24.1.4 圆周角 人教版初中数学九年级上册 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦圆周角的定义、定理及推论，通过回顾圆心角引入圆周角，结合图形判断明确定义条件，再通过画不同位置圆周角构建与圆心角关系的探究支架，逐步深化知识脉络。 资料亮点在于以几何直观引导探究，分类证明圆周角定理培养推理意识，结合直径求弦长等例题强化应用意识，助力学生发展空间观念与逻辑推理能力，为教师提供结构化探究素材，提升课堂效率。

顶点在圆心的角叫圆心角。 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的定义 知识点1 圆心角 圆周角 在 中，如果 相等，那么， 相等 ， 相等 . 同圆或等圆 圆心角 弦 弧 判断下列图形中的角是不是圆周角？ 归纳：要判断一个角是不是圆周角，应该要具备哪几个条件？ ①顶点在圆上. ②两边都与圆相交. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 三、画出圆周角 O A B C O A B O A B C C 圆心在角内部 圆心在角的边上 圆心在角外部 （2）画出弧AB所对的圆心角∠AOB 　图中同一段弧AB所对的圆周角 和圆心角有怎样的关系？ 在圆O上取弧AB 画出弧AB所对的圆周角 三、探索与验证 O A B C O A B C' O A B C'' 证明：同一段弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 哪个图形最简单？ 三、探索与验证 O A B C' 1 2 3 证明：同一段弧所对的圆周角等于圆心角的一半. O C' A D O B D O D O C' B D O C' A D 三、探索与验证 证明：同一段弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 1 2 3 4 ∠C'= ∠AOB O C'' A D B O C'' D B O C'' A D B O C'' D O C'' A D 三、探索与验证 证明：同一段弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 1 2 3 4 5 6 ∠C'= ∠AOB 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 知识点1 ∠C= ∠AOB 一条弧所对的圆周角 它所对的 的 。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 等于 圆心角 一半 思考：同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？ 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？ C1 A O B C2 C3 思考 所对应的圆心角为 ， 则对应的圆周角为 . 180° 90° 圆周角定理推论2. 半圆（或直径）所对的圆周角是角， 90°的圆周角所对的弦是直径. 例：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长； （2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长． B 解：(1)∵AC是直径， ∴ ∠ADC=90°. 在Rt△ADC中， 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， (2)∵ AC是直径, ∴ ∠ABC=90°. 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解. 归纳 ∵BD平分∠ADC, ∴∠1=∠2. 又∵∠1=∠3 ,∠2=∠4 .(圆周角定理) ∴ ∠3=∠4, ∴AB=BC. 1 2 3 4 四边形ABCD是圆O的内接四边形 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形 三 如图，四边形ABCD为⊙O的 ， ⊙O为四边形ABCD的 . 探究性质 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º 想一想： 如何证明你的猜想呢？ 内接四边形 外接圆 ∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， 证明猜想 归纳总结 推论：圆的内接四边形的对角互补. 圆内接四边形： 圆内接四边形的对角互补. 1.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= . 2.如图，点B、A、C都在⊙O上, ∠BOA＝110°，则∠BCA＝ . 80° 125° 随堂演练 3.判断 （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ） （3）同弦所对的圆周角相等 （ ） √ × × 随堂演练 4.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是 . C A B O 解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2. 2 随堂演练 如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点(点F不与B、C重合)，A是BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β． (1)当α=50°时，求β的度数; (2)猜想α与β之间的关系，并 给予证明. 拓展延伸 ⌒ ⌒ C $