2.3 二次根式的运算 讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第05讲 二次根式的运算 模块一 二次根式的乘除法 知识清单 知识点01 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广： （1） （2），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数． 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 知识点02 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广：． 知识点03 最简二次根式 1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 （a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号． 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号． 题型01 二次根式的乘法 【典例1】 1．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 3．（1）计算：______，______，______，______． （2）请按（1）中的规律计算： ①； ②． 题型02 二次根式的除法 【典例2】 4．化简： (1)； (2)． 5．计算： (1)； (2)； 6．计算： (1) (2) (3) (4) 题型03 二次根式的乘除混合运算 【典例3】 7.计算：． 8.计算：． 9.计算：． 题型04 最简二次根式的判断 10．下列二次根式，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 11．下列根式是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 题型05 化为最简二次根式 12．化简： ； ． 13．化简： ， ． 14．化简成最简二次根式： ； ． 素养提升 题型07 二次根式乘除法中的新定义问题 15．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 16．对于，同学们都会化简，如果分母是的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如． 根据以上介绍，请你解答下面的问题： (1)直接写出化简结果①______，②______； (2)化简：． 课后作业 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 2．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列运算结果正确的是（） A． B． C． D． 二、填空题 4．计算 ． 5．已知，，则的值为 ． 三、解答题 6．计算： (1) (2) 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)； (2)． 模块二 二次根式的加减法 知识点01  同类二次根式 1．同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 2．合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点02  二次根式的加减 1．二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 2．二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变． 知识点03  二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 例题精讲 题型01  同类二次根式的判断 1．下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型03  二次根式的加减运算 3．计算： (1)； (2)． 4.计算 5. 15.计算：． 题型04  二次根式的混合运算 6．计算： (1)； (2)． 7．化简． (1)； (2) (3) (4) 8．计算： (1) (2) 题型05  比较二次根式的大小 9．比较下列实数的大小： ． 10．比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 题型06  分母有理化 11．阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)计算： ； 题型07  已知字母的值，化简求值 12.计算：已知，，，求的值． 13．若，，求下列各式的值． (1)； (2)． 素养提升 14．阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 课后作业 一、单选题 1．下列二次根式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．计算： ． 4．比较下列各数大小： ① ；② ；③ 5．若最简二次根式和可以合并，则 ． 6.若，，则的值为 ． 三、解答题 7．计算： (1) (2) 8．计算题 (1) (2) 模块一 二次根式的乘除参考答案： 1．（1）； （2）； （3）； （4）． 2．（1）解： （2） （3） （4） 3．（1）12，12，20，20（2）①12，②4（5） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，以及算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出每个算术平方根，再运算乘法，即可作答． （2）按（1）中的规律，进行运算，即可作答． （3）因为，所以，因为，所以含a，b的式子表示，即可作答． 【详解】解：（1）， ， ； 故答案为：12，12，20，20； （2）； ； （3）∵， ∴ 即 ∴． 4．(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解； （2）根据二次根式的除法法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 5．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （3）根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 6．(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 7． 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 8． 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答． 【详解】解： ． 9． 【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】解：原式= =． 10．A 【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数9，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 11．D 【分析】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件. 根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、是最简二次根式，故此选项正确； 故选D． 12． 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式乘法和除法法则进行化简即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 13． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】解：； ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 14． ## 【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可． 【解答】解：；． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 15． 【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握． 16.(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是确定分子和分母乘以什么数． （1）将的分子和分母都乘以，的分子和分母都乘以，计算即可； （2）将的分子和分母都乘以，计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，． （2） 课后作业 1．D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 2．A 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含开方开的尽的因式或因数，被开方数不含分母，进行判断即可． 【详解】解：在二次根式，，，，中，只有的被开方数不含分母，且不含能开方开的尽的因式或因数，是最简二次根式； 故选A． 3．D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意； 故选：D 4． 【分析】本题考查了二次根式的除法：，利用此法则直接求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 5． 【分析】本题考查了因式分解的应用、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先利用提取公因式法分解因式，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 6．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算： （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的除法运算法则计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 7．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后分母有理化； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 8．(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． （2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 16．(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是确定分子和分母乘以什么数． （1）将的分子和分母都乘以，的分子和分母都乘以，计算即可； （2）将的分子和分母都乘以，计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，． （2） 模块二 二次根式的加减参考答案： 1．D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是正确化简二次根式．先进行化简，然后根据同类二次根式的定义，即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不符合题意； B、与不是同类二次根式，故不符合题意； C、与不是同类二次根式，故不符合题意； D、与是同类二次根式，故符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； 不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故C选项不合题意； ，与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 3．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的加减运算： （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先化简各二次根式，再合并即可． 【详解】解： ． 5． 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简，去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 6．(1)5 (2)10 【分析】本题考查二次根式混合运算，最简二次根式，同类二次根式，掌握二次根式混合运算法则，最简二次根式，同类二次根式及合并法则是解题关键． （1）先化简为最简二次根式，先计算括号里的，再计算二次根式乘法即可， （2）先计算二次根式的乘法、化简绝对值和立方根，然后再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 7．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用平方差公式进行计算即可求解； （）先化简，再合并同类二次根式即可； （）先化简，再合并同类二次根式即可； （）先化简，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， ； （4）解：原式 ， ． 8．(1)1 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先利用幂的乘方及积的乘方逆用法则计算，零指数幂，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算立方根，分母有理化，负整数幂，化简绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9． 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 11．（1）解：； （2)： 12．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 13．13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 14．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值． （1）直接代入求解即可； （2）求得和的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴；， ∴． 课后作业 1．C 【分析】本题主要考查了化简二次根式，同类二次根式的定义，把对应选项的二次根式化为最简二次根式后被开方数为3的二次根式能与合并，据此求解即可． 【详解】解：A、能与合并，不符合题意； B、能与合并，不符合题意； C、不能与合并，符合题意； D、能与合并，不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的减法法则、平方差公式、积的算术平方根、二次根式的除法进行计算，即可得到答案. 【详解】A. ，故选项中计算错误，不符合题意；     B. ，故选项中计算正确，符合题意；     C. ，故选项中计算错误，不符合题意； D. ，故选项中计算错误，不符合题意； 故选：B 3．## 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 4． 【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键． （1）首先比较与的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解； （2）通过比较与1的大小即可求解； （3），，比较被开方数的大小即可； 【详解】解：①， ； 故答案为： ； ②； ； 故答案为： ； ③，，且； ； 故答案为： ； 5． 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义理解，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式和可以合并，得出和是同类二次根式，则，求解得出答案即可． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴和是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 6． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形求值，根据完全平方公式的变形得出，再把已知代入求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 7．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的运算法则并正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．(1)； (2)． 【分析】（）利用立方根的定义、二次根式的运算法则分别计算，再合并即可求解； （）利用二次根式的性质、完全平方公式及绝对值的性质分别运算，再合并即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式 ， ， ． 8 1 学科网（北京）股份有限公司 $