为，在这个问题中，变量是，． 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据三角形面积计算公式可知当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变，结合函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化，则，0到4秒后点P从点B运动到点C，可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，当点P 运动到点C，D之间时，，此时面积不变， 由函数图象可知，当时，面积开始不变，当，面积继续变化， ∴，0到4秒后点P从点B运动到点C， ∴， ∴， 故选：C． 4． 注水时间 水的深度 【分析】（1）根据自变量与因变量的定义判断即可； （2）根据水的深度每小时注水深度注水时间，写出关于的函数关系式，求出当时对应的的值即可． 本题考查函数的表示方法及常量与变量，掌握常量与变量、自变量与因变量的定义是本题的关键． 【详解】解：（1）依题意，自变量是注水时间，因变量是水的深度． 故答案为：注水时间，水的深度； （2）根据表格数据，得， 得， 当时，得， 解得， 注满水的时间是． 故答案为：． 5． 【分析】根据最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的直径．本题考查了动点问题的函数图象问题，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 【详解】解：依题意，由图得出摩天轮的最高点为，最低点为， ∴， 摩天轮的直径为． 故答案为：． 6．(1)行驶路程，剩油量 (2) (3)42，40 【分析】本题考查了自变量及因变量的定义以及一次函数的简单应用，穿插了函数值及函数关系式的知识． （1）根据自变量及因变量的定义结合题意可得出答案； （2）根据题意所述结合（1）所判断的自变量与因变量即可列出函数关系式； （3）分别令，及代入即可得出答案． 【详解】（1）由题意得：自变量是行驶路程，因变量是剩油量， 故答案为：行驶路程，剩油量； （2）根据每行1千米，耗油0.6升及总油量为48升可得：， 由题意可得， ∴，解得 故答案为：； （3）当时，； 当时，，解得； 故答案为：42，40 模块二 正比例函数与一次函数参考答案： 1．C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的一般形式是，此题可以根据正比例的定义进行解答． 【详解】解：（1）是正比例函数，故正确； （2）是一次函数，故错误； （3）是正比例函数，故正确； （4）的次数为二，不是一次函数，故错误； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的一般形式是，即可求解． 【详解】解：A．该函数属于一次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意； B．该函数的次数是，不是1，因此该函数不是正比例函数，故本选项不符合题意； C．该函数中自变量的次数是2，因此不是正比例函数，故本选项不符合题意； D．该函数符合正比例函数的定义，是正比例函数，故本选项符合题意． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的函数，熟练掌握定义是解题的关键．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：①，当时，不是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 所以是一次函数的有2个． 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数解答． 【详解】解：A、自变量次数为2，故不是一次函数，不合题意； B、是一次函数，符合题意； C、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意； D、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意． 故选：B． 5． 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义得出且，即可得出m的值． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴且， 解得：． 故答案为： 6． 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如为常数）的函数为一次函数． 根据定义得： 且，求出m的值即可． 【详解】解：∵是y关于x的一次函数 ∴且 解得且 ∴． 故答案为： 7． 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，图象上的点的坐标满足函数解析式．把点代入，即可求得的值． 【详解】解：由题意得： 解得： 故答案为： ． 8． 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图像上各点的坐标适合一次函数解析式是解题的关键．本题直接把点代入一次函数，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴． 故答案为：． 9．（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 10．(1)， (2)选择方案②更为优惠，见解析 【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可； （2）将代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，； （2）当时，； ， 选择方案②更为优惠． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键． 11．(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴． 12．(1)； (2)． 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键； （1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 当时， ， 解得：， 与x的函数关系式为， 即； （2）把代入得， ∴． 13．(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜； (2)； (3)至少批发甲种蔬菜． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键． （1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可； （2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可； （3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：， 解得：， 乙蔬菜为：． 答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜． （2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得：． 答：m与n的函数关系为：． （3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜， 由题意得， 解得． 答：至少批发甲种蔬菜 课后作业 1．A 【分析】本题考查正比例函数的定义，由正比例函数的表达式为，根据表达式特点对选项进行判断即可．牢记正比例函数的定义形式是解题的关键． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，是反比例函数，不合题意； C、，是二次函数，不合题意； D、，是一次函数，不合题意； 故选：A． 2．A 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．将各选项中的点的坐标横坐标分别代入，根据图象上点的坐标性质即可得出答案． 【详解】A．当时，，点在图象上，故此选项符合题意； B．当时，，点不在图象上，故此选项不符合题意； C．当时，，点不在图象上，故此选项不符合题意； D．当时，，点不在图象上，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：①，是一次函数，正确，故符合要求； ②，是一次函数，正确，故符合要求； ③，不是一次函数，错误，故不符合要求； ④，不是一次函数，错误，故不符合要求； 综上可知，是的一次函数有2个． 故选：B． 4．4 【分析】本题主要考查求一次函数的值，将已知的自变量代入函数解析式即可求得答案． 【详解】解：当时，， 故答案为：4． 5． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的值，即可求出结果． 【详解】解：将点代入， 得到：， 即：， 两边乘2得：， ∴． 故答案为：． 6．(1) (2) 【分析】本题考查的是函数关系式， （1）设与的函数关系式为，再把当时，代入求出的值即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可； 掌握待定系数法求正比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）由（1）知，与的函数关系式为， ∴当时，． ∴当时的函数值为 ． 14 1 学科网（北京）股份有限公司 $